关于分辨力的讨论

                                                           关于分辨力的讨论   

                                                       史锦顺   

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1 分辨力的意义

分辨力是测量仪器的性能要素之一。现有的测量学理论，对分辨力关注甚少，以致在应用中常被误解。

分辨力是测量能力的阈值。阈值就是门限、门槛，是测量仪器几项性能的限度。

       1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。随机误差、复现性的最小限度。

3 不准确性的最小限度。误差元与误差范围的最小限度。

    测量仪器的性能指标，必须在测量仪器能分辨得出的条件下，才能谈得上。许多文章，把指标分析得优于、甚至远优于分辨力，是不对的。
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实例1
       G先生用一台数字式频率计测量他研制的5兆赫高稳晶振，秒采样，显示数100个，都是5000000赫，代入公式计算，西格玛等于零。问我如何计算稳定度。我告诉他，数字式频率计1秒采样的分辨力是1赫，辨别不了1赫以下的频率变化。这个测量只能说明，你的晶振的性能，稳定性优于2E-7。

把100个测得值代入公式算，不稳定度是零，但这种计算无效。正确的作法是更换测量仪器，用频标比对器。该比对器采用微差倍增法(等效频率乘20000)，使分辨力提高到1E-11。再用计算计数器，扩展100倍，分辨力达到1E-13，这样才能正确测出高稳晶振的稳定度。后来，此人研制的晶振，荣获第一届全国晶振比对长稳第1名。

以上这个例子比较极端，不能将相同的数据代入公式计算这一点，比较容易识别。大量书籍、文献中，甚至样板评定中，数据最大变化仅为2，甚至仅为1，也代入贝塞尔公式计算，这是不妥当的。笔者认为，计算得到的西格玛一般不能小于分辨力的二分之一，或者最小不能小于分辨力的三分之一。这样才能符合分辨力是最小识别范围的逻辑。精密测量要求有高的分辨力。数据变化量要在分辨力的三倍一上，否则不能动用贝塞尔公式。

实例2
    一根钢棒，用米尺量，测得值100.5mm；用游标卡尺量100.00mm用千分尺量100.02mm。经比长仪测量得100.000mm。有人据此评论说，考察米尺、游标卡尺、千分尺的性能时，比长仪的测得值可视为真值，因此这组测量,米尺测量误差为0.5mm；游标卡尺误差为零，即不准确度为零；千分尺的误差为0.02mm。此评价忘了分辨力的作用。游标卡尺分辨力为0.05mm，算误差不能小于分辨力，因此游标卡尺的误差给法最低是0.05mm，而不能是零。

有人问：测得值减真值是误差吗，怎么上边对游标卡尺的计算不对？

可以这样理解，游标卡尺的测得值L(D)应写成：
                      L (D)= 100.00mm±0.05mm

设真值L(Z)是100.000mm，则误差为L(D)减L(Z)，就不会得零了，而是得±0.05 mm。因此，即使测得值等于真值，测量误差的最小值是分辨力，而不应是零。

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2 误差理论对分辨力的处理

误差理论讲到分辨力时，通常认为：若分辨力是D, 则分辨力的误差范围是±D。也可表示为误差范围[-D,+D]。

计数式频率计，分辨力为尾数的一个字，引进误差为加减一个字，并且有专有名称，叫“正负1误差”。例如0.1秒采样（闸门时间0.1秒），计数器尾数一个字代表10赫，因而分辨力引入的测量误差范围是±10赫。

接 1# 史锦顺 文

以上误差理论对分辨力的认识，载于各种书籍，特别是载于各种计数式频率计的说明书，就不再给文献出处了。

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3 不确定度论对分辨力的处理

不确定度论对分辨力处理的规范作法是：设分辨力是D，其半宽为D/2，均匀分布，除以根号3，得标准不确定度为0.29D。

不确定度论的这个对分辨力认识，载于众多文献。[1-3]

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4 关于分辨力的讨论

设分辨力是D，误差论认为此项误差的误差范围区间是[-D,D] 误差区间的宽度是2D，半宽度是D。

不确定度论认为：分辨力是D，不确定度区间半宽度是D/2

两种理论对分辨力的处理，差别甚大，是两倍关系。

本文论证：误差论对分辨力的认识是正确的；不确定度论对分辨力的认识是错误的。

我们做实验如下。

实验1
    取一台电子案秤。最低位为1克，即分辨力是1克。

我们来做分辨力实验。 用案秤测量10克砝码，显示为10克。加标称值为100毫克的砝码（以下加减砝码，都指100毫克砝码），加一个到3个砝码，显示都是10克；加4个砝码，显示为11克，加5个到13个砝码显示都是11克；加14个砝码时显示为12克，加15个到23个砝码，显示都是为13克。分辨力是10个100毫克的砝码，即1克。

我们看，加4个砝码（物重10.4克）时，显示为11克。再加9个砝码，显示仍为11克，就是说，在测量10.4克时，加9个砝码，仍分辨不出。

加13个砝码时（物重11.3克）时，显示为11克，减去9个砝码，显示仍为11克，减去9个砝码仍分辨不出。

分辨不出的情况，砝码增减的最大可能是加减9个砝码，因此其范围是加减0.9克。下表单位是1克。

接 2# 史锦顺文

    重物     显示      重物可能值          砝码重量变化范围(偏差可能范围)

