测量与计量的数学模型

                                             测量与计量的数学模型   

                                                                                                                                        史锦顺

-

本文阐述的测量与计量的数学模型，很简单。这简单、明了的模型很实用。由此，可以抵制那麻烦而又不可用的不确定度评定及其“建模”。

-

（一）测量的数学模型

直接测量的数学模型就是测得值等于仪器示值：

                M(测) = M(示)                                                   （1）

由（1）可以推出误差元的关系为：

                M(测) – Z = M(示) – Z

                ΔM(测) = ΔM(示)
                       r(测) = r(示)

误差范围是误差元的绝对值的最大可能值

               │ r(测) │max= │r(示)│max

                R(测) = R(示)                                                      （2）

（2）式表明：测得值的误差范围，等于测量仪器的示值误差范围。

-

测量仪器的示值误差范围，由测量仪器的基本误差，测量仪器的附加误差构成。测量仪器的基本误差，由生产厂家给出，载入说明书，经计量公证。满足仪器使用条件要求，并正确使用测量仪器的条件下，测量误差就是测量仪器的基本误差范围。

-

（二）测量的方法与结果表达

1 区分基础测量与统计测量

测量者应明确所进行的测量是哪类测量。被测量是常量或慢变化量，那是基础测量，如果被测量是快变化量，那是统计测量。在基础测量中，被测量的变化远小于测量仪器的误差范围；在统计测量中，测量仪器的误差范围，必须远小于被测量的变化范围。

2 根据测量的准确性要求，根据对上述两类测量的分析，正确选用测量仪器。

3 要看仪器说明书，正确使用仪器，满足仪器的使用条件。查验合格证书。

4 测量要进行多次测量。由此，基础测量可以减小测量的随机误差；经多次测量，统计测量才能给出统计量。只有示值很稳定的测量或非精密测量，才可以单次测量。

5 基础测量，取平均值为测得值，以测量仪器的误差范围指标为测得值的误差范围。测量结果为：

                  L = M(平) ± R(测)                                （3）

6 统计测量要根据贝塞尔公式计算σ，注意用单值的σ表征分散性。

                  L = M(平) ± σ  （RMS）

                  L = M(平) ±3σ  （偏差范围）

-

（转下页）

（三）计量的数学模型

计量过程，用数学方法表达如下。

在计量的情况下，用被检仪器“测量”计量标准，得仪器的示值M(测)。标准的标称值为B。

误差元关系：

              ΔM(测) = M(测) – B

              ΔM(测) = M(测) – Z – (B-Z )

              ΔM(测) = ΔM(测真) –ΔB(真)

              ΔM(测真)=ΔM(测) +ΔB(真)                                       (4)

ΔM(测) 是测得值的经测量得到的误差（以标准的标称值为参考）；ΔM(测真)是 仪器测得值的真误差（以真值为参考的误差）；ΔB(真)是标准的真误差。（4）式体现计量标准在计量中形成的计量误差。

-

误差范围关系：

           │ΔM(测真)│max =│ΔM(测) +ΔB(真) │max

            R(测真) = │ΔM(测) │max +│ΔB(真) │max
                   R(测真) = R(测) + R(B)                                                (5)

    （5）式是误差范围的关系式，即：测得值的真误差范围，等于测得值的实验误差范围加上标准的误差范围。

    （5）式就是计量的误差方程。计量是考察误差关系，因此它就是计量的数学模型。

-

（四）计量的资格

计量的目的是求得测量仪器的真误差范围R(测真)，计量中直接得到的是R(测)。由（5）式知，计量标准的误差范围R(B)是计量的误差。为计量准确，要求标准的误差范围R(B)要足够小。标准指标与仪器指标之比（标议比）q值，是计量能否进行的资格条件，时频界取q ≤ 1/10，是充分的；电子等界现取q ≤ 1/3，建议取q ≤ 1/4。

-

(五) 不确定度评定的模型不当

不确定度论的模型要求给出测得值函数，这在计量与测量的场合，是既不可能，也是不必要的。测量计量工作中，把测量仪器当整体看，是不需要测量仪器的测得值函数的；况且，测量者与计量者一般不可能知道测得值函数（与仪器构造有关）。

-

测量仪器的测得值函数，也就是测量仪器的数学模型，是测量仪器研制中的问题，不该混淆在测量计量中。让计量人员建立测得值函数的模型，是没道理的不合理要求。

不确定度评定的“建模”，第一混淆了场合，把仪器研制中的事，错用到测量计量中。第二，混淆了对象和手段，错把被检仪器的性能掺和到检定能力中。第三，不知道必须用单值的σ来表征变量的分散性，错误地除以根号N.

