对两个σ的反思

史锦顺

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                                              对两个σ的反思                        
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                                                                                                                                 史锦顺
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（一）两个σ          
       一回测量，测量N次。N个示值M(i)的平均值是测得值，记为M(平)。将N个示值M(i)代入贝塞尔公式，计算得标准偏差σ。标准偏差有单值的σ，记为σ(单)；另一个是平均值的σ，记为σ(平)。σ(平)等于σ(单)除以根号N。
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       σ(单)的特点：随着测量次数N的增大，σ(单)趋近一个常数。这表明，当N趋近于无穷大时，σ(单)的极限是个常数。此常数是σ(单)的期望值。一个统计变量的分散性，对应于特定的σ(单) ，因此σ(单)是统计变量的表征量。
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       σ(平)的特点：σ(平)是测量次数的函数，随着测量次数的增大，σ(平)以根号N分之一的速率减小；当N趋于无限大时，σ(平)的期限值是零。σ(平)是个与测量次数N有关的值，且其期望值为零，因此，σ(平)不能当统计变量分散性的表征量。
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       σ(单)与σ(平)的区分，体现在实际操作上，就是“是否除以根号N”。
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（二）经典测量理论的说法              
       经典的测量，被测量是常量，示值的随机变化，是测量仪器的随机误差产生的。这是手段的问题。手段是可以而且应当改进的，因此取σ(平)，即将σ(单)除以根号N。
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（三）统计测量           
       统计测量，测量仪器的误差可略，测得值个个是被测量的真值。测得值的变化是被测量的实际变化。这个变化，必须如实反映，不得缩小。要用σ(单)来表征被测量的变化，不能用σ(平)。也就是说，统计测量的σ，不能除以根号N。
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（四）不确定度理论的规定            
       A类不确定度评定，测量N次，用N次测量的平均值表征被测量，规定用σ(平)来表征被测量的分散性，即将σ除以根号N，这对统计测量来说是错误的，对基础测量来说是多余的。
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（五）基础测量的实际表达           
       基础测量的模式：被测量是常量，测量仪器有误差。测量仪器的误差范围指标为R(仪)，R(仪)由系统误差范围R(仪系)与随机误差范围R(仪随)组成。
       测量仪器的性能指标值由生产厂给出，由计量部门公证（有检定证书）。
       人们在进行测量前，根据测量任务的要求，选用够格的测量仪器。因此，测量者，必然知道所用测量仪器的误差范围的指标值。
       测量者用测量仪器的误差范围的指标值R(仪)，当做测得值的误差范围，是冗余代换，简单、合理、保险。测量者的测量结果为：
                     L = M(平) ± R(仪)                                                                        （1）
       注意，R(仪)中包含仪器示值误差的随机误差范围R(仪随)：
                    R(仪随) = 3σ(单)                                                                           （2）
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       通常误差理论中讲的，基础测量（常量与慢变化量的测量）的数据处理，是求
                    σ(平) = σ(单)/√N                                                                           （3）
       必有
                    3σ(平) ＜＜ 3σ(单)
       因此当已用R(仪)表达测量的误差范围时，已经充分包含了测量的随机误差。因此，测量结果的表达中，不必加入新算的σ(平)这一项。
       结论：基础测量，不必计入σ(平)。
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       学了误差理论，知道测量多次，取平均值当测得值，测得值的随机误差比取单值的随机误差小，就行了。因为要用仪器的误差范围当测得值的误差范围，已计入随机误差因素σ(单)，就不必计入σ(平)了。计入就重计了。
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（六）σ(平)无用说         
       在统计测量（快变量测量）中，必须用σ(单)来表征，因为σ(单)是随机变量的表征量，而σ(平)不是随机变量的表征量。不能用σ(平)。
       在基础测量中，测量仪器的误差范围，已包含σ(单)，它远大于σ(平)，不该再另计入σ(平)。因此，基础测量中，也用不着σ(平)。
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       结论：在基础测量、统计测量中，都不用σ(平)。因此σ(平)无用。
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       老史的这个说法，一定会备受责难。来吧，敬请大家批评！
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都成

您对“基础测量”的描述和处理我认为是正确的。可是对于“统计测量”的描述和处理我不赞成。
您说：“ 统计测量，测量仪器的误差可略，测得值个个是被测量的真值。”既然测得值个个是被测量的真值，也就是认为个个测得值的不确定度为零，如果用平均值表示测量结果（应该是这样吧），则平均值的不确定度也必然为零，既然其不确定度为零，还有哪来的标准偏差。用σ(单)来表征被测量的变化可以这么规定，也可以用极差来表征被测量的变化，用σ(单)或其什么倍数来表示平均值的不确定度就不对了。
我刚参加了“全国电磁计量技术委员会直流和安规仪器工作组2014年年会”，期间与有关专家探讨了计量是否为您定义的统计测量，计量真的不是统计测量，望史老三思。