        10.4            11               10.4——11.3                         0——0.9

        10.5            11               10.4——11.3                     -0.1——0.8

        10.6            11               10.4——11.3                     -0.2——0.7

        10.7            11               10.4——11.3                     -0.3 ——0.6

        10.8            11               10.4——11.3                      -0.4——0.5

        10.9            11               10.4——11.3                      -0.5——0.4

        11.0            11               10.4——11.3                      -0.6——0.3

        11.1            11               10.4——11.3                      -0.7——0.2

        11.2            11               10.4——11.3                      -0.8——0.1

        11.3            11               10.4——11.3                      -0.9——0

        11.4            12               11.4——12.3                          0——0.9

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此实验可以更细，增减的砝码小到10毫克或1毫克，于是相应的范围成为加减0.99克或加减0.999克。

因此，变化范围应为[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的电子秤，分辨范围是加减1克。

结论：分辨力是1，则按范围写出是正负1。因此除以2是不对的。

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我们再从示值误差的角度来讨论。

示值是以克为单位的整数。而被测物的重量是有各种可能的数。整数的转换点不同，则示值误差不同。

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       转换点内区间         被测物重      示值                示值最大误差元

       10.01     10.99              10.01                 11                     0.99

       10.1        11.0               10.1                   11                      0.9

       10.2        11.1               10.2                   11                      0.8

       10.3        11.2               10.3                   11                      0.7

       10.4        11.3               10.4                   11                      0.6

       10.5        11.4               10.5                   11                      0.5
              10.6        11.5               11.5                   11                                -0.5

       10.7        11.6               11.6                   11                                -0.6

       10.8        11.7               11.7                   11                                -0.7

       10.9        11.8               11.8                   11                                -0.8

       10.91      11.9               11.9                   11                                -0.9

       10.99      11.98             11.98                 11                                -0.98

       10.999    11.998           11.998               11                                -0.998

接 3# 史锦顺 文

例2      取一台数字式频率计。其原理是在标准的闸门时间内数被测频率的脉冲数。

被测频率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的闸门时间中，可能出现两个脉冲，测得值2赫，误差为0.9赫。若被测频率是0.9赫，即周期为1.1秒，一个采样时段中，可能一个脉冲都不出现，测得值0赫，误差为负0.9赫。

若被测频率是1.01赫，测得值可能为2赫，误差最大可能是0.99赫；被测频率是0.99赫，测得值可能为0赫，误差的极端值是负0.99赫。因而，当采样时间为1秒时，计数器一个字的分辨力的误差范围是[-1Hz；+1Hz],误差范围的半宽度是1赫。

样板评定实例[3]       0.1秒采样。即闸门时间为0.1秒。计数器每记得一个数，代表10赫。由此，区间半宽度是10 赫。样板评定以10赫除以2，得5赫做为区间半宽，这是不对的。

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结论   测量仪器的分辨力是D，误差范围是[-D,+D]，包含区间的宽度2D，区间半宽度是D。数字式仪表的分辨力D是最低位的一个字，误差范围是[-1,+1]，区间的半宽是一个字所代表的量。

对分辨力的认识，误差理论是正确的；不确定度论是错误的。

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参考文献

[1] GUM

[2]《不确定度原理》 刘智敏著

[3] 国家计量技术统一宣贯教材《测量不确定度评定与表示指南》国家质量技术监督局组编

“设分辨力是D，误差论认为此项误差的误差范围区间是[-D,D] 误差区间的宽度是2D，半宽度是D。”
请问先生：此时的置信概率是多少？

看了先生的文章，觉得先生纠结在一个问题上，
即实际测量中，误差是否可知，误差范围是否可知？
如果实际测量中，误差可知，先生的理论没有错；
如果实际测量中，误差的准确范围可知，先生的理论没有错；

然而遗憾的是，在实际测量中，误差只能给出估计值，误差范围也只能给一个估计值，因而当分辨力的概念应用于误差理论时，分辨力只可能作为一个估计的误差或误差范围，而不是实际的误差或误差范围（大多数情况下）。

这就涉及到用什么标准来衡量的问题，哪个标准更合适？

误差理论认为实际中给出的误差或误差范围就是真实的值，显然很难切合实际。

而不确定度理论认为实际中给出的误差或误差范围并不可靠，所以对此进行了概率化，显然更符合我们的认识规律。

因此，虽然二者都可用于评估测量结果，但是不确定度理论更科学，因为不确定度理论辩证地看待了误差问题。

看完了，有收获。有一点还是不解，这里的分辨力具体指什么？是广义的分辨力，不再是数显装置的分辨力了吗？为什么游标卡尺谈分辨力了，不是分度值吗。

游标卡尺的分辨力应该是0.02还是0.01呢?

回复 1# 史锦顺


    不明白。(0-25)mm的千分尺最大允许误差是正负4微米，而其分度值是0.01mm呀！

分度值和分辨力不是一回事，分度值指相邻刻线的距离，分辨力是能分辨的能力（一般用于数显尺）

人们大多数不怎么关注分辨力是因为有些商家为了宣称自己仪器有多好，就一味的增加小数位，结果导致了很多仪器本身的不稳定性。比如说一台拉力试验机是10kN的结果分辨力搞了个0.1N，乍一看是分辨力高了，但稳定性下来了。