-

请看，测量计量工作坚持误差理论，则思路清晰、工作易干又实效；若信不确定度论，则想不通、干不好；何去何从，请网友与有关计量领导思之。

-

路过学习了，希望大家一起进步

路过学习，一同进步

好的知识点，学习一下。

回复 1# 史锦顺

（一）测量的数学模型
　　测量的数学模型即测量结果的测量模型，测量结果M(测)就是测量仪器上的读数值M(测) = M(示)，因此测量的测量模型简单来说就是：
　　M(测) = M(示)
　　如果要考虑所谓的“真值”问题，因为实际上真值不可知，只能用约定真值代替，测量仪器示值的真值就是仪器示值 M(示)加其修正值M(修)，此时的测量结果测量模型就应该是：
　　M(测) = M(示)＋M(修)
（二）测量的方法与结果表达
　　测得值就是测得值，一个测量只有一个测得值，不存在测得值误差范围。只存在测量结果的计量要求，即测量结果的允差，测量结果的允差就是图纸工艺提出的合格与否判定标准。史老师所说的“测量仪器的示值误差范围”是测量时所用测量仪器的示值最大允许误差，这个“允差”对同种同规格仪器是固定不变的，是相同的，是检定规程规定的。每一台仪器经检定后的实际示值误差是各不相同的，因此人们在使用不同个体的仪器实施测量时，每台仪器的实际示值误差对所得到的测量结果的影响肯定也是不相同的。上述两个测量模型就足够了，没有必要继续推导带有“误差范围”或“偏差范围”的测量模型。继续推导实际上把简单的问题复杂化了。

回复 2# 史锦顺

（三）计量的数学模型
　　非常清楚史老师在这里所说的“计量”是狭义计量的范畴，是特指计量检定或校准，不包含广义计量的其它含义，恕我直接用“校准”一词代替史老师所说的“计量”。
　　在实施校准时，用被校仪器“测量”计量标准，得仪器的示值M(测)，计量标准提供的输出值为B，则校准所得到的被校仪器示值误差ΔM(测)等于仪器示值与标准值之差，测量模型为：
　　ΔM(测) = M(测) – B
　　如果用引用误差表示，则校准结果的测量模型还应该除以引用值（一般引用值用仪器的量程M），测量模型为：
　　δ(测) = [M(测)/M– B/M]×100%
　　同样，史老师所说的计量标准的“误差范围”是计量标准的最大允许误差，被校仪器的“误差范围”是被校仪器的最大允许误差，都是由校准规范（或检定规程）规定的固定不变的值，属于计量要求的范畴，没有必要，也不应该写入测量模型。
（四）计量的资格
　　校准的目的是求得测量仪器的真误差，实际上真值是不可得的，真误差也就不可得，人们只能尽量获得趋近于真误差的误差值。衡量通过校准得到的误差值是否达到“趋近于真误差”，即获得的误差值是否可信的判定标准正是1/3原则，即测量结果的不确定度必须小于被校仪器最大示值允差的1/3至1/10。计量标准的最大示值允差是影响校准结果不确定度的重要分量之一，所以才有“标准的误差范围”(即最大示值允差)“要足够小”的要求，这就是计量标准是否可用于该校准项目的“资格”。
(五) 不确定度评定的模型不当
　　不确定度评定中要求正确给出测量模型，测量模型必须正确反映输出量（测量结果）与各输入量（各被测参数）之间的关系，这就是史老师说的函数关系。这种要求是科学的，正确的。
　　从上述对校准的描述可以看出，无非是使用的测量设备是计量标准，被测对象是被校仪器的示值误差，校准活动本质上就是测量活动的一种。从上述校准结果的测量模型中，我们也没有发现有必要“把仪器研制中的事，错用到测量计量中”的现象存在，当然在仪器研制过程中分析其测量原理的不确定度时例外。不确定度评定要求的是实事求是，测量原理是什么就是什么，测量结果是怎么获得的就按获得的方法一五一十地写出测量模型，同样也是容不得混淆对象和手段。关于“错误地除以根号N”的问题，JJF1059.1-2012已经说得非常清楚，这个N指的是取多次测量平均值作为测量结果时的测量次数，如果仅仅用测量一次的测得值作为测量结果，这个N就是1，根号1仍然是1，其不确定度就是S，而不是S/√n（注n为重复试验的次数），我们应该严格区分重复性试验的次数n和实际测量的次数N，不能混淆为N＝n。
　　误差理论正确反映了测量结果的准确性，功不可没，但是不确定度反映了测量结果的可信性，同样功不可没，二者相辅相成，互为补充，并不是你死我活的关系。我们应该抱着同时接受光的波动说和粒子说一样，同时接受误差和不确定度。

