误差公式的可能错误与原因分析——测量计量基本概念(12)

             误差公式的可能错误与原因分析   

                       ——测量计量基本概念(12)   

                                                                                                                                     史锦顺   

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（一）误差范围公式

参照《数学手册》（1978版，237页）给出的量的代数和的误差公式编写。

A量的测得值是A(测)，真值是A(真)。

误差元：

               r(A)= A(测)―A(真)                                                     （A.1）

误差范围是

              R(A)= │r(A)│max=│A(测)―A(真)│max                              （A.2）

B量的测得值是B(测)，真值是B(真)

误差元：

              r(B)= B(测)―B(真)                                                         （B.1）

误差范围是

              R(B)= │r(B)│max=│B(测)―B(真)│max                                （B.2）

类似，合成量C的误差范围记为R(C).合成量D的误差范围记为R(D)。

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定理一： 二量和的误差范围等于二量误差范围之和

               C=A+B                                                                             （C.1）

               R(C)= R(A)+R(B)                                                            （C.2）

证明：

由基本公式（C.1）,误差元为：

               r(C)= r(A)+r(B)                                                                （C.3）

误差范围为
                      R(C)=│r(C)│max = │r(A)+r(B)│max         

                            =│r(A)│max+│r(B)│max

                      = R(A)+R(B)                                                              （C.4）

定理一得证。

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定理二： 二量差的误差范围等于二量误差范围之和（是和，不是差）

               D = A―B                                                                           （D.1）

               R(D) = R(A)+R(B)                                                             （D.2）

证明：

由基本公式（D.1），误差元为：

               r(D)= r(A) ―r(B)                                                               （D.3）

误差范围为
                      R(D)=│r(D)│max = │r(A) ―r(B)│max

误差元是可正可负的量

               R(D)=[±│r(A)│―[±│r(B)│]max

                      = R(A)+ R(B)                                                                （D.4）

定理2得证。

以上是正确公式。

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（二）错误的误差范围公式

1 正确公式

基本的、物理意义符合客观实际的公式，本文称其为“构成公式”。设构成公式为：

               C=A+B                                                                                 （1.1）

误差范围公式

               R(C)= R(A)+R(B)                                                                （1.2）

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2 可能操作1

将（1.1）式移项

               A = C–B                                                                                （2.1）

（2.1）式由构成公式（1.1）式推得，数学上成立；但移项丧失了（1.1）式的物理意义，不是构成公式。

（2.1）为二量之差，据定理2 应有：

               R(A) = R(C)+R(B)                                                                （2.2）

3 可能操作2

将（1.1）式移项

               B = C–A                                                                                 （3.1）

（3.1）式由构成公式（1.1）式推得，数学上成立；但移项丧失了（1.1）式的物理意义，不是构成公式。

（2.3）为二量之差，据定理2 应有：

               R(B) = R(C)+R(A)                                                                （3.2）

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4  三个误差公式中有两个是错误公式

综上，有三个误差范围公式：

               R(C)=R(A)+R(B)                                                                  （1.2）

               R(A)=R(C)+R(B)                                                                  （2.2）

               R(B)=R(C)+R(A)                                                                  （3.2）

（1.2）（2.2）（3.2）三个公式是矛盾的。

第一种判断法：R(C)是整体，R(A)是部分，部分不可能大于整体，因而（2.2）错误；R(B)是部分，R(C)是整体，部分不能大于整体，因而（3.2）错误。

第二种判别法

联立（1.2）（2.2）（3.2）三式，解得R(A)、R(B)、R(C)都是零，这显然不可能。说明三式不能同时成立。其中（1.2）是对的；而（2.2）、（2.4）必是错误的。

总之，误差公式（2.2）、（2.3）是错误公式。

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（三）出错的原因

物理公式的物理意义必须确切。

基本物理公式，又称物理公式的构成式，等号左端与等号右端有如下关系：

1 结构关系。等号左端为总量，右端为分量。即构成关系。

2 因果关系。等号右端为来源量。右端是因，左端是果。

物理公式等号的左右端移项之后，虽然数量关系对，可以用来计算，但物理公式一经移项，常常改变了物理意义，可能成为另一物理过程的表征。因此，由物理公式求误差范围公式的推演，应从物理公式的构成式出发。

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上述误差范围公式（2.2）、（2.4）推导所根据的物理公式，不是物理公式的构成式，故形成错误。

例

有两个钢棒，A钢棒的测量结果为：

               L(A)=M(A)±R(A)

B钢棒的测量结果为：

              L(B)=M(B)±R(B)

两棒连接(设光滑端面紧密连接)，求总长度C的误差范围。

设M(A)为100.12mm，R(A)为0.10mm；M(B)为70.23mm，R(B)为0.07mm

1 正确算法
       物理公式(构成式)为

              L(C)=L(A)+L(B)                                                                   （3.1）

由此出发，根据定理一，合成量的误差范围为：

              R(C)= R(A)+R(B)                                                                 （C.2）

代入具体量值为
                     R(C)= 0.10mm+0.07mm = 0.17mm

A段误差范围0.10mm，B段误差范围0.07mm，这是测量事实，得到总长误差范围0.17mm,是正确的，是符合客观事实的。

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2 错误算法

物理公式不用（3.1）而移项为：

               L(A) = L(C)-L(B)                                                                   （3.2）
       （3.2）式是二项之差，依定理二（二量差的误差范围等于二量误差范围之和）该有

               R(A)= R(C)+R(B)                                                                  （3.3）

已知实际情况是R(A)为0.10mm ，R(B)为0.07mm，R(C)为0.17mm，显然，公式（3.3）是错误的。公式（3.3）错误表现在：部分大于总体，违反因果关系，数值关系错误。
       公式（3.3）为什么错误？是因为推导时所依赖的公式（3.2）式，不是物理公式的原型，不符合本来的物理意义，不是物理公式的构成式。因此不能做为推导的出发点。

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非常好，谢谢老师，认真学习。

3 可能操作2
将（1.1）式移项
               B = C–A                                                                                 （3.1）
（3.1）式由构成公式（1.1）式推得，数学上成立；但移项丧失了（1.1）式的物理意义，不是构成公式。
（2.3）为二量之差，据定理2 应有：
               R(B) = R(C)+R(A)               
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2.3式在哪？

回复 3# solarup
      
     原文：
    （3.1）式由构成公式（1.1）式推得，数学上成立；但移项丧失了（1.1）式的物理意义，不是构成公式。
    （2.3）为二量之差，据定理2 应有：
               R(B) = R(C)+R(A)           
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    其中（2.3）式应改为（3.1）式。
    谢谢您的指正。