关于残差之和为零，故限制数为1的问题

在方差计算中，自由度为和的项数减去和的限制数，记为n。在重复条件下对被测量做n次独立测量，其样本方差为 :

∑vi2/ n－1=∑(xi-x)2/ n－1     （注：在等式两面的∑下面至上面有i=1至n，因不好编辑，只能这样表达）。

式中vi为残差。所以在方差的计算式中，和的项数即为残差vi的个数n。而且残差之和为零，即åni=0
是限制条件，故限制数为1，因此可得自由度n＝n－1。

提请量友讨论：这里：“åni=0
是限制条件，故限制数为1，因此可得自由度n＝n－1”应该是数学方面的问题。离校多年没去看数学了，请量友提示如何理解。谢谢！

在该式中Vi为残差 其实就是样品其中某一任意值与样品平均值之差，因此说残差之和为0.

因为残差是对称分布的，当n足够大时，残差的和是接近于零的。也就是说当n趋于无穷大时，残差和的极限为零。基于这一限制条件，残差中的任意一项，都可以从其余(n-1)项推算出来。也就是说独立的项数只有(n-1)项，所以说自由度为(n-1)。

回复 3# 路云


   解释的太好了，我也学习下。再问个问题，限制数是不是指限制条件的个数？

不是很严格，但易懂的讲法就是，自由度是多余的观测量。例如一般测量由X=Xi一个方程就可以得出，当测量次数为N时，其他N-1个为多余的观测量。同样，如果未知量2个，只要有两个方程就可以求出。如果观测得出了N个方程，没多余的观测量为N-2。

估计有些类似于电路中节点电流回路电压的计算，很多方程都是可以互相转换得到的，像这些多余的方程是没有实际应用意义的。