接2# 史锦顺 推荐文
根据中心化变量X~和期望估计误差ΔEΛ(X)的定义将有下列随机变量X的分解式:
X=E(X)+X~=EΛ(X)-ΔEΛ(X)+X~ (29)
由式(27)在评估中期望值E(X)和中心化变量X~=X-E(X)两部分可以认为是相互独立的。存在期望估计误差ΔEΛ(X)表明确定期望估计值EΛ(X)的估计方法是不完善的。实践中引起期望估计误差ΔEΛ(X)的原因主要有两个:
(1)变量X的抽样值X的误差存在不为零的期望值,其主要的组成是“量值溯源”误差;
(2)变量X的随机性对确定有限样本量期望估计值EΛ(X)的影响。
期望估计误差ΔEΛ(X)在理论上具有确定的量值,但是无法确定。对期望值ΔEΛ(X)的评估通常将它看作可能出现值的一个抽样值,用它的可能出现值的统计特征估计值表征其大小,这样的统计特征估计值有期望估计误差可能出现值ΔEΛ(X)的期望估计值EΛ〔ΔEΛ(X)〕,标准差估计值σΛ〔ΔEΛ(X)〕或中心化极限估计值UΛ〔ΔEΛ(X)〕。在EΛ〔ΔEΛ(X)〕和σ0Λ〔ΔEΛ(X)〕或U0Λ〔ΔEΛ(X)〕符号中的变量ΔEΛ(X)已经不同于它在式(28)和(29)中确定量值的概念,已经是它的可能出现值的概念,它将由期望估计值EΛ(X)的评估方法决定而基本独立于评估结果EΛ(X)。
这样,在量值评估中随机变量X被分为三部分,分别独立地进行评估,首先是量X的期望值E(X)作无偏估计EΛ(X),其结果的数值和正负号是完全确定的;是评估所得的变量X的系统部分。另外两部分是可能的期望估计误差ΔEΛ(X)和中心化变量X~,对于它们的评定结果是标准差估计值σΛ〔ΔEΛ(X)〕和σΛ(X),或中心化极限估计值UΛ〔ΔEΛ(X)〕和UΛ(X);这两部分在一起组成了变量X在量值评估中的随机部分。
随机变量X的系统部分X=Λ和随机部分X~Λ可以分别用式(31)和(32)表示:
X=X=Λ+X~Λ (30)
X=Λ=EΛ(X) (31)
X~Λ=X-X=Λ=X~-ΔEΛ(X) (32)
变量X的分散性可以用变量随机部分X~Λ的大小来量化,即用变量随机部分X~Λ的均方根估计值σ0Λ(X~Λ)或极限估计值U0Λ(X~Λ)表征。
由于X~是变量X的中心化变量并和期望估计误差ΔEΛ(X)间相互对立,因此有式(33)和(34):
σ0Λ(X~Λ)={σΛ(X)2+σ0Λ〔ΔEΛ(X)〕2}1/2 (33)
U0Λ(X~Λ)={UΛ(X)2+U0Λ〔ΔEΛ(X)〕2}1/2 (34)
三、随机变量的不确定度和测量不确定度
1.任意随机变量的“不确定度”
量值的分散性是所有随机变量所共有的特点。如果希望有一个术语来表述对任意随机变量量值分散性的评估结果,“不确定度”是合适的术语名称。建议对任意随机变量术语“不确定度”采用下列定义:
【随机变量的不确定度uncertainty of random variable
随机变量X的不确定度是表征变量随机部分X~Λ大小的统计特征估计值。 注:
(1)变量X随机部分的表示式为:X~Λ=X-EΛ(X)=X~-ΔEΛ(X)。式中的EΛ(X)为变量X的期望估计值,即期望E(X)的估计值;X~=X-E(X)为变量X的中心化变量;ΔEΛ(X)=EΛ(X)-E(X)为EΛ(X)的期望估计误差。期望估计误差ΔEΛ(X)具有未知的确定值,有时被称为未定系统误差。由于未定系统误差的确定值是未知的,因此,对它的评估实际上是对期望估计方法可能存在的误差进行评估。所以任何变量的不确定度将由其中心变化量的不确定度及期望估计误差的不确定度两个独立部分组成。
