讨论：测量计量中用σ(平)，还是σ(单)？

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                       讨论：测量计量中用σ(平)，还是σ(单)？                     
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                                                                                                                                           史锦顺  
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       用贝塞尔公式算标准偏差σ，是测量计量的基本操作。
       标准偏差σ有两个：单值的σ，记为σ(单)；平均值的σ，记为σ(平)。测量计量中该用σ(平)，还是σ(单)？这是个重要问题。而不确定度评定的一律用σ(平)，即一律除以根号N，是不确定度论的要害之一。为发展测量计量理论，为识别不确定度论之谬论，本文详细考究两种σ的适用场合，指出：除极特殊的场合外，σ(平)没有用场。因此，人们该谨慎地对待除以根号N这项操作。
       本文的主张，不仅是同不确定度论唱反调，也与被公认的传统测量计量理论有别。在以平均值为测得值的条件下，认为在通常的测量中以及一切计量中，表征量都该用单值的σ即σ(单)；而不该用平均值的σ即σ(平)。这一主张语出惊人，反对者肯定很多。但笔者坚信这是正确的，对实际测量计量工作，是有实用意义的，是重要的。笔者在三十五年的时频、电子的测量计量的实践中，也是这样做的。
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       我国著名数学家华罗庚有个座右铭（电视片《华罗庚》）：“快发表，缓评论，立论靠自己，评论由人家”。我借用最后一句：仅供大家评论，并在题目上加讨论二字，以表虔诚。不怕被批，不顾挨骂，斗胆挂出，仅供众人品评、议论。
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       自己制造仪器，或买来的仪器，只要有够格标准（源类标准，准确度高于仪器10倍以上），标准又能给出同被测量一致或极接近的标准值，则可现场确定仪器的系统误差、σ、σ(平)这三项性能指标。这是一种极特殊的情况。在这种极特殊的情况下，基础测量用σ(平) ，而统计测量用σ(单)。
       绝大多数测量场合，没有计量标准，只能选用测量仪器。这是一般情况。理论的重点是解决一般情况下该怎样处理。而把特殊情况，当特例，另行处理。本文把特殊情况与一般情况放在一起比较分析，就可以更明确一般情况的处理方法。
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（一）特殊情况：现场有计量标准
       1 测量仪器现场定标   
        第一次初测，测量仪器接被测量，测量3次，计算测得值L(平预)。
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       第二次接计量标准，以确定测量仪器的性能参数。置标准的值B(标)近似等于L(平预)。示值为J(i)，测量N次，N=25（一定要大于10）。
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       1.1 求平均值J(平)           
                     J(平) = [∑J(i)] /N                                                                          （1）
       1.2 将J(i)代入贝塞尔公式计算实验标准偏差σ。σ是统计变量的单值分散性的表征量，记为σ(单)。
       1.3 求σ(平)
                     σ(平) = σ(单)/√N                                                                          （2）
       1.4 求测量点的系统误差与修正值
       系统误差的定义为期望值减真值
                     r(系)=J(期望值) – Z(标)                                                                （3）
       J(平)对J(期望值)的误差范围是3σ(平)，B与Z(标)的偏差范围是R(B)，用已知量J（平）与B代换定义式中的J(期望值)与Z(标)，系统误差的测量结果是：
                     r(系)= J(平) – B ±R(B)±3σ(平)  
                     r(系认定)= J(平) – B
                                    = r(系) ±R(B)±3σ(平)                                                   （4）
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       修正值为
                    C = – [J(平) – B]                                                                             （5）
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       2 现场定标后的现场测量            
       现场定标后，当即用该仪器测量被测量。操作与误差分析计算如下。
       2.1 测得值为M(i)，求平均值M(平)
                    M(平) = [∑M(i)] /N                                                                          （6）
