两种西格玛-误差与不确定度辨析(9)

          两种西格玛-误差与不确定度辨析(9)   

                                                   史锦顺   

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（一）单值的西格玛与平均值的西格玛

西格玛是方差的平方根。物理书上常称其为均方根值。经典测量学称其为标准误差，变量统计理论称其为标准偏差。

测量一组数据，共N个。代入贝塞尔公式计算。计算过程为：先求N个数据的平均值；各数据减平均值得N个残差；每个残差取平方；对各残差的平方求和，得残差的平方和；将残差的平方和除以(N-1),再开方，即得到西格玛。这是单值的西格玛。此西格玛表征每一个单个的测得值。也就是说，西格玛是一组测量中各个单值的共同特征，是单值对期望值偏差的统计表征量，是单值的分散性的度量。在正态分布的条件下，三倍西格玛是包含概率为99.73%的取值区间。

平均值的西格玛，简称西格玛(平)。西格玛(平)等于西格玛除以根号N。西格玛(平)是平均值对期望值偏离的统计表征量。

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（二）基础测量要用平均值的西格玛

对常量的测量，称基础测量。

生活、生产、交易中的测量，是认识量值，求得量值，一般只测一次。

对常量进行精密测量，要进行多次。测一次是必要测量，另外的N-1次测量，是重复测量，又称冗（róng）余测量。测得值的变化由测量仪器引起，测得值的分散性是手段问题，要用多次测量的方法减小手段的影响，要取平均值，用西格玛(平)来表征测得值的平均值接近被测量真值的程度。

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对慢变量的测量，实际是基础测量。例如测量晶振的日老化率，必须进行时间间隔为1日的2次测量。这2次测量是必要测量。现在通常的作法是每隔一日测量一次，共7次测量，冗余量为5（7减2）。注意，这里的一次测量的“次”，应是三到五个测得值的平均值。

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在基础测量中，测得值的分散性由测量手段引入，称随机误差。手段要改进，方法之一是增加测量次数，因而取平均值，用平均值的西格玛来表征随机误差。

总之，基础测量用平均值的西格玛。

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（三）统计测量要用单值的西格玛

对随机快变量的测量，是统计测量。其模型是，每个测得值是准确值（误差可略），测得值的变化，表现被测量本身的变化。取得单个测得值所用的时间称采样时间。每个测得值是采样时间内的各时刻量值的平均值。单个测得值及其表征量，都是采样时间的函数。这种表达模式，在时频界，已成功应用。

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对迅速变化的量，测量只能进行一次。如发射运载卫星的火箭，测速、测距都无法重复，因为速度在变，距离更在变，此刻的值不等于下一刻的值。这样，对测量系统的要求，是单值的西格玛，而不是平均值的西格玛。

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对统计测量来说，西格玛是量值分散性的表征量，称随机偏差。3倍西格玛是量值的变化范围。平均值的西格玛是平均值的变化特性，对单个客观量的实际变化，已无实际意义。因此统计测量的表征量是单值的西格玛，而不是平均值的西格玛。

统计测量的标准偏差，是单值的西格玛。

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例1 狼的活动范围

一座小山的岩石洞中，有个狼窝，住着狼和几只狼崽。狼每天外出巡猎，又要顾及狼崽，不时回窝照看，这样就大致有个行动范围。狼离小山的距离，简称狼距，在一个区间内。设每天狼的活动规律大体相同。

一天中抽样测量狼距，测10次，算西格玛为20公里，取3西格玛为狼距范围，是60公里。狼距平均值的西格玛是7公里，狼距平均值的范围是20公里。

如一天中抽样测量狼距1000次，算西格玛为20公里，狼距范围是60公里；西格玛(平)为0.7公里，狼距平均值的范围是2公里。

小山周围是大草原，杂居着羊和兔。羊国布告：按狼距3西格玛是危险区，即小山60公里范围，羊等莫入。兔国布告：按狼距3西格玛(平)是危险区，即小山2公里范围（或写成20公里），兔等莫入。

结果很明显。3西格玛是狼可能到达的范围；3西格玛（平）无安全上的意义。羊国以3西格玛（60公里）为危险范围是正确的。兔国采用3西格玛(平)，危险范围仅2公里（或20公里），上当。