(2)变量随机部分的均方根估计值被称为变量的标准不确定度。
(3)变量随机部分的极限估计值被称为变量的扩展不确定度。
(4)表征包括变量系统和随机两部分整个大小均方根估计值或极限估计值可以称为“全(complete)标准不确定度”或“全(complete)扩展不确定度”。它可以由变量的期望估计值和变量相应的不确定度综合得出。
(5)对某种指定目的可以对变量“扩展不确定度”规定允许值,这可以称为该目的变量的“允许扩展不确定度”。例如,机械加工的公差,测量设备的最大基本误差允许值,各种检验被检量的允许偏差等。
表示符号:
随机变量X的标准不确定度表示为σ0Λ(X~Λ)。
随机变量X的扩展不确定度表示为U0Λ(X~Λ)。
随机变量X的全(complete)标准不确定度表示为σ0Λ(X~Λ)。
随机变量X的全(complete)扩展不确定度表示为U0Λ(X)。
来源及评注:
用统计学术语表述的GUM95中术语“测量不确定度”的扩展概念。】
这术语“不确定度”的这一定义是用统计学的术语明确地表述了“不确定度”含义中的量值关系,使其概念不留任何含糊之处。这术语定义又将“不确定度”和特定的随机变量明确地联系在一起。只有明确特定的随机变量后,“不确定度”才有完整的涵义。“变量随机部分大小”和其“不确定度”之间的关系是客观存在的“量值”和其人为的评估值之间的关系。这术语定义的“注”将“不确定度”和目前广泛应用的概念衔接起来,使它们在使用中相互衔接和协调。
2.与“测量不确定度”有关的术语
和“测量”过程直接有关的随机变量有3个:测量结果Y、测量误差ΔY和被测量真值Y0,它们之间的关系如下:
Y=ΔY+Y0 (35)
对式(35)两侧作期望估计,可得到式 (36):
EΛ(Y)=EΛ(ΔY)+EΛ(Y0) (36)
将式(35)减去式(36),可得到式 (37):
〔Y-EΛ(Y)〕=〔ΔY-EΛ(ΔY)〕+〔Y0-EΛ(Y0)〕 (37)
即有式 (38):
Y~Λ=ΔY~Λ+Y0~Λ (38)
式(38)中的Y~Λ=〔Y-EΛ(Y)〕,ΔY~Λ=〔ΔY-EΛ(ΔY)〕和Y0~Λ=〔Y0-EΛ(Y0)〕分别为测量结果Y、测量误差ΔY和被测量真值Y0的随机部分。
测量误差ΔY的系统部分ΔY=Λ被称为系统误差(systematic error),其随机部分ΔY~Λ被称为随机误差(random error)。
测量误差ΔY和被测量真值Y0的量值的随机变化完全由不同的原因所引起,因此变量ΔY~Λ和Y0~Λ是独立的。则有式(39)和(40):
σ0Λ(Y~Λ)2=σ0Λ(Y~Λ)2+σ0Λ(Y0~Λ)2 (39)
U0Λ(Y~Λ)2=U0Λ(Y~Λ)2+U0Λ(Y0~Λ)2 (40)
式(39)中的σ0Λ(Y~Λ)、σ0Λ(Y~Λ)和σ0Λ(Y0~)分别为测量结果Y,测量误差ΔY和被测量真值Y0的标准不确定度,而式(40)中的U0Λ(Y~Λ)、U0Λ(Y~Λ)和U0Λ(Y0~Λ)分别为测量结果Y、测量误差ΔY和被测量真值Y0的扩展不确定度。
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