方差的新概念—兼论阿仑方差

                        方差的新概念—兼论阿仑方差

                                                             史锦顺

                   摘要
                     指出当今风行于世的阿仑方差有错误。详细分析了阿仑方差的来龙去脉，指出阿仑方差前提出错，以至物理意义费解。

             本文在扬弃阿仑方差的基础上，提出物理意义十分直观的自差统计这一新概念，既能表征频率稳定度，又可表征基准的

             不确定度。用于雷达测速的精度分析，简洁方便。

      （告网友：本文中有较难查到的贝塞尔公式、阿仑方差公式的推导。）

                            引言

    阿仑方差是美国人阿仑于1966年提出的[1]，1971年被11位时频界权威人士推荐，作为频率稳定度的表征量[2]。此后，阿仑方差迅速风行于世，并进入多项国际性标准。我国也随之采用，并载入多种教材与多项国家标准中。

    阿仑方差强调取样时间，对频率稳定度表征方法的统一，有所贡献。但是，阿仑方差有错误。

    阿仑方差的错误之一是引用贝塞尔公式时忘记了贝塞尔公式成立的条件，即测量次数N必须足够大。阿仑在推导中引用贝塞尔公式，同时令N等于2，这是不能并存的两件事。要用贝塞尔公式，N必须足够大，不能令N等于2，因为N等于2时贝塞尔公式不成立；出于某种理由，要令N等于2，那就不能引用贝塞尔公式，道理同前，N等于2时得不出贝塞尔公式。

    阿仑方差要处理的是存在发散困难的情况，而引用贝塞尔公式却是承认有数学期望、无发散的条件，这就违反了阿仑方差提出的前提，犯了前提性的错误。

    阿仑方差的错误隐含在繁杂的数学推导中，又似乎以多组测量来等效多次测量，致使不少大师级学者受蒙蔽。

    阿仑方差表达公式有误，但阿仑方差理论有其合理部分。正视发散困难、强调采样时间，都要肯定；而取二量，且是差值，这启发笔者想到取自差。

    本文在扬弃阿仑方差的基础上，提出自差统计这一新概念，自差统计不仅用于频率稳定度的表征，而且为基准的不确定度提供了表征方法。

    本文详细论述方差理论，目的有二：其一，测量与统计两学科并讲，以看出二者的区别与共同点；其二，分析清楚经典方差理论的来历，正可以批驳当今的权威理论阿仑方差。笔者以前在计量学术会议上批评阿仑方差的几篇文章，都是只点出问题，未便多讲方差理论，有些人觉得查找不便；本文补上这一点，以便于读者品评、比较。

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2011-1-18 07:59 上传

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谢谢史老师分享

史老多次提到不确定度论否定真值，但是我并没有觉得有否定啊，我印象里不确定度论只是说真值的不可得。这并不是指真值不存在而是不可得。就像小孩拿高处的东西，并不是东西不存在，而是够不到。

史老有没有效自由度的评定公式（韦尔奇-萨特思恩特公式）的推导啊，想学习学习。

回复 3# yzjl3420646

“否定”一词的应用，有四个层次：1是否存在，2 是否可知，3是否能用，4是否主流。第四点常见于历史人物评价，如说“秦始皇有功有过，肯定他还是否定他，历来有不同观点。”这里，否定派否定的是秦始皇功大，不是否定他在历史上的存在。对真值的否定是前三个层次。1层意义的否定有一次，2层意义的否定多次，3层意义的否定是不确定度论的本质——否定误差、误差范围、准确度这些基本概念的功能，说这些概念没用，以便于推行那个他自己也说不清楚“是什么”的不确定度。我多处说的“不确定度论否定真值”，就是在这三个层次上说的。请看下边的短文。

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不确定度论是怎样否定真值的

我们分析不确定度论，着重三篇文件： 测量不确定度表征导则（国际标准化组织等八个国际组织的指导性文件，简称GUM）；国际通用计量学基本术语（ISO等八个国际组织标准，简称VIM）；NIST TN1297（美国国家标准技术研究院文件，以下简称NIST文件）。请看这三个基本文件是怎样否定真值并进而否定误差与准确度的。

一 GUM：

1. 在谈论不确定度的第1个定义（涉及误差）和第2个定义（涉及真值）时，GUM说：“它们着眼于不可知的量：测量结果的‘误差’和被测量的‘真值’（不是它的估计值）” ——2.2.4

