间接测量的误差范围公式——测量计量的基本公式(2)

                         间接测量的误差范围公式
                                           ——测量计量的基本公式(2)
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                                                                                                                    史锦顺
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      以下公式，参照《数学手册》（科学出版社，1980版）编写。这是六项最基本的间接测量的误差范围公式。可惜，这些最基本的知识，一些人，包括某些专家，竟不知道。他们怎样计算呢？一律取方和根。他们讲道理时说，当分项间不独立时，要计及相关系数，要计算协方差。而计算相关系数、计算协方差，极其麻烦。怎办？通常都是设“独立”、“不相关”；这是掩耳盗铃的作法。不确定度理论推广以来，对通常的相关或部分相关的情况，都按“不相关”处理，这是错误的。
      不确定度论指谪误差理论没有统一的误差合成方法，从而主张一律取方和根。这是一条走不通的难路、死路。通常，测量者不可能去求相关系数。专家写书都写不出恰当的实例；一般人干不了这件事。本文说明：经典误差理论有极其简单的方法。本文介绍最基本的六大公式。好记，好用。
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      鉴于误差量的“上限性”的特点，经典测量理论的“绝对值合成法”，是简单的、现实可行的、保险的；也是合理的、正确的。
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      本文以数学的形式，说明经典方法的严格性、合理性。须知：误差合成是仪器设计者、测量方案设计者自己的事，这样做，自己方便、有利别人，是严于律己的做法，易懂易学、处理方便又保险，何乐而不为之？也许有人说，这样做，于己可以；要求别人，就不合理了。
      计量时，是要求别人。但是，计量靠的是标准，靠的是实测，计量对被捡对象的合格性判别，与误差合成方法无关。
      如果某些特定场合，需要进行误差合成，最可信的方法是绝对值合成。方和根的作法，难于实现，因为求相关系数既难又烦。绝对值合成，既简单方便，又可靠，不该忘记。
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（一）和的误差公式
      定理一：二量和的误差范围，等于二量的误差范围之和。
      证明
      1 物理公式
               C=A+B
      2 计值公式
      对物理公式加标号，m表测得值（下同）
               Cm=Am+Bm
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式
               Cm-C =Am-A+Bm-B
      4 误差范围关系
      用r表误差元，R表误差范围（下同）
      由测量方程
               r(C)=r(A)+r(B)
               │r(C)│max=│r(A)+ r(B)│max
                               =│r(A)│max+│r(B)│max
      误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
                R(C)=R(A)+R(B)                                      （1）

定理一得证。
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（二）差的误差公式
      定理二：二量差的误差范围，等于二量的误差范围之和（不是差）
      证明
      1 物理公式
               A=C-B
      2 计值公式
               Am = Cm-Bm.
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式
               Am-A = Cm-C – (Bm-B)
      4 误差范围关系
      由测量方程
               r(A)=r(C)-r(B)
              │r(A)│max=│r(C)- r(B)│max
                             =│r(C)│max+│r(B)│max
      误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
              R(A)=R(C)+R(B)                                        （2）
      定理二得证。
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（三）积的误差公式
       定理三：二量积的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
       证明
      1 物理公式
               C = A B
      2 计值公式
               Cm = Am Bm
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式，解得
               Cm/ C = A m Bm/(A B)
      4 误差范围关系
      由测量方程
              (C+ΔCm)/C = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
              1+δr(C) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
              δr(C) =δr(A) +δr(B)
             │δr(C)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
      误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
              δR(C)=δR(A)+δR(B)                                     （3）
      定理三得证。
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（四）商的误差公式
      定理四：二量相除，商的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
      证明
      1 物理公式
               A = C / B
      2 计值公式
               Am = Cm / Bm
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式，解得
                Am/ A = [Cm /Bm] B/C
      4 误差范围关系
      由测量方程
               (A+ΔAm)/A = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
               1+δr(A) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)] [1-δr(B)]
               δr(A) =δr(C) -δr(B)
              │δr(A) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
              δR(A)=δR(C)+δR(B)                                          （4）
       定理四得证。
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（五）幂的误差公式
      定理五：A等于B的n次方，则A的误差范围等于B的误差范围的n倍。
      证明
      1物理公式
               A =B^n
      2 计值公式
               Am = Bm^n
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式，解得
               Am /A= Bm^n/B^n
     4 误差范围关系
     由测量方程
                (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^n= [1+δr(B)]^n
                1+δr(A) = 1+nδr(B)
                δr(A) = nδr(B)
                │δr(A) │max=│nδr(B) │max = n│δr(B) │max
      误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
                δR(A)= nδR(B)                                                （5）
      定理五得证。
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（六）根的误差公式
      定理六：A等于B的n次方根，则A的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
      证明
      1 物理公式
               A =B^(1/n)
      2 计值公式
      对物理量加标号，m表测得值
               Am = Bm^(1/n)
      3 测量方程
      联立物理公式与计值公式，解得
               Am /A= Bm^(1/n) / B^(1/n)
      4 误差范围关系
      r表误差元，R表误差范围。
               (A+ΔAm)/A = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
               1+δr(A) = 1+(1/n)δr(B)
               δr(A) = (1/n)δr(B)
              │δr(A) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
      故有：
               δR(A)=(1/n)δR(B)                                                    （6）
      定理六得证。
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　　呵呵，对不起史老师，我又有疑问了。我觉得│A+B│与│A│＋│B│似乎只有在A、B符号相同才可画等号，符号不同不能画等号。既然r是您说的“误差元”，含有正负号，因此，│r(A)＋r(B)│max＝│r(A)│max＋│r(B)│max似乎并不妥。

回复 2# 规矩湾锦苑


    他表达的是“绝对值的最大可能值”，要点在“可能”两个字上，并不是说必然相等。所以我觉得公式是对的。

刚才写错了，帖子能删就好了。相关性分析很重要，这个如果忽视的话结论肯定是不准确的。

回复 4# 285166790

     你说“刚才写错了”，大概是指4#的已删掉部分吧，因为我恰巧看见了。你3#的说法是正确的。现在别人只能看到你现在的3#、4#的文字，会误解你现在的4#，是否定3#的发言。你是更改3#的看法吗？

回复 3# 285166790

　　我与史老师同感，3楼与4楼都是您的帖子，放在一起令人一头雾水，因此还请您能详细表达您的意思到底是什么。
　　仅根据您在3楼回复我的帖子来看，您说，史老师表达的是“绝对值的最大可能值”，要点在“可能”两个字上。但我在2楼说“│r(A)＋r(B)│max＝│r(A)│max＋│r(B)│max似乎并不妥”，这里的等式一个完整的等式推导，中间并无“可能”二字。
　　史老师使用的“可能”二字是用在之后的下一个结论的推断：“误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：R(C)=R(A)+R(B)” 。对于史老师这个因果逻辑推断，我的理解“可能”一词是无关紧要的，简单来说就是指：“误差绝对值的最大值是误差范围，故有……”，准确地理解应该是指“误差绝对值的最大值是误差范围的半宽，故有……”。我的理解得对不对就只有请史老师裁决了。

回复 5# 史锦顺


   是的，4楼开始写错了，又删不掉，还得凑十五个字才行。