误差方程的新概念（扩充本）

        误差方程的新概念（扩充本）

                                                         史锦顺   

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测量讲究准确，准确是测量的精髓。计量以标准的准确，保证测量仪器的准确，准确是计量的命脉。

量是物质、物体、现象的可定量区分并可定量确定的属性。物理量的量值是客观存在。真值是量的客观值、准确值。

准确性用误差来衡量。误差是测得值与真值的差距。误差一词有双重含义：误差元与误差范围。误差元定义为测得值减真值，是可正可负的量。误差范围是误差元绝对值的最大可能值，又称最大允许误差。由于随机误差的存在以及系统误差的某些随机性，误差范围是个统计量。误差范围是非负的值。在人们的习惯用语中，误差范围又简称为误差。误差元的概念，只在误差理论一开始时用；而在误差理论主要表达中，特别是在实际应用中，所称的误差，都是指误差范围。

误差范围的概念，实际应用中又区分为几种。

A 误差范围。以真值为参考标准的误差元绝对值的最大可能值，有人称其为真误差范围，本文简称为误差范围，测量仪器的误差范围记为R，N级计量标准的误差范围记为R(N)。

测量仪器与计量标准的误差范围，又称最大允许误差，是测量仪器与计量标准的标志性指标，是由技术规范标明的。测量仪器的误差范围，由仪器说明书规定，由计量部门的检定证书确认。测量仪器的使用者，要知道说明书的规定，要验明检定证书或检定标志。

B 误差范围目标值。以上级计量标准为参考标准的误差范围称误差范围的实验值。误差范围的实验值的标称值，称误差范围的目标值，记为R(T)。按误差方程算得。

C 误差范围实测值。以上级计量标准为参考标准，实测得到的误差范围（误差元的最大可能值），称误差范围的实测值,记为R(M)。

例如，我国砝码检定规程（与国际标准等同），对2kg的M2等砝码，规定误差范围是300mg[R(M2)],规程又规定其误差范围目标值是200mg[R(T,M2)。实际测量时以M1等砝码为参考标准，要求实测的误差范围[多次测量的误差元的最大可能值,R(M)]即误差范围实测值,必须小于或等于误差范围的目标值（200mg，请注意，不是砝码指标标定的300mg）,才能判为合格。本文揭示上述A、B、C三种误差范围的理论关系。

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1 误差方程的基本形式

1.1 测量仪器

M表示测得值，Z表示被测量的真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B为标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。

            r = M - Z

           R =｜M - Z｜(最大值)                                                                                                （1）

先把绝对值式(1)解开，变成两个式子，再取其中的大者。

检验测量仪器的误差，要用该测量仪器去测量N级计量标准。测得值是M；N级标准的真值是Z(N)。

当M > Z(N)时，绝对值式（1）的解是

          R = M(最大) – Z(N)

          R = M(最大) –B(N) + B(N) – Z(N)

          R = R(实验A) + R(N)
接下楼

接 1# 史锦顺 文

当 M < Z(N)时，绝对值式（1）的解是

             R = Z(N) – M(最小)

  对此式右边加减标准的标称值

            R = B(N) - M(最小) + Z(N) – B(N)

            R = R(实验B) + R(N)

得到的R(实验A) 与R(实验B)二者中的大者作为 R(实验)，则有

           R = R(实验)＋R(N)                                                            （2）

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1.2 计量标准

Z(N).表示N级标准的真值，B(N)为N级标准的标称值。要确定N级标准器的误差，要用上一级标准即N-1级标准器构成一台N-1级标准测量仪器。N-1级标准测量仪器由N-1级标准器加比较仪器构成。要求比较仪器引入误差可略，于是N-1级标准测量仪器与N-1级标准器误差相同。用N-1级标准测量仪器测量N级标准器，得M(N-1)。

      r(N)= B(N) – Z(N)

            R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值)                                        （3）

