贝塞尔公式为什么选择自由度为N-1

由于贝塞尔公式计算试验标准差时利用的是残差Xi-X的平方和计算，对于n个样本，其残差之和为0，所以说对于n个数据，只有n-1个独立残差，所以自由度为n-1

总有人要求别人讲得小学生都懂，我觉得是无理要求。你要真正弄懂，得自己查资料研究了。要让别人讲得小学能都能弄懂，那他起码得给你把初中、高中、大学的语文、数学等相关学科讲一遍，还要讲得让小学生懂，那真是有点难为人了！

在单位上，也有人是这样，包括一些领导，总要让别人把一些比如操作规程写清楚，要让一个外行看到就立即能照做。我说提这样的要求的人首先就真是无知。一个外行都一看立马就能照做，那还要别人多年的知识和经验积累干什么？人家再怎么写清楚总也得涉及一些专业的东西吧，那专业方面内涵是外行一看就能理解的？

作为应用来讲，如果你实在搞不懂为什么，那就只需要知道怎么做就行了。

有限次观测点的最佳估计值，数学可以推导出来的

自由度是指计算残差平方和时具有独立项的个数。因为n较大时，残差和为零，因此n个残差中任何一个残差可以从另外n-1个残差中推算出来，独立的残差项只有n-1个，也就是自由度为n-1。可理解为：被测量只有一个时，为估计被测量，只需测量一次，但为了提高测量的可信度而多测量了n-1次，多测的次数可以酌情规定，所以称为自由度。由此可以推论，当待测量为t个，测量次数为n时，则自由度为n-t；如果另有r个约束条件，则自由度为n-t-r。所以自由度通常情况下定义为“总和的项数减去总和中受约束的项数”。

因为有1个约束的项数,残差和为零!!

因为要求统计估计值是无偏的，从严格数学推导中可以证明除（n-1）是无偏的，而除n无法满足无偏性要求。

从统计学的角度，如果是对总体的估计则选择n，对样本的估计选择n-1.在实际的应用中，你很难得到总体，只能得到样本，并用样本去推算总体。

虽然看了一些资料，但是，这个真不懂，有谁能把它讲得小学生都听得懂吗？

回复 3# lhy118


谢谢刘版，清楚一些了。

一直都是背公式，但是还真没考虑这么多。。

推导过程小学生是看不懂的，高中没问题，至少要初中生。

设xi为单次测量值，xav为平均值，x0为真值，

设di=xi-x0，vi=xi-xav，σ^2=[Σ(xi-x0)^2]/n=[Σdi^2]/n，

设dav=xi-xav=(Σdi)/n，则di=vi+dav，两边平方得到di^2=vi^2+2vi*dav+dav^2，

求和得到Σdi^2=Σvi^2+ndav^2+2Σvi*dav，

其中因为vi有正有负，n足够大时2Σvi*dav=0，故有Σdi^2=Σvi^2+ndav^2。

对dav=xi-xav=(Σdi)/n两边平方，得到dav^2=(1/n^2)* Σdav^2+2Σdi*dj，

其中当n足够大时2Σdi*dj=0，则有dav^2=(1/n^2)* Σdav^2，

如此Σdi^2=Σvi^2+ndav^2=Σdi^2=Σvi^2+(Σdav^2)/n，

又σ^2= [Σdi^2]/n，则有nσ^2=Σvi^2+σ^2，故σ^2=Σvi^2/(n-1)= Σ(xi-xav)^2/(n-1)

比较粗糙，没有上下标，相信你能看懂。

残差和为零是个约束条件

总有人要求别人讲得小学生都懂，我觉得是无理要求。你要真正弄懂，得自己查资料研究了。要让别人讲得小学能 ...
文哥 发表于 2011-8-6 09:27

    其实有时候‘讲的小学生都懂’也是很有必要的，因为有的时候你认为一个高中生、大专生、本科生，甚至于硕士生...都应该很容易理解的东西，很有可能人家都会弄错。你认为理所当然，别人却茫然无知，这个是存在的。当然有写东西很难说。。

