差分是正路——不确定度评定微分的误导

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                            差分是正路   
                                             ——不确定度评定微分的误导
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                                                                                                                      史锦顺
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（一）差分与微分            
    两个量相减，结果称差。
    若二量大小相近，此二量的差称差分。差分远远小于量值本身，二阶量可以忽略。
    差分无限小，就是微分。函数的微分等于函数的微商与自变量微分的乘积。
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    微分在工程中被广泛应用。测量计量工作中的误差分析，主要是微分。微分用惯了，人们也就习以为常地随时用微分。
    微分的本来含义，是自变量的变化量，导致的函数的变化量，参考值是变化前的值。而测量计量的分析，要的是测得值与实际值的差值。计量时用标准的标称值代换实际值（真值），标准的标称值是参考值。差分可清晰反映这一点；而微分可能模糊参考点。
    笔者在几项标准与测量仪器的研制分析中，主要用差分。物理意义直观。
    现行的不确定度评定，用的都是微分。结果是多处出错。不是微分学本身有错，而是不确定度评定的微分，不分变量与常量，不明确参考值，见量就取微分，常常弄错表征量的归属，所给出的结论，几乎全错。
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（二）差分法对计量误差的分析   
    计量的误差是什么呢？
    测量是用测量仪器测量被测量，以求得被测量的值。而检定是用被检仪器来测量已知量值的标准，以求得测量仪器的误差，看是否合格。检定是测量的逆操作。测量仪器的误差，是检定的认识对象。
    检定的目的是求得仪器的误差，就是仪器的示值与被测量（标准）真值之差，而得到的是仪器示值与标准标称值之差；计量的误差分析，就是求得这二者的差别。这里的语言、记法、算法，都是差分。
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    设测得值为M，标准的标称值为B。标准的真值为Z。
    设仪器的误差元（以真值为参考）为r(仪)，检定得到的仪器测得值与标准的标称值之差值为r(示)，标准的误差元为r(标)。
    1 检定得到仪器的视在误差元为：
                r(示) = M―B
    2 测量仪器的误差元为：
                r(仪) = M―Z
    3 标准的误差元（根据《JJF1180-2007》）为
                r(标) = Z―B
    4 检定的计量误差元为：
                r(计) = r(示) ― r(仪)
    综上，有
                r(计) = r(示)―r(仪)
                     = M―B ―（M―Z）
                     = Z―B
                     = r(标)
    误差范围是误差元的绝对值的最大可能值。误差范围关系为：
                 │r(计) │max = │r(标) │max
即有
                 R(计) = R(标)                                                                               （1）
    R(标)是所用计量标准的误差范围。（1）式是计量误差的基本关系式。计量误差由标准的误差范围决定。计量误差与被检仪器的误差因素无关。
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    标准选用：设被检测量仪器的误差范围指标是R(仪，标称)，若：
                 R(标) ≤ R(仪，标称)/4                                                                   （2）
则检定标准符合要求（取1/4是 当前国际惯例，略优于我国计量规范《JJF1094-2002》的1/3）。
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    合格性判别：只要
               │r(示)│max ≤ R(仪，标称)―R(标)                                                      （3）
则被检仪器合格。
    与（3）式等效的表达式又记为：
               │Δ│max≤MEPV―R(标)                                                                     （4）
    Δ是被检仪器的视在误差元r(示)；MEPV是被检仪器最大允许误差，即被检仪器误差范围指标值R(仪，标称)；R(标)是所用计量标准的误差范围。
    以上这些，不是老史的发现，而是不确定度论诞生前，计量界的基本认识。这是计量实务，这是科学。是几百年来计量实践所证明了的差分分析。这是计量误差分析的正路。
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（三）不确定的评定模型微分的误导           
    不确定度评定的示值误差的模型为
                EX= X―B                                                                                       （5）
    不确定度评定的基本方法是微分。
    GUM评定的方法的基本点是基于微分法的对测得值函数的泰勒展开。
    欧洲的样板评定，直接写出偏差公式，这是测得值函数泰勒展开的简化形式。
    中国的样板评定，与国际上的通用方式是一致的。
    本文将各种形式的评定归并于如下的形式，统称不确定度计量评定，简称现行计量评定。
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    不确定度计量评定的基本公式是对示值误差模型（5）的微分。函数的泰勒展开，参照物就是量值自身。泰勒展开的一般形式为
                 f (X,Y,Z) = f(Xo,Yo,Zo) +(∂f/∂X)(X-Xo) +(∂f/∂Y)(Y-Yo) +(∂f/∂Z)(Z-Zo)
                 f (X,Y,Z) - f(Xo,Yo,Zo) = (∂f/∂X) ΔX +(∂f/∂Y) ΔY +(∂f/∂Z) ΔZ   
    一般形式用于模型（5），有：
                EX(0)+ ΔEX = X(0) + ΔX(分辨)+ ΔX(重复)+ ΔX(其他)―[B(0) +ΔB(标)]
                ΔEX =ΔX(分辨)+ ΔX(重复)+ ΔX(其他) ―ΔB(标)                                     （6）
    X是示值，B是标准量，EX是差值，加（0）表示无误差时的量。
    ΔEX 是要评定的不确定度（元），ΔX(分辨)表示被检仪器分辨力因素，ΔX(重复)表示“用测量仪器测量计量标准”时读数的重复性，ΔX(其他)是被检仪器其他因素的影响；ΔB(标)是标准的误差。
    （6）式是不确定度计量评定的基本公式。由于用微分，着眼点被误导到“量的变化”（与真值无关）。但计量误差（检定测量仪器误差的误差），不是量的变化，而是求得的“视在误差”与测量仪器的“定义误差”（离不开真值）的差别。因此公式（4）是正确的；而不确定度评定所本的公式（6）是错误的。公式（6）把被检仪器的性能如分辨力、稳定性等赖在检定装置的检定能力上，是错误的。公式错了，评定结果必然错误。
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     被测仪器的误差因素，包括ΔX(分辨)，ΔX(重复)，ΔX(其他)都必然体现在测量仪器的示值X与标准的标称值B的差值之中。不该对测得值X作拆分。
     拆分的第一作用是重计（与总指标重负）；第二作用是错计：ΔX(分辨)、ΔX(重复)、ΔX(其他)是计量的对象，把它们算在检定能力上，是错计。
    公式（6）式混淆了对象与手段的关系。
    公式（6），不是物理意义确切的计量误差的构成式。用（6）式考究计量问题，是基本公式错误。
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    计量不确定度评定的错误，与微分的误导有关。如果是差分，明确由于谁代换谁而产生误差，就会知道在计量误差的分析中，测得值是客观存在，是常值，是不该对它微分的。
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