讨论：误差与偏差的异同

njlyx 发表于 2019-5-18 13:29
你这是将两个实际不同的"量"混为一谈了： "C同学的成绩"与"C同学所在班级任一个同学的成绩"是两个不同的" ...

"C同学的成绩"与"C同学所在班级任一个同学的成绩"是两个不同的"量"，很对，一个测量结果的误差和其他任意一个重复测量结果的误差也是二个不同的量，照这个逻辑，一个测量结果的误差就属于常量了。

关于常量是确定量还是恒定量，请翻阅概率论吧。

yeses 发表于 2019-5-19 12:09
"C同学的成绩"与"C同学所在班级任一个同学的成绩"是两个不同的"量"，很对，一个测量结果的误差和其他任 ...

没弄明白此处的"推论"。

存异吧。

　　"C同学的成绩"是一个确定对象的成绩，应视为常量。"C同学所在班级任一个同学的成绩"对于每一个他（她）自己而言，也是一个确定对象，因此也是常量。前者可称为“保持不变的”系统误差，后者可称为“以可预见方式变化的”系统误差，关键点都是直指单个被测对象。
　　但，如果“任一个同学”并不特指哪一个，而是泛指这个班级的每一个同学，作为这个班整体，每个对象就不是确定的，而是指具有统计规律的这个整体，这就是“统计量”了。此时就正如叶老师所说的，"C同学的成绩"与"C同学所在班级任一个同学的成绩"是两个不同的"量"，很对，一个测量结果的误差和其他任意一个重复测量结果的误差也是二个不同的量。
　　一个特定被测对象的量是特定的，测量结果也是特定的，误差就一定是一个特定的值，也就一定属于系统误差的性质。所以系统误差的定义前提条件是“在重复测量中保持不变或以可预见方式变化”。正因为保持不变和可预见，测量次数也就无关紧要，即便测量一次也还是那个“保持不变”的误差值，也还是“可以预见”的误差值。
　　一群对象的整体作为被测量，测量结果存在于带有分散性的区间内，所以，只有统计量才会有随机误差。因此，随机误差的定义前提条件是“在重复测量中按不可预见方式变化”，即误差必为经多次测量且是以不可预见方式变化着的。而单个被测量的单次测量只有系统误差而没有随机误差。