先把绝对值式(3)解开，变成两个式子，再取其中的大者。

当B(N) > Z(N)时

      R(N) = B(N) – Z(N)

      R(N) = B(N) –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)

            R(N)  =  R(N,实验A) + R(N-1)

当B(N) < Z(N)时

            R(N) = Z(N) –B(N)

      R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)

            R(N) = R(N,实验B) + R(N-1)

接下

   

接 2# 史锦顺 文

得到的R(实验A) 与R(实验B)二者中的大者作为 R(实验)，则有

           R = R(实验)＋R(N)　                                 （2）

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1.2 计量标准

Z(N).表示N级标准的真值，B(N)为N级标准的标称值。要确定N级标准器的误差，要用上一级标准即N-1级标准器构成一台N-1级标准测量仪器。N-1级标准测量仪器由N-1级标准器加比较仪器构成。要求比较仪器引入误差可略，于是N-1级标准测量仪器与N-1级标准器误差相同。用N-1级标准测量仪器测量N级标准器，得M(N-1)。

        r (N)= B(N) – Z(N)

                R(N) =｜B(N) – Z(N)｜(最大值)                                                    （3）

先把绝对值式(3)解开，变成两个式子，再取其中的大者。

当B(N) > Z(N)时

        R(N) = B(N) – Z(N)

        R(N)= B(N) –M(N-1)+ M(N-1) - Z(N)

                R(N) = R(N,实验A) + R(N-1)

当B(N) < Z(N)时

                R(N) = Z(N) –B(N)

        R(N) = M(N-1) - B(N) + Z(N) –M(N-1)

                R(N) = R(N,实验B) + R(N-1)

取R(N,实验A) ,R(N,实验B)之大者为R(N,实验)

则有
                       R(N) = R(N,实验) + R(N-1)                               (4)

(2)、(4)式是误差方程的基本形式。

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2 量传误差方程

    量值传递是计量的基本工作方式。将基准的量值，在保证特定误差范围的条件下，逐级传递给计量标准，直至测量仪器。测量仪器分级，表现不同的技术水平，如电表的分级。计量标准的等级概念，等一般表示地位从属关系，上一等标准是下一等标准的计量参考标准。级则仅表明准确性水平的高低。

接下

接 3# 史锦顺 文

    计量标准以误差范围R(N)（以真值为参考标准）来表征。

标准序号    0（基准）      1等          2等          3等  ……         N-1等           N等

误差范围       R(0)                        R(1)                  R(2)                    R(3)                 R(N-1)                     R(N)

误差范围       R(0)                        KR(0)               K^2R(0)             K^3 R(0)         K^(N-1)R(0)            K^NR(0)

R(0)是基准的误差范围，不是靠上一等标准来测量，而有专门的测量与评定方法。

R(i)表第i等标准的以真值为参考标准的误差范围。又简称真误差。

K是量值传递因子，误差范围之比，下一等比上一等。K=1/q 。

R(实验测)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的实测值。记为R(M).

R(实验标)是以上一等标准的标称值为参考标准的误差范围的标称值。又称实验要求值，或目标值，由计算得出。记为R(T)。R(T)是R(M)的允许的最大可能值。

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    下面求由误差范围计算误差范围目标值R(T)的公式。

当q不是等值时，q(1/2)表示误差范围1级比2级。由（4）式 ，误差范围实验值的标称值（目标值）第i等，(i为1到N)

      R(T,i) = R(i,实验标)= R(i)- R(i-1)

用q[(i-1)/i]表示i-1等误差范围与i等误差范围之比，则有

       R(T,i) = R(i)（1- R(i-1)/R(i)）

      R(T,i) = R(i){1-q[(i-1)/i]}                              (5)

当各等之间的q值相同或大体相同时，

      R(T,i) = R(i)[1-q]                                       (6)

(5)式、（6)式为量传误差方程。

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命题：检定的判别标准

误差范围的以上一等的标准为参考标准的实测值记为R(M,i)。

当

      R(M,i) ≤ R(T,i)                                         (7)