回复 6# 规矩湾锦苑

【规矩湾锦苑】

（一）测量的数学模型　　测量的数学模型即测量结果的测量模型，测量结果M(测)就是测量仪器上的读数值M(测) = M(示)，因此测量的测量模型简单来说就是：　　M(测) = M(示)
　　如果要考虑所谓的“真值”问题，因为实际上真值不可知，只能用约定真值代替，测量仪器示值的真值就是仪器示值 M(示)加其修正值M(修)，此时的测量结果测量模型就应该是：　　M(测) = M(示)＋M(修)
-

【史辩】

前四行是正确的。这话与我的话没有区别。第五行“如果要考虑所谓的‘真值’问题”是废话，测量的目的是求得真值，一切理论，一切表达，都必须紧紧围绕真值，任何脱离真值的想法、作法都是歧途。因此，这句话不该说，说了就等于否定前边的话，因为测得值与仪器示值都是真值的写照、真值的代表，要考虑的是，它们代表真值能代表到怎样的程度，也就是准确到什么程度。

第五句中间那半句“真值实际上不可知”，是地道的不确定度论的语言，表现出极端错误的哲学观念，不该由一个中国的计量人说出。如果今天的人还退步到“客观之物不可知”的那种观念，也就没有必要讨论学术问题了。既然都不可知，还怎能得知？我们学习、讨论、争论，总是有一个前提条件的，那就是客观事物是可以认识的，是可知的。如果前提是“客观之物不可知”，那就没必要争论了。

句中提到“约定真值”的概念，是不着边的空话。计量学中的约定真值，是指国际计量单位的几个国际约定。约定，要有实际内容、具体的形式。全世界的约定真值，数量很少，但起着统一全世界量值的作用。不确定度论出世以来，否定真值可知，而又不能不说真值，于是含含糊糊地到处讲约定真值，似乎用约定真值来代替真值。这是不行的。量是物质、物体、现象的可定量确定的属性，量的实际值就是真值。宇宙万物各有各的真值，真值数量亿亿亿亿，说不清数不尽，谁能约定？谁来约定？随手捡一石块，它的重量有重量真值，体积有体积真值，硬度有硬度真值。谁能“约定”这一石块的真值？放着明确的“真值”不用，却去提那不存在的“约定真值”，这是不确定度宣贯以来，形成的直路不走 走弯路 的一股歪风。

-

现在已是电子的时代，计算机技术已普及到各个领域，因此，测量仪器本该把修正值加在一起后再给出示值。况且，修正的事，是技术发展初期的事，没见过哪台精密测量仪器，还要修正。修正值即使有，也该加在示值中。单列个修正值，空给表达找麻烦。不可取。

-

回复 6# 规矩湾锦苑

【规矩湾锦苑】

（二）测量的方法与结果表达　　测得值就是测得值，一个测量只有一个测得值，不存在测得值误差范围。只存在测量结果的计量要求，即测量结果的允差，测量结果的允差就是图纸工艺提出的合格与否判定标准。史老师所说的“测量仪器的示值误差范围”是测量时所用测量仪器的示值最大允许误差，这个“允差”对同种同规格仪器是固定不变的，是相同的，是检定规程规定的。每一台仪器经检定后的实际示值误差是各不相同的，因此人们在使用不同个体的仪器实施测量时，每台仪器的实际示值误差对所得到的测量结果的影响肯定也是不相同的。上述两个测量模型就足够了，没有必要继续推导带有“误差范围”或“偏差范围”的测量模型。继续推导实际上把简单的问题复杂化了。

-

【史辩】

研究误差理论，就是要研究测得值的误差范围。说“一个测量只有一个测得值，不存在测得值误差范围”，是错误的判断。测量仪器有误差，测得值与被测量真值有差距，这是客观现实。怎样表达测得值与真值的差距，这就是学问。定义 误差元等于测得值减真值，这是基础，但这还不够，因为测量有随机误差，测得值本身可能是变化的量，误差元可能不是定值。这是其一；其二，人们能确定的是误差元的最大可能值，这个值就是误差范围。误差范围的概念，实用而又重要。误差范围可以确定，条件是要有计量标准；这一点在计量与仪器制造场合都可实现。没标准，就没法制造测量仪器，没有标准就没资格计量测量仪器。