规矩湾锦苑

　　（一）测量N次，N个测得值M(i)的平均值是测量结果，记为M(平)。用贝塞尔公式可计算得标准偏差σ，记为σ(单)，平均值的标准差σ(平)＝σ(单)/√N，这都没有错。σ(单)是每个测量结果M(i)的标准差，将随测量次数N的增大趋近一个常数。σ(平)是测量结果M(平)的标准差，随着测量次数N的增大趋近于0。这说明每个M(i)的标准差都是相同的，都是常数 σ(单)，而M(平)的标准差 σ(平)随着测量次数N的增加而减小，N→∞时， σ(平)→0。标准差反映了测量结果的随机误差（含未知系统误差）的大小，这也说明了以多次测量的平均值为测量结果比单次测量结果的随机误差小，修正了已知系统误差的情况下，平均值比单次测量结果更准确，更贴近被测量真值。
　　（二）经典的测量，被测量是常量，测量仪器的随机误差产生了测量结果的随机变化，产生了测量结果的随机误差，当然也还应该包括人员估读、环境条件的随机变化对测量结果随机误差的影响。这的确是手段的问题，手段就是测量方法。手段是可以而且应当改进的，但改变测量方法就意味着不是原来测量方法的标准差，取σ(平)＝σ(单)/√N表征的测量结果M(平)的随机误差仅适用于指定的测量方法，改变测量方法，σ(单)和σ(平)都将改变。
　　（三）统计测量，选择的测量仪器的误差相对于被测量的变动量应小到可忽略，这样得到的测得值的变化才能视为被测量的实际变化。这个变化，必须如实反映，不得缩小。统计测量要的测量结果是被测对象变化量而不是平均值，因此要用σ(单)来表征被测量的变化量，不能用σ(平)，也就是说，统计测量的σ，不能除以根号N。但，若统计测量的测量结果需要的是算术平均值而不是被测对象变化量，则平均值的分散性和标准差就仍然是σ(平)。所以要不要将σ(单)除以√N，关键仍然是看测量结果的性质，而不是看常量测量还是统计测量。
　　（四）不确定度的A类评定方法，当测量N次，用N次测量的平均值表征被测量测量结果时，规定用σ(平)来表征被测量测量结果的不确定度分量之一，σ(平)＝σ(单)/√N是完全正确的。σ(平)＝σ(单)/√N无论对统计测量还是常量测量来说都是正确的，当N=1时，σ(平)＝σ(单)/√1＝σ(单)，这就是单次测量结果的不确定度分量之一，只不过这个σ(单)不是通过N次测量得到的，而是早先通过n次重复性实验得到的。
　　（五） 学了误差理论，知道测量多次，取平均值当测得值，测得值的随机误差比取单值的随机误差小，但还应该知道取平均值作为测量结果时，随机误差与测量次数之间的关系，这个关系就是平均值为测量结果时的随机误差表达式σ(平)＝σ(单)/√N。用仪器的误差范围（允差）当测得值的误差范围是近似的，是单次测量结果的误差，因此测量结果的随机误差用σ(单)，但重复多次测量取平均值作为测量结果，既然史老师也承认“测得值的随机误差比取单值的随机误差小”，到底小到什么程度也还是应该知道，测量次数越多就会越小，否则做一两次测量就可以的事没有人傻乎乎地做十次八次上百次，因此这个σ(平)的确还是有计算的必要。
　　（六）在统计测量（快变量测量）中，“快变量”的变动量必须用σ(单)来表征，因为σ(单)是随机变量的表征量。而当需要平均值作为该“快变量”的测量结果时，平均值的随机误差（注：不是某次测量的测量结果随机误差）仍应该用σ(平)表征。
       在基础测量中，测量仪器的误差范围，已包含σ(单)，它远大于σ(平)，不该再另计入σ(平)，这只是针对以单次测量的测得值我测量结果的情况，如果用N次测量取平均值作为测量结果，该测量结果的随机误差不是σ(单)而是σ(平)。这就是史老师所说“测量多次取平均值当测得值，测得值的随机误差比取单值的随机误差小”的原因，因此，基础测量中的多次测量取平均值作为测量结果，也离不开σ(平)，怎么能够得出结论：在基础测量、统计测量中都不用σ(平)，因此σ(平)无用的结论呢？

规矩湾锦苑 发表于 2014-11-3 12:18
　　（一）测量N次，N个测得值M(i)的平均值是测量结果，记为M(平)。用贝塞尔公式可计算得标准偏差σ，记为 ...

确实如此，实际测量过程中很多会要以平均值做为测量结果，这就离不开σ(平)