代换的功能-误差与不确定度辨析（4）

                    代换的功能-误差与不确定度辨析（4）              

                                                                                     史锦顺         

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上小学学算术。算术，讲数的性质及其运算。高小算术有许多难题，还分列为“还原问题”、“工程问题”、“路程问题”、“龟兔同笼问题”，等等，难学。1950年秋（春季始业），我是高二（小学六年级），得知可以用X代换未知数，列方程求解。那些原来觉得很难的题目，竟一下子变得十分容易。这大大提高了我对学习的兴趣。这是我对代换的初步接触。

    上中学学代数。中学代数，以方程为主，特点是一律以字母代换数字，讲各种运算规律，简单而普适。高中物理类似，以符号代换物理量。此后，代换就成为常规了。

上大学读物理系。普通物理课分力学、热学、电磁学、光学和原子物理各部分（分别由丛树桐、章立源、赵凯华、褚圣麟等主讲）。接着是四大力学：理论力学（高崇寿）、热力学与统计物理（王竹溪）、电动力学（曹昌琪）、量子力学（曾谨言）以及固体物理（黄昆）。以上是北大物理系的物理类基础课（此前已合并了清华大学物理系）。上述课程表明：大学物理课讲物理规律，而其核心内容是物理量间的关系。物理量关系的定量表达是物理公式。物理公式是量的关系，就是量的真值间的关系。而物理量的真值是用符号来代表的，物理学到处有等量代换。

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我列出学过的基础课，说明代换的普遍性。也顺便说明，老史正规学过量子物理中的“不确定性原理”（旧译测不准关系）。如今反对测量不确定度论，是有点功底的。十分清楚：测量不确定度论的真值不可知论以及所谓的测量不确定度，都和量子理论毫无关系。原来是一些人拉大旗当虎皮，欺世骗人。没学过量子理论也没学过相对论（电动力学的后半部分）的人，却生拉硬套编瞎话。老史自信有责任、也有能力揭穿他们。

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当然，量子理论是可以自学的。不过自学相当难。我们班上有十来位从其他大学来的同年级的学生，跟班学量子力学。学完一年课程，年终考试竟无人及格。题目是有些难，但本校学生就没有一个不及格的。我的意思是说，量子物理较难；但有一定基础的人还是可以学懂的。我反对的是，有人学都没学过，却跟着瞎说；更有甚者，像美国NIST那几个提出测量不确定度论的人，竟滥套自己不懂的东西，欺世盗名；不仅危害正常的计量秩序，还扰乱人们正常的思维逻辑，实在令人不能容忍。

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以下讲测量领域中代换的功能。顺便驳斥不确定度论。

（一）测量中的代换

等量代换，简称代换。

测量学的第一个代换是测得值代换被测量的真值。

测量的目的，是获取准确度够格的测得值。或者说是取得能代表被测量真值（实际值）的量值。此代表值简称测得值。也可以说，测量是用测得值表达（代换）被测量。

测量行为极为广泛。测量知识与测量理论层次不同。一般测量者应知道测量有误差，要根据测量准确度的要求去选择测量仪器。要看仪器说明书，验证检定合格证。要正确使用仪器。知道仪器的基本误差范围（准确度），注意仪器使用条件，避免产生多余的附加误差。

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对测量仪器或计量标准的设计者，对那些想有所创新的人，那就要认真对待测量的定义与规律。发明创造之路，就在脚下。

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    任务是测量某种量值，如何下手？

根据被测量的特定性质，从测量的要素着手。

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测量的要义第一是比较，第二是要与标准比较。如测量物体的重量（质量），比较的办法之一是利用杠杆原理，于是有等臂比较，这就是天平，不等臂的比较有杆秤、台秤。

比较的标准，天平是砝码；而杆秤是秤砣。秤砣是最低档的砝码，过去叫五等砝码，现在叫M3等砝码。

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用天平如何称重，人人皆知，不必细说。这里只是点明测量的要素：比较和标准。

    有人说，现在都用电子案秤，并没有砝码。其实，电子秤用的是压力传感器，制造厂生产秤时，已把重力对传感器的作用函数，记录于秤中。定标时的比较是在特定重力加速度下用砝码进行的，若在高山上称重，有高度修正表。因此，电子秤仍是被测物的质量（重量）与砝码的比较。（《新概念测量计量学》中有高准确度测频、测距、测速等实例。）

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更简洁点说，或者更本质地说，测量是等量代换。

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    等量代换一语，道破几个思路要点。

    1要找一个等式，把被测量与已知量联系起来。（有些书上说测量要依据物理原理。其实，核心就是等式。）

2 必须用合适的标准。标准是测量的核心。也可以把标准的作用函数记录下来。

3 测量是比较过程，可以是直接比较，也可以是间接比较。

总括地说：测量是用标准量来代换待测量；或者说：测得值代换真值。

接 1# 史锦顺 文
    （二）代换得到贝塞尔公式

    约二百年前，贝塞尔先生在他处理天体测量的误差时，推得了贝塞尔公式。不久，被成功地引入统计理论。贝塞尔公式是测量学与统计学这两大学问的理论基础。

贝塞尔公式的妙处是实现理想公式的现实计算。贝塞尔公式成功的要点是什么？等量代换。

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经典测量学是常量测量。真值概念是核心。定义方差要用误差元，而误差元等于测得值减真值。真值本质可知，但测量者却不知（知道就不必测量了），方差怎么算？