               论贝塞尔公式成立的条件
                                 ——答njlyx先生
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                                                                                                                                                                                                    史锦顺
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        5月12日（5层楼）njlyx 质疑∑didj≈0是否成立。我写了个回帖，当时没有发。因为觉得此事重大，要十分慎重。
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       njlyx在5#说
      【由于正态曲线（钟形线）的对称性，∑didj≈0 】？……其中的"求和"范围(项数)有多大？如果是"无穷大"，成立；如果"足够大"（由此"足够大"项数样本值"统计"出的"概率密度"已非常接近那个"钟形曲线"---如果不做"额外"要求，此"足够大"项数不说数千、也可能要大几百！），大概成立； 如果项数只不过平常多见的数十项，若不要求"额外"的条件，是不能成立的！……这个"额外"条件就是:这些样本值之间相互"独立"---"互不相关"。……这些在"概率统计"理论中有明确论断。】
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       先生过虑了。证明贝塞尔公式，以及我的证明：“平均值与期望值距离的公式”，都要求有“∑d_id_j的量值”这个条件。倘如先生所言，通常的测量几十次贝塞尔公式不能成立，误差理论与统计理论，就都没有实际意义了。
       事实绝非如此。二百多年来，测量计量学与稍晚一些的数理统计理论，对贝塞尔公式的应用是成功的，贝塞尔公式的正确性是没有疑问的。先生的问号，说明先生对贝塞尔公式正确性的怀疑。
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       精密测量（多次测量）的测量次数，不少于20次就可以了。一般应在30次左右（频率稳定度要求测量100次）。至于有些人搞的测量6次是太少了。那是一些人为推行其某种统计法提倡的，而其根据又是贝塞尔公式。所谓“极差法”，由于取值过少，获得值差别很大，除个别破坏性试验（代价太高）外，不该应用。
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        njlyx又指出：“如果项数只不过平常多见的数十项，若不要求"额外"的条件，是不能成立的！……这个"额外"条件就是:这些样本值之间相互"独立"---"互不相关"。……这些在"概率统计"理论中有明确论断。”
       当时我想计算几个实例看看。竟然与我从前所想的截然相反。因为以前是看书记住的公式，现在实例竟然相反，十分惊奇；顾及我多次写文章，都是“近似为零”，一笔带过而并未细想，如今经njlyx先生点出，情况甚至比他讲的更严重：数据越多，与零的偏离越大，……如何向人交代？老史一时惊出一身冷汗，茫茫然十多天。
       倘仅是个人错误，影响有限，承认错误也就是了。但贝塞尔公式可是测量计量学、统计学的基础，不可或缺、不可动摇。……
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       经过一番反复思考，立基于“误差的绝对性与上限性”法则，终于弄清：仅仅需要修改一下已知的条件的说明，而所有的结论不变。因此，贝塞尔公式正确无疑；老史最新的理论成果（平均值与期望值的距离D公式）也是成立的。D公式的提出，意义在于：统计测量仅仅需要一组测量（组数M=1，而测量次数N≥20，这恰恰与人们的实际操作一致，而与GUM的条文不同）。
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1 误差量的特点
        误差量的特点是其“绝对性”与“上限性”。
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2 误差量舍弃的条件
        人们证明数学公式或物理公式，包括解方程，等号两边要相等，这是谁也不能违反的规律。数学公式与物理公式常常是理想公式，实践中要加一些近似条件，变成实用公式又称工程公式，才能应用。例如，标准方差的核心项是测量值减期望值，期望值必须测量无穷次，这没法操作。二百年前，贝塞尔先生，把“无穷次”，变成有限次“N”,这就实用化了。
        理论公式变成实际公式，必须满足如下条件1）够用；2）忽略量是微小量，可以忽略；3）忽略量虽然大，但满足变换的物理意义的特殊要求，也可以；于是条件2）变成了条件3）。本文重点阐述。
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       人们对条件1）与条件2）是很熟悉的。这条规律就是忽略的量必须是近于零的小量（与保存量相比）。
       误差量公式的证明，与此不同。不是公式两边的数值相等，而是左端（总量一侧），必须大于（或等于，下同）右侧各分量的合成结果

       例1  A、B二量差的误差范围，等于A、B二量误差范围之和。

       定理一：二量和的误差范围，等于二量的误差范围之和。
       证明
       （1.1）物理公式
              Y=A+B  
       （1.2）计值公式
       对物理公式加标号，m表测得值（下同）
              Y_m=A_m+B_m
       （1.3）测量方程
       联立物理公式与计值公式
              Y_m-Y=A_m-A+B_m-B
    （1.4）误差范围关系
    用r表误差元，R表误差范围（下同）
    由测量方程
           r_Y=r_A+r_B
          │r_Y│_max=│r_A+ r_B│_max
                 =│r_A│_max+│r_B│_max
    误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
           R_Y=R_A+R_B  
    定理一得证。

（2）差的误差公式
       定理二：二量差的误差范围，等于二量的误差范围之和（不是差）。
       证明
       （2.1）物理公式
              Y=C-B
       （2.2）计值公式
              Y_m = C_m-B_m.
       （2.3）测量方程
       联立物理公式与计值公式
              Y_m-Y = C_m-C – (B_m-B)
       （2.4） 误差范围关系
       由测量方程
              r_Y=r_C-r_B                                                （1）
             │r_Y│_max=│r_C- r_B│_max                 =│r_C│_max+│r_B│_max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
             R_Y=R_C+R_B
       定理二得证。

       对定理二的说明。由于r_C、r_B都是测量仪器的误差，测量者只知道其规格为│r_C│、│r_B│。
       由（1）式可能有
       │r_Y│1 =│r_C│-│r_B│      （r_C＞r_B）                    （2）
       │r_Y│2 =│r_B│-│r_C│      （r_B＞r_C）                    （3）
       │r_Y│3 =│r_B│+│r_C│                                    （4）
       由于误差范围是“最大可能值”，即误差量的上限性，取（2）（3）都可能是总结果偏小，都不允许。（4）则满足上限性条件，是正确取值。
       由（2）（3）（4）可知
只要原式比取值式小，则取值式（4）都符合误差范围定义，都是成立的。 就是说，原式减取值式之差是“负值”，则取值式就是合理的、成立的。附加条件是该负值的绝对值不大于取值式（因取值是各个取样值的平方和，通常不存在正种现象）。
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       由上分析可知，贝塞尔公式的证明中，不是要求∑di  d_j≈0，而是要求证明