    2.“误差是一个理想的概念，误差不可能准确知道。”——3.2.1

    3.“真值按其本性是不可确定的。”——B.2.3

4.“准确度”是一个定性的概念。——B2.14

    5.“术语‘被测量的真值’或量的真值（常简称‘真值’）在本导则中避免使用，因为‘真’字被看作是多余的。‘被测量’意味着‘受测量的特定量’，因此，‘被测量的值’意思是‘受测量的特定量的值’。因为‘特定量’通常理解为定义的或规定的量。在‘被测量的真值’中的形容词‘真’是不必要加的——被测量的‘真值’（或量的‘真’值）就是被测量的值。（或量值）。此外，正如前面讨论所指出的，单独的‘真值’仅是一个理想的概念。”——D3.5

    6.“本导则的重点是测量结果及其评定的不确定度，而不是不可知量‘真’值和误差。…本导则实际上要将不确定度和不可知量‘真’值和误差即通常要混淆的术语区分开。”——E.5.1

7.“事实上，本导则的使用方法的重点是放在量的观测的（或估计的）值和该量值的观测到的（或估计的）变动性，完全不必提及任何误差。”——E5.4

二 VIM

1 量子效应排除唯一真值的存在（VIM第一版（1984）1.18）

    2 “在经典的研究中，真值是描述被测量的单一的量值。要得到真值，需靠理想完美的测量，这是一种没有测量误差的测量。真值，依其本性，是不可能得到的。”——VIM（2004版）附件A1注1

    3 “在不确定度的研究中，‘真值’的概念被废止。”——A1（1.19）注2

    4 “准确度不能用数值表达。”——A2（3.5）注1

三 NITS文件

1 “‘准确度’是一个定性的概念。”“由于‘准确度’是一个定性的概念，不应该将它用数字定量表示。”——D.1.1.1

    2 “一般说来，测量的误差是不知道的，因为被测量的值是不可知的。”——D.1.1.4

    上述三大文件的这13条，都是错误的。如果有什么不同意见或不解，请提出来，我可以逐条详谈。讨论学术、有机会表达、宣传自己认为正确的观点，是快乐的事。因为论述的是计量学术界的大事，多谈详谈是值得的。

回复 5# 史锦顺

感谢史老的指点，或许我受到了不确定度论的“污染”，但我觉得不确定度论的一些论述还是有些道理的。
        以下是我了解和理解的这几个词条的意义：
        1.真值  真值与给定的特定的量定义一致的值。那么所谓的“特定量的定义”是什么呢？就是被测量嘛，那么这句话意思就是真值等同于被测量。这就好解释GUM中为什么提出避免使用“真值”这个词条：当“被测量”和“真值”组成“被测量的真值”的时候同一个定义被重复使用了。
        2.准确度  准确度是测量准确的程度，算是个简写吧。我们确实可以用误差直接表述出测量准确的程度，但是基于测量误差不可得的理论（下一条解释），用误差表述测量准确的程度确实不够严谨。但是用不确定度呢？您看，不确定度、准确度，用不确定度表述准确度？这个有点不靠谱而且易于混淆吧？
        3.关于误差、真值的不可得。也就是您所的否定这两个值的可知。这是肯定的啊，真值是理想情况下才能得出的，在现实中无论如何也无法得到。那么误差呢？误差=真值-测量值，测量值我们可以知道，但真值不知道，我们从哪得到误差去啊？这是这两个量的固有规律所导致的必然现象啊。
        4..“本导则的重点是测量结果及其评定的不确定度，而不是不可知量‘真’值和误差。…本导则实际上要将不确定度和不可知量‘真’值和误差即通常要混淆的术语区分开。”——E.5.1
       “事实上，本导则的使用方法的重点是放在量的观测的（或估计的）值和该量值的观测到的（或估计的）变动性，完全不必提及任何误差。”——E5.4，GUM是意图建立一个有别于误差论的、绕过真值和误差的争论，只是对观测值和观测值的分布进行研究。虽然GUM对待真值和误差有些粗暴，但是其意义应该是指GUM论述的是另外一个测量的体系，并不去讨论真值和误差。
        5.在准确度定性不定量的理解上，我支持您。测量准确的程度肯定可以定量的。

基础知识，得认真读读。谢谢