本帖最后由 史锦顺 于 2014-2-3 07:32 编辑
测量的随机偏差公式
——测量计量基本概念(13) 史锦顺 - （一）随机偏差的偏差范围公式 以下讨论随机偏差的合成。设被测量是一个大常量叠加一个小变量，这个小变量称随机偏差，量的随机偏差记为r(量)，测量仪器的随机误差记为r(仪)，量值测量结果的随机变化记为r(测)。统一称为偏差元r(量)、r(仪)、r(测)，它们的基本关系是： r(测)= r(量) + r(仪) （1） （1）式是基本物理公式，是构成式（见附录）。 定理： 大量采样的条件下，二独立随机变量和的σ的平方，等于二量中每个量的σ平方的和。 偏差元关系： r(测)= r(量) + r(仪) （1） 方差关系： σ(测)^2 = σ(量)^2 +σ(仪)^2 （2） - 证明 测量N次。第i次测量为 r(测i)= r(量i) + r(仪i) （3） 对（3）式两端平方求和取极限 D r(测i)^2 = D [r(量i) + r(仪i)]^2 （4） （4）左端为r(测)的定义方差，当N为有限值时，就是采样方差σ(测)^2.（通常所简称的方差。） （4）式的右端为： 右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(量i) + r(仪i)]^2 = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(量i)^2 + 2 r(量i)r(仪i) + r(仪i)^2] = Lim(N→∞) (1/N)∑r(量i)^2 + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(量i)r(仪j)] + Lim(N→∞) (1/N)∑r(仪i)^2 （5） （5）式的第二项是交叉乘积项，被测量的变化与仪器自身因素的变化量，它们是相互不相关的，是各自独立的。此交叉项有正有负，正负几率相等，大量交叉项相加结果相互抵消，当N趋于无穷时，第二项的极限是零。当N有限时，只要N足够大，则第二项即交叉项的值可以忽略。于是，当N足够大而为有限值时，有方差关系 σ(测)^2 = σ(量)^2 +σ(仪)^2 （2） 即公式（2）成立，证毕。 - （二）随机偏差公式可能的错误 1 将误差元构成公式移项 r(量) = r(测)―r(仪) （6） 由（6）式出发。测量N次。第i次测量为 r(量i) = r(测i) - r(仪i) （7） 对（7）式两端平方求和，取极限 Lim(N→∞)∑(1/N)r(量i)^2=Lim(N→∞)∑(1/N)[r(测i)+r(仪i)]^2 （8） （8）左端为r(量)的定义方差，当N为有限值时，去掉取极限符号就是采样方差σ(量)^2. （8）式的右端为： 右 = Lim(N→∞)∑(1/N)[r(测i) + r(仪i)]^2 = Lim(N→∞)∑(1/N) [r(测i)^2 - 2 r(测i)r(仪i) + r(仪i)^2] = Lim(N→∞) (1/N)∑r(测i)^2 + 2(1/N)Lim(N→∞)∑[r(测i)r(仪i)] + Lim(N→∞) (1/N)∑r(仪i)^2 （9） （9）右端第一项 (1/N)∑r(量i)^2是被测量值的方差σ(量)^2。 （9）右端第三项 (1/N)∑r(仪i)^2是仪器的方差σ(仪)^2。 如果认为（9）第二项2(1/N)∑[r(量i)r(仪i)]（交叉项）可以忽略，则可得出 σ(量)^2 = σ(测)^2 +σ(仪)^2 （10） （10）是错误公式。原因是交叉项不能忽略。r(测i)与r(仪i)不但不是相互独立，而且是相互强相关，是正相关，且相关系数是+1。乘积项r(测i)r(仪i)必为正值。此乘积项不可忽略。从公式推导的逻辑来说，（6）式不是物理公式的构成式，不能做为推导方差关系式的基础。 - 2 第2种错误，读者不难补写，此处从略。 - 附录 关于公式（1）与相关系数的思考 设被测量为L，测得值为M，测量仪器的实际传递函数为K，传递函数的标称值为K(O) M = K/K(O)L M(O)+Δ(测) = [1 +Δ(仪)][L(0)+ Δ(量)] Δ(测) = Δ(仪) + Δ(量) 测得值的改变量与测量仪器传递函数的改变量正相关，相关系数为+1。 测得值的改变量与被测量的改变量正相关，相关系数为+1。 - | 
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