时，判为合格；否则不合格。

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3 溯源误差方程

3.1 测量仪器溯源误差方程

M表示测得值，Z表示真值。Z(N).表示N级标准的真值，M(N)为N级标准仪器的测得值。B(N)为N级标准的标称值。r表示误差元，R表误差范围。

接下

接 4# 史锦顺 文

（1）检验测量仪器误差，要用N级标准测量仪器或N级标准器。

A 用被检测量仪器和N级标准测量仪器同测一量（其真值为Z），被检测量仪器测得值为M，N级标准测量仪器测得值为M(N)。

           M – Z = M – M(N) + M(N) – Z  

           R = R(实验) + R(N)                                                                                       （2）

B 用被检测量仪器测量N级标准器，其标称值B(N)、真值Z(N)   

           M – Z(N)= M – B(N) + B(N) – Z(N)

           R = R(实验) + R(N)                                                                                        （2）

（2）检验N级标准测量仪器的误差或检验N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器或N-1级标准器。

A 测同一量，N级标准测量仪器测得值为M(N)，N-1级测量仪器测得值为M(N-1)

           M(N) – Z = M(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z  

           R = R(N实验) + R(N-1)                                                                                  （4）

B 用N级标准测量仪器测量N-1级标准器，其标称值B(N-1)、真值Z(N-1)

           M(N) – Z(N-1) = M(N) – B(N-1) + B(N-1) – Z(N-1)   

           R(N) = R(N实验) + R(N-1)                                                                             （4）

C 测量N级标准器的误差，要用N-1级标准测量仪器来测它

           B(N) – Z(N) = B(N) – M(N-1) + M(N-1) – Z(N)

           R(N) = R(N实验) + R(N-1)                                                                              （4）

（3）同理可知

           R(N-1) = R(N-1实验) + R(N-2)

           R(N-2) = R(N-2实验) + R(N-3)

           ……

           R(2) = R(2实验) + R(1);

           R(1) = R(1实验) + R(0)

R0是基准误差，由基准给出。

接 5# 史锦顺 文

以上各式逐一写出，并用后式代替前式的最后一项，有

         R = R(实验) + R(N)

         R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1)

         R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2)

         R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2实验) + R(N-3)

以下再代换掉R(N-3)……，最后成为

         R = R(实验) + R(N实验) + R(N-1实验) + R(N-2实验) + ……

               + R(2实验) + R(1实验) + R(0,实验)

量值传递关系决定的级间误差范围之比值（上一级比下一级）为系数q，将以上各级误差实验值表为R(N实验)的倍数（^表乘方，*表相乘）

         R = R(实验) + R(N实验) + qR(N实验) +q^2 *R(N实验) +……

               + q^(N-2)*R(N实验) + q^(N-1)*R(N实验) +q^N *R(N实验)

第2项以后把公因子R(N实验)提出，成为首项为1，比值为q的N+1项的等比级数，

         R = R(实验) + R(N实验) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]                          （8）

等比级数求和，略去q的高阶项q^(N+1)。

结果为

         R = R(实验) + R(N实验)/(1-q)                                                                                               (9)

3.2计量标准溯源误差方程

对N等计量标准(包括已纳入计量系列的测量仪器)，(8)式改写为：

        R(N)= R(N实验) [ 1+ q + q^2 +……+ q^(N-2) + q^(N-1) +q^N ]

解得

        R(N) = R(N实验)/(1-q)                                                                                                             (10)

=

4 误差方程计算的例

    因子计算

            q              1/10              1/5                  1/4                    1/3                      1/2

       1/(1-q)         1.11              1.25                1.33                  1.50                    2.00