有三大场合：仪器制造、仪器计量、仪器使用，在这三大场合中，要有一个能贯通的表征量，才能使这三种场合，互为依托。这个量就是测得值的误差范围，简称误差范围。

测量时，由于被测量的真值未知（注意，这里说的是未经足够准的测量仪器测量，是真值未知，不是真值不可知），因此不能具体算出特定的误差元，但所用测量仪器是标有误差范围指标的，这个指标，表明测量仪器的性能，即其误差范围（误差元的上限）是已知的，因此测量者在得知测得值的同时，是知道本次测量的误差范围的。这一点，正是仪器制造、计量、测量的贯通性，也正是计量工作的实效性。如果经过计量的测量仪器，还不知道误差范围的话，还要计量干什么？不确定度的评定，抛开计量，又没有标准，评定是瞎评。

用同一型号的测量仪器去测量同一量，得到的测得值可能不同，但误差范围是相同的，这一点并不奇怪。测量要求的是测得值的误差要有个限度，这个限度就是误差范围；而不是要求测得值的误差一定要多大，小了不可以。混蛋才说误差小了不可以。因此测量要求的是误差范围。型号相同，误差范围相同是好事，于是可在同型号仪器中，任选一台。而不需必得用哪一台。

史文继续推导得到测得值的误差范围就是测量仪器的示值误差范围，这一点对纠正不确定度评定，是非常重要的。把测量仪器的误差指标拿来当测得值的误差范围就完事了，何必去评定？评定也还是测量仪器误差那一套。这是简化，怎么是复杂化？谁在简化？谁在复杂化？搞复杂化的是不确定度评定，老史说直接用测量仪器的指标就行了，这明明是简化吗！

顺便说一下，“允差”的提法，不错，但太局限。测量仪器的指标，是水平的标志、论价的条件、获奖的资格，在计量中是合格性判别的底线，在测量中，是测量者选用的依据，并直接用于测量结果的表达。绝不是“允许”的问题。

-

回复 7# 规矩湾锦苑

【规矩湾锦苑】

关于“错误地除以根号N”的问题，JJF1059.1-2012已经说得非常清楚，这个N指的是取多次测量平均值作为测量结果时的测量次数，如果仅仅用测量一次的测得值作为测量结果，这个N就是1，根号1仍然是1，其不确定度就是S，而不是S/√n（注n为重复试验的次数），我们应该严格区分重复性试验的次数n和实际测量的次数N，不能混淆为N＝n。
-

【史辩】

快变量的分散性，该用单值的σ，还是该用平均值的σ(平)，是个重要的理论问题，更是一个严肃的实践问题，要认真对待，切不可等闲视之。

国家计量院的陈成仁研究员，在“测量不确定度评定培训讲演稿_百度文库”中，讲到分散性要用单值的σ时，画了个警示框框写着“慢慢理解”，可见，单值σ表征随机变量的特性这个问题，有个理解过程。你也该慢慢理解。至于JJF1059.1-2012 的那段话，是误导。测量一次，根号n是1，等于没说。须知，精密测量只测量一次是违规的。计量时测量100次，测量时测量20次，（排除N=1、n=1）,表达分散性的量都是σ，而不能除以根号N。老史这里交个底，在几十年的测量计量工作中，特别是在处理宇航测量设备的数以万计的数据处理中，都是给出单值的σ，尽管N或n都是100或20。我不能不遗憾的指出：JJF1059.1-2012的几位制定者，在这个问题上弄错了。错误就是错误，必须改正。统计量的分散性必须用单值的σ，在这个问题上不能用根号1等于1来敷衍。