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贝塞尔先生想出个代换的办法。定义测得值减测得值的平均值叫残差，求残差的平方和与误差元的平方和的关系，用残差的平方和代换掉误差元的平方和，于是就得到贝塞尔公式。贝塞尔公式的实质是用平均值代换真值。其意义是可以实际计算。

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统计理论移植贝塞尔公式时，只是稍加变化。真值变为期望值，误差元成为偏差元（量值减期望值）。以下，思路相同。以残差（量值减平均值）的平方和代换掉偏差元的平方和，于是得统计学的贝塞尔公式。统计学的贝塞尔公式的实质，是用量值的平均值代换期望值。其意义是可以实际计算。

（三）代换得到测量方程

测量的对象是被测量。测量的目的是获得准确度够格的测得值。准确度是误差范围的褒称。准确度够格就是误差范围满足测量目的的需要。

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误差分析是计量人员的基本功。对测量仪器与计量标准的研制者，尤其重要。

误差分析的出发点是测量方程（史锦顺《新概念测量计量学第二章》）

误差方程的第一式是物理公式，是真值的关系式；第二公式是计值公式，是理想关系的现实表达，是现实量的关系式。联立二式，就得到测量方程。测量方程表达了现实量与理想量的关系，于是就可方便地把误差的理想定义式，变成现实的关系式。

误差定义中必须有真值，真值表达了误差的物理意义；真值在求解时被代换，代换解决了误差的实际计算。

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（四）代换得到误差方程

误差是以真值为参考值定义的（马凤鸣称其为真误差）。产品定型或检定中测得的误差是以上一级标准为参考来测定的。测得的是误差实验值。长期以来，计量学界以误差实验值当误差（即真误差），这略偏小，实际应用中可用，但总是个缺欠。

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   误差方程概念的提出（史锦顺《误差方程的新概念》），完成了误差范围实验值到误差范围的归算。解决了用现有值（标准的标称值）到被测量的真值与标准的真值的代换。误差方程的推导中，用了多个真值，但最后得到的误差方程中不出现真值。

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以真值为参考的误差元，可求了。以真值为参考的误差范围，可求了。这是等量代换的功效。

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（五）代换破解测量佯谬

我在“测量佯谬破解”一文中，提到过代换的作用。这里摘录一些。强调一下代换的重要性。

“《测量不确定度》一书的前言写到："对于测量结果的准确性，过去长期以来系用测量值相对于被测量的误差来表示，但由于被测量的真值是一个未知量，因此使过去的表示法产生了定量的困难。" 这段话，分量是很重的，倘如此，误差论就失去了根基。其实，这话不是该书的见解，而是不确定度论攻击误差论的老生常谈，GUM几处表达过这个意思。

其实，这是个佯谬。佯谬的意思是说：所指的错误，实质是对的。这个佯谬对测量学来说，是很重要的，且有其世界性与历史性，以下称其为“测量佯谬”。

我们一经选定测量仪器，便知道了用该仪器测量的误差范围，用不着按定义去求误差，就是不经测得值减真值的操作，就知道了误差范围。所以，“不知真值不能算误差”这个判断是错误的。

测量仪器的误差范围是测量仪器的基本性能指标，由设计与制造来决定，而由计量部门认可。

无论制造、检验或计量，都是用一般量来进行。应用测量的对象是特定量。特定量可能有千万种，但都是可以用一般量来代换的。举例说，一千克的大米、一千克的石头、一千克的黄金。在重量这个量上，都是互相等效的，且它们的重量与一千克砝码的重量是等效的。测量计量广泛应用这个等量代换原理。用一千克砝码校准的秤，测量任何种类一千克的物品，误差范围都是一样的。因此，测量仪器以一般量的标准量确定误差范围，这对任何特定量都有效，因此人们不必先知被测量的真值而后求误差，而是选定测量仪器，就知到了误差范围。

测量佯谬，破解了。所谓的误差论的困难，根本就不存在。”

    以上这几段话，从“测量操作”与“误差确定”孰先孰后的时间顺序的层面，从行业分工的层面，从一般量对特定量的代换关系的层面，来破解测量佯谬。本文又从测量中的代换、误差分析中的代换、误差归算中的代换以及著名的贝塞尔公式中的代换，说明人们在使用真值概念方面的学问与技巧。不确定度论攻击误差理论的“真值不知，误差不可求”的论调，不过是故意的歪曲。