接6# 史锦顺 文

值得注意的是误差范围实验值对误差范围（真误差范围）的相对差  

            [R(实验) – R] / R =R(实验) / R – 1 = - q

       q为1/10, 用误差的实验值代表误差值，表达的相对差-10%，忽略大致可以；q为1/3, 误差的实验值相对差已达-33%，该认真计算了，不能忽略了之。

解决的办法，砝码检定规程是很好的例子，合格性判别时，按（7）式处理。

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5 误差方程的意义

推导中每步都用真值，但结果中不包含真值，实现了用标准值对真值的代换。

误差方程完成的是上级标准值的功效到真值功效的过渡。

误差方程实现了从误差实验值到误差（即真误差）的计算。

有了误差方程，可以解除对误差理论的疑虑了。误差方程将在计量、定标各种场合广泛发挥作用。

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讨论1 本文误差方程的计算结果与砝码检定规程的比较

本文对误差的概念，区分为误差元与误差范围，指出通常所说的误差是误差范围的简称。本文所称的误差方程，是误差范围方程。

测量得到的每个数据，都对应一个误差元，由于随机误差因素的存在，单个的误差元，可大可小，甚至可能为零，必须考察误差元的群体特性。误差元的可能范围，是表征误差元群体的一个实用指标。误差范围并不是将测得数据的最大值减最小值，而是用统计的办法。通常按贝塞尔公式求标准偏差西格玛，而以三倍西格玛作为随机误差范围再加系统误差范围构成误差范围。

本文指出误差范围有三种形式：1误差范围（以真值为参考标准）；2误差范围目标值；3 误差范围实测值。本文揭示这三种误差范围之间的关系。

    1 误差范围目标值与误差范围的关系

      R(T,i) = R(i)[1-q]                                 （6）

    2 合格性判别标准-即对误差范围实测值的要求

       R(M,i) ≤ R(T,i)                                   （7）

    将(6)式、(7)式与国家砝码检定规程[1]比较，不难看出，检定规程对正方向的要求与本文计算一致，规程取q的最大值为1/3.负方向要求比本文还严。而国际标准[2]，正负方向都与本文一致。

接 7# 史锦顺 文

讨论2 从砝码检定规程看不确定度论的被忽略的地位

仔细分析砝码的国家规程（2006年）和国际规程（2004年），不难看出，不确定度理论在这两个规程中，虽然都用了，但总的来说，处于可有可无的地位，其下场是最终被忽略。

1 标志N等砝码的指标是最大允许误差，即误差范围，是以真值为参考标准的误差范围，这是与否定真值、回避真值的不确定度论相对立的。

2 不确定度不是标准的指标，与标准质量无关。

3 规程要求所评定的不确定度必须小于或等于最大允许误差（误差范围）的三分之一，这是对不确定度的极大藐视。

4 不确定度的评定结果，下场是被忽略，并不计入检定的结果。

5 对N等计量标准的检定，本来测量与有效的评定应是对N等标准本身，而所进行的不确定度评定，主要内容是上一等（N-1等）标准的误差范围，附加仪器（比较器）的误差，以及一些测量方法的误差问题，大都是检定的手段问题，不是N等标准的性能本身。不确定度评定，不是对检定对象的评定，而成了对检定条件的评定。而这些对检定条件的考核，是误差理论早已解决了的问题。况且不确定度评定的结果偏小，最后的下场是“评定的结果是可以忽略的”。

请注意，砝码检定规程的制定者，在中国是国家质量监督检验检疫总局；而国际砝码检定规程的制定者是OIML（International Organization of Legal Metrology）即国际法制计量组织。笔者反对不确定度论，有些网友觉得怪，那就请读一读我国和国际砝码检定规程吧，请看我国最高计量领导机关与国际计量组织在具体的检定规程中是怎样藐视不确定度论的！

参考文献

[1]中华人民共和国国家计量检定规程 JJG99—2006 砝码

[2]Weights of classes E1, E2, F1, F2, M1, M1–2, M2, M2–3 and M3

OIML R 111-1 Edition 2004 (E)

[3]中华人民共和国国家计量检定规程 JJG379-2009 大量程百分表

[4]时间频率计量名词术语及定义JJF1180-2007

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