                   ∑d_i d_j ＜ 0

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       贝塞尔公式的证明
       要证明
             (∑di)²  = ∑di² + ∑didj
之右端第二项可以忽略，只需要证明∑didj ＜ 0     
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       由于正态分布曲线的对称性，有
             ∑di = Δ
            （∑di）²  = Δ²                        
             ∑di² + ∑didj = Δ²                               （5）
             ∑didj =Δ² -∑di²                                  （6）
         由于Δ²是二阶小量，而∑di₂是取样值，是大量，因此（6）式一定是个大负值。由此，∑didj必为负值。由于误差量的上限性，所加负值可略，因此可取：
            (∑di)²  = ∑di²
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史锦顺 发表于 2019-7-1 16:41
论贝塞尔公式成立的条件
                                 ——答njlyx先生
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       对25^#的一点说明

                  ∑d_i² + ∑d_id_j = Δ²                               （5）
       对（5）式，以∑d_i² 代替等式左端，就是以可容忍的显著量，代替可略小量Δ²，这样做，符合误差范围“上限性”法则，因而是可以的。也是充分的。（不是充要条件。因为代表量可取(1/K)∑d_i²）

       如果取(1/K)∑d_i²为代表量

          ∑ν_i² = ∑d_i² -(1/NK) ∑d_i²

          ∑ν_i² = [(N-1/K)/N] ∑d_i²
          [1/N] ∑d_i² = [1/(N-1/K)] ∑ν_i²

        取（N-1）与取（N-1/K）都是允许的。由于N不小于20 ，古人已选取K=1,足够。

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史锦顺 发表于 2019-7-3 08:42
对25的一点说明

                  ∑d + ∑dd= Δ                               （5）

      对关系式（1）
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                       （1）
的理解，可以从随机误差（基础测量称误差，而统计测量称偏差，下同）合成的角度来想一想，就不会感到突然了。原来，（1）式竟是人们最熟悉的随机误差合成公式。

        d_i是随机误差元，共有N个。N个随机误差元之和（∑d_i）的误差范围R是多大呢？就是各个随机误差元的“方和根”：
                   R=√(∑d_i²)                            （2）
即
                   R² = ∑d_i²
       误差范围是误差元绝对值的最大可能值。
                   R = │(∑d_i)│_max
       求绝对值的方法之一是平方后再开根（初等数学规定根式为正值）
                   R =√(∑d_i)²                              （3）
       比较（2）（3），即知
                  (∑d_i)² = ∑d_i²                           （1）
       可见，（1）式乃随机误差理论的常见公式。用在公式证明中，不该为怪。
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史锦顺 发表于 2019-7-6 21:45
对关系式（1）
                  (∑d) = ∑d                     （1）
的理解，可以从随机误 ...

     如果d1~dN是"标量"，譬如，它们是一个"实数"误差序列{d1,d2,…，dN}的各个具体"误差"(您称为"误差元")，应该不存在形如(1)式的"等式"及"不等式"，无论这误差序列{d1,d2,…，dN}是否是所谓"随机误差"。………有关Bessel"实验标准偏差(校正)估计公式"推导中"认为""交叉乘积和近似为零"的"说法"，如您验证的那样：是不成立的【我原"以为"的那个"说法"，同样是"想当然"了，事实并非如此！特在此认错】。 您取"和平方值"等于"平方和"某个"分(/倍)数"的"认识"好像说的通？
      如果序列{d1,d2,…，dN}的d1~dN是有"若干分量"的"矢量"，则有形似(1)式的"不等式"("矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，仅当各分"矢量"相互"正交"时取"="号)…好像就称为"Bessel不等式"(待考)？………一个n"元素"的实数"序列"可以"对应"一个n维"矢量"……

补充内容 (2019-7-7 20:26):
说明：  此贴表述内容不确切，申明作废！  并特此道歉！

njlyx 发表于 2019-7-7 18:03
如果d1~dN是"标量"，譬如，它们是一个"实数"误差序列{d1,d2,…，dN}的各个具体"误差"(您称为"误差元 ...

更正：【"矢量和的模平方"≤"矢量模平方的和"，仅当各分"矢量"相互"正交"时取"="号)】的说法不确切。