       2.2 将M(i)代入贝塞尔公式计算实验标准偏差σ(测)。[σ(测)≈σ]
       2.3 求平均值的σ(测平)
                    σ(测平) = σ(测)/√N   [σ(测平)≈σ(平)]                                            （7）
       2.4 上述现场定标，已知测量点的系统误差(与标准点临近，可认为系统误差相同)的测得值。已知
                    r(系认定)= J(平) – B =R(系)±R(B)±3σ(平)                                    （4）
       修正值为
                    C = – [J(平) – B]                                                                              （5）
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       修正前的测得值为
                    L=M(平) + r(测系) ±3σ(测平)                                                        （8）  
       不修正的表达式，就是（8）式。
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        2.5 修正后
                    L(修)=L+C= M(平) + r(系测) ±3σ(测平) – [J(平) – B]
                            = M(平) + r(系测) ±3σ(测平) – [r(系) ±R(B)±3σ(平)]
                            = M(平) +[r(系测) – r(系)]±3σ(测平)±3σ(平)±R(B)
       由于是现场定标与现场测量，被测量相近， r(系测)≈r(系)，二者相消。且σ(测平)≈σ(平)，有
                    L(修)= M(平)±6σ(平)±R(B)                                                            （9）
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       是否修正取决于修正前后误差的比较。就是看│r(系)│与[3σ(平) +R(B)]哪个大，前者大，修正；后者大，不修正。还要顾及系统误差的稳定性。系统误差不稳定，r(系测)不是近似等于r(系)，也不宜修正。注意：测量仪器的测量点很多，各点系统误差不同，一般难以修正。
       （8）（9）式是现场定标、当即测量的特种情况（定标点与测量点相同）的测量结果表达式与修正后的表达式，用平均值的标准偏差σ(平)表示随机误差。
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（二）通常的基础测量（现场没有计量标准）没法用σ(平)           
        所用测量仪器的指标为R(仪)，经过计量，确保仪器的实际误差范围不大于R(仪)，但不知道R(仪)所包含的系统误差与随机误差的具体值。通常，系统误差为主；而随机误差次之，但无法确定系统误差之值。可以通过N次重复测量，取平均值为测得值，这样，测得值的随机误差较小。在被测量为常量的条件下，能够确定σ(单)与σ(平)，但却不能确定系统误差的数值。测量仪器指标R(仪)是确定值，但仅仅是范围值，是误差元绝对值的上限。只知总误差绝对值的上限是R(仪)，而不知总误差的具体值，也不知随机误差与系统误差的比例关系与实际合成方式， 通常无法确定取平均值对总误差的改进程度。因此，表达测量结果的误差范围，只能保守地采用测量仪器的误差范围指标值。即
                    L= M(平) ± R(仪)                                                                           （10）
       就是说，通常情况的测量，取多次测量的平均值为测得值，知道对随机误差有改善，但却只能用仪器的误差范围指标值来当测得值的误差范围。即测得的σ(平)没法在测量结果中体现。也就是说，在通常的基础测量中，表达测量结果不能用σ(平)。
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(三) 统计测量只能用σ(单)，而不能用σ(平)               
        统计测量的对象是准随机变量，即一个大常值加一个小随机变量。贝塞尔公式算得的σ与常量部分无关，仅仅是随机变量部分的特性。随机变量的表征量是单值的σ，即σ(单)；因而统计测量与σ(平)无关。统计测量只用σ(单)。
        有人说，取量值的平均值当测得值，就该用σ(平)。这是错误看法。从正态分布图上可看出，量值取平均值，平均值加减3σ(单)，才能以99.73%的概率包含各个量值。如果以单值为表征量，以某单值为中心、以3σ(单)为半宽的区间，包含概率要小得多。如取 [平均值加3σ(单)] 的点为中心，则以3σ(单)为半宽的区间的包含概率仅约50%（约有一半的单值在区间外）.
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       请注意统计测量与基础测量的不同。
       基础测量的目的是确定单一的真值。以平均值为中心、以以单值为中心以3σ为半宽的区间可以套住真值，而以3σ(平)为半宽的区间也可以套住真值。因此说，“取量值的平均值时用σ(平)，而取量值的单值时用σ(单)，”是对的（假定系统误差可略或不忘记系统误差的作用）。而在统计测量的情况下，对象是统计变量，测量仪器的误差可略，各个测得值都是真值。单值的变化量是对象的问题，对象的问题只能如实反映，区间必须包括99%的单个量值，因此，即使取平均值，也得用σ(单)，而不能用σ(平)。如果用平均值当中心，用3σ(平)当区间半宽，则该区间仅能包含客观存在的统计变量的一小部分这显然不行。此时包含区间的包含单值的概率很低（根号N分之一），是无用的区间。
       统计测量与基础测量之根本不同在于：基础测量的着眼点是一个真值；而统计测量的着眼点是量值（量值都是真值）的全体。