目前也在学习中，觉得看到那么多公式有些力不从心，不过仍然会继续努力把它都学懂的，一直没深究，现在至少比以前好一点了！

回复 8# 文哥

支持您的这种观点。

由于贝塞尔公式计算试验标准差时利用的是残差Xi-X的平方和计算，对于n个样本，其残差之和为0，所以说对于n ...
zhouguangxia 发表于 2011-6-23 15:36

为了通俗，以下内容不一定完全正确，只是为了抛砖引玉：
自由度，顾名思义，数据的自由程度，从测量者的角度讲，就是选择数据自由的程度。
当只有一个测量数据的时候，你没有选择的余地，所以自由度为0；
当有两个测量数据的时候，从中你必须选择其中一个，当选定一个的时候，你只有一个机会选择另外一个，所以自由度是1；
当有n个测量数据的时候，从中你必须选择其中一个，当选定一个的时候，你只有n-1个机会选择，所以自由度是n-1。

同理对于方差而言，自由度可以这样理解
当只有两个测量数据的时候，如果你已经知道平均值，则你任意自由选定一个测量数据，另一个测量数据必然被确定，所以自由度是1；
当有n个测量数据的时候，如果你已经知道平均值，则你任意自由选定n-1个测量数据时，另一个测量数据也必然能够被确定，所以自由度是n-1

关于这个为什么是N-1而不是N的问题，《现代数学手册－随机数学卷》（华中科技大学出版社）P54关于样本方差定义时，就提到在该书2.2.1小节解释，随即在2.2.1小节即P62－P63页间明确提到这是为了得到无偏估计。

若自由度为0的话，还能够使用贝塞尔公式计算A类不确定度吗

计量坛 发表于 2015-9-28 21:45
若自由度为0的话，还能够使用贝塞尔公式计算A类不确定度吗

　　自由度是自由获得测得值的个数，因此每个测得值都应该有一个自由度。但n次重复测量的n个测得值的总共n个自由度受到了“残差和为零”这一个条件的约束，自由度也就少了一个，所以n次重复性测量的自由度为n－1。
　　“若自由度为0的话”就标志着一个测得值都没有产生，一次测量都没有进行，还哪里谈的到不确定度的A类评定？只有在充分掌握输入量信息的情况下，直接用掌握的信息评估不确定度，这就是不确定度的B类评定，此时只有傻子才去花钱、花时间、花精力搞什么A类评定。

规矩湾锦苑 发表于 2015-9-28 22:14
　　自由度是自由获得测得值的个数，因此每个测得值都应该有一个自由度。但n次重复测量的n个测得值的总共 ...

没办法，课程老师要求，费时费力也还是得做，重点还不懂什么是什么就要开工了。言归正传，照你的说法，一个数据是没有办法求得不确定度的A类评定对吧

计量坛 发表于 2015-9-28 22:19
没办法，课程老师要求，费时费力也还是得做，重点还不懂什么是什么就要开工了。言归正传，照你的说法，一 ...

　　一个数据有没有办法求得A类评定方法评估的不确定度，只需要读一下JJF1059.1-2012的4.3.2条就一清二白了。该条款明确指出，“对被测量进行独立重复观测”，“得到一系列测得值”是A类评定的前提条件，“一个数据”算不上“一系列”测得值，无法进行统计分析。
　　作为一个练习或家庭作业，老师要求进行一个Ａ类不确定度评定，无可厚非，学员应该积极完成。但日常工作中，不问青红皂白一律进行了Ａ类评定再进行Ｂ类评定，就违背了JJF1059.1关于不确定度分量评定既不重复也不遗漏的原则，就是错误的评定方法了。

规矩湾锦苑 发表于 2015-9-28 23:12
　　一个数据有没有办法求得A类评定方法评估的不确定度，只需要读一下JJF1059.1-2012的4.3.2条就一清二白 ...

谢谢，因为现在学习上课程知识没有了以前的规律性，所以有点不适应，你这么一解释，感觉一下子豁然开朗了

文哥 发表于 2011-7-10 08:02
因为要求统计估计值是无偏的，从严格数学推导中可以证明除（n-1）是无偏的，而除n无法满足无偏性要求。 ...

方差估计是无偏的，用贝塞尔公式估计标准偏差是有偏的。但方差估计的单位是被测量的平方，使用不方便，故采用贝塞尔公式。