-

回复 8# 史锦顺

　　真值的确是不可得到的，这并不是不确定度评定的发现，而是误差理论建立初期就发现的事实。误差理论的核心建立在“任何测量都存在着误差”，因此通过测量来得到被测量的真值是不可能实现的，如果人们有办法得到被测量的真值，误差理论也就遭到彻底颠覆而不复存在了。人们通过测量只能得到测量结果，测量结果总是不可避免的或多或少偏离被测量真值，这个测量结果偏离真值的大小就是误差理论创建时命名的术语“误差”。
　　术语“约定真值”同样是误差理论创建初期定义的基本概念之一。人们进行测量的目的是想找到被测量的真值，但因为误差无处不在而使找到真值不可能，所以误差理论才会定义一个“约定真值”的概念。早在1998版及更早版本的《通用计量名词术语及定义》就定义了“约定真值”，意思是“约定采用的”的量值，“有时称为指定值、最佳估计值、约定值或参考值”。常常是将高精度的测量结果“约定为”低精度测量结果的“真值”。由于多次测量的算术平均值比单次测量结果更接近于被测量真值，因此也“常常用某量的多次测量结果来确定约定真值”（引号中的文字见JJF1001-1998）。可见“约定真值”的概念并不是史老师所说的仅仅“是指国际计量单位的几个国际约定”。计量科技发展到今天，术语“约定真值”已经被术语“参考量值”所取代，但其本质含义并没有原则性改变。

回复 9# 史锦顺

　　“测量仪器有误差，测得值与被测量真值有差距”，这的确是大家共认的客观现实。怎样表达测得值与真值的差距？很简单，二者相减就是“误差”，这就是误差理论的基础之一。一个值减去一个值必然还是一个值，无论如何也无法得到一个区域或者“范围”。“误差范围”的概念是人们对测量设备的误差特性提出的“计量要求”，是由检定规程、校准规范或测量设备生产标准（以下统称技术标准）对测量设备提出的要求。每一个测量设备要投入使用，前提条件是其示值误差满足技术标准提出的“误差范围”要求。在史老师所说的“仪器制造、仪器计量、仪器使用”三大场合中，“要有一个能贯通的表征量，才能使这三种场合，互为依托”，这个量就是技术标准预先提出的“计量要求”，也就是史老师所说的“误差范围”。但是这个误差范围并不是史老师所说的“测得值的误差范围”。测得值（检定结果或校准结果）只有具体的误差值，或者最大误差，而没有“误差范围”，当其最大误差不大于技术标准规定的计量要求（介于允许的误差范围之内）时，新制造的、经检定的（史老师说的经计量的）、使用中的测量设备才能够被判定为合格。
　　“用同一型号的测量仪器去测量同一量，得到的测得值可能不同”，应该说因此测量结果的误差是不相同的。但由于“用同一型号的测量仪器”去测量同一量，技术标准对同一型号的测量仪器的计量要求是相同的，因此同一型号的测量仪器的“误差范围”是相同的，那么相同计量要求的测量设备给测量结果引入的不确定度分量也就是相同的，测量结果的可信性或可靠性必然是相同的。由于一个测量结果只有一个误差，测量结果（史老师有时候用术语测得值代替）不存在误差范围，因此测量设备引入的不确定度分量是相同的并不等于说测量结果的误差范围是相同的。

回复 10# 史锦顺

　　用不确定度衡量的是测量结果的可信性或者可靠性，不是测量结果的准确性，测量结果的准确性用误差来衡量。
　　即便用误差理论解释多次测量的结果，当多次重复测量同一被测量取算术平均值作为测量结果时，随着测量次数的增加，测量结果也就越接近被测量真值。当测量次数为∞时，以算术平均值为测量结果，该结果就是被测量真值。
　　用不确定度来解释这个现象时，n趋近于∞，贝塞尔公式中根号里的分母（n－1）也趋近于∞，n′·(n－1)更趋近于∞。(n－1)趋近于∞，那么得到的标准偏差S或σ会趋近于0，不确定度也就趋近于0，测量结果的可疑度就会很小，可信性就会很大。一个准确性和可信性都很高的测量结果也就是高品质的“产品”。但是当已知实验标准差S，实际测量的次数为n′＝1时，不确定度u＝S/√1＝S。无论实验时实验次数n是多大，100还是20，S（史老师说的σ）都是通过重复试验得到的，是已知的，不确定度u都是S，这并没有错。
　　可是，如果实际给出的测量结果是通过20次测量得到的测得值取算术平均值，那么这个以算术平均值作为测量结果的不确定度就必须是u=S/√20。这个测量结果用误差理论来解释其误差也一定小于单次测量的测得值作为测量结果的误差，其准确度一定会高于单次测量结果的准确度。这怎么可以说是“用根号1等于1来敷衍”呢？这里一定要分清楚重复试验求实验标准差时的试验次数n和此后测量获得测量结果时的测量次数n′，n和n′所代表的测量次数并不是一回事，不能将它们画等号。