（四）计量是统计测量            
       计量考究的是系统误差，也包括σ(单)。计量中的σ(平)，不出现在结果的表达式中。（详见《论计量是统计测量》一文）
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（五）A类不确定度评定对σ(单)、σ(平)的错误运用         
        1 对统计测量，本应是σ(单)，而错误的用σ(平)。除以根号N是错误的。除以根号N的作用，是抹杀随机变量的变化特性。
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       2 对基础测量，随机误差由测量仪器引起。测量仪器的误差范围为
                     R(仪)= R(系)+3σ(单)
       第一，仪器的指标本来是σ(单)，A类评定取σ(平)，是错误的。
       第二，系统误差R(系)只在有计量标准的场合，即计量场合才能确定。因此在测量场合，A类评定不能完成独立的评定。由此，不确定评定，不能没有B类评定，而B类评定中的“说明书仪器规格”中，已包含仪器的随机误差范围。A类评定，重计了。也就是说，对基础测量来说，A类评定是多余的。
       对统计测量，对基础测量，A类不确定度评定都不对，因此A类不确定度评定没用。
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       综上所述，σ(平)只在现场定标、现场测量的特殊情况下有用；而在统计测量中要用σ(单)；在通常的基础测量中，要用仪器的误差范围指标值，不能用σ(平)；在计量中，表征量也是σ(单)，当前，却是用σ(平)，大多数都用错了。精密测量必须多次测量，必须取平均值，是对的，但要慎用σ(平)；如本文分析，绝大多数场合该用σ(单)。而不确定度评定的错误，产生的根源之一是σ(平)与σ(单)的混淆与错位运用。         
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“而不确定度评定的一律用σ(平)，即一律除以根号N“ ？这不是事实！

　　是的，正如2楼所说，“而不确定度评定的一律用σ(平)，即一律除以根号N“ ？这不是事实！
　　事实是绝大多数测量都是以单次测量结果作为被测量的最终测量结果，因此绝大多数测量均使用了重复性实验的实验标准差σ(单)作为标准不确定度，扩展不确定度取包含因子k=2或3，因此扩展不确定度使用了2σ(单)或3σ(单)。只有少数测量结果规定测量N次取算术平均值时，标准不确定度才使用σ(单)除以根号N。不确定度评定的技术规范从未将σ(平)与σ(单)的混淆与错位运用。
　　也许有少数评估者有错误使用的情况，这属于个人的错误，不能当成不确定度评定技术规范的规定来抨击，可以抨击的是错误地使用了不确定度评定方法的少数人。

规矩湾锦苑 发表于 2014-11-18 15:57
　　是的，正如2楼所说，“而不确定度评定的一律用σ(平)，即一律除以根号N“ ？这不是事实！
　　事实是绝 ...

        多次测量，测量N次，有N个测得值，代入贝塞尔公式计算，得到σ，称为σ(单)，σ除以根号N,得σ(平)。
       测量计量界当前的共识是：取平均值当测得值，则必须用σ(平)当测得值的表征量。取单值当测得值，则用σ(单)当表征量。不确定度评定的A类评定就是测量N次，取平均值为测得值，计算σ，除以根号N得σ(平)，σ(平)叫A类不确定度。我说的就是这个意思，是GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的明文规定，这怎么不是事实？用单值的σ可以吗？不行的。
       我的主张是：对统计测量来说，测量N次，取平均值，要用σ(单)，因为σ(单)是统计变量的表征量，而σ(平)的期望值是零，不能当随机变量的表征量。因此，A类不确定度评定，一律除以根号N,是错误的。只测量一次，没有σ可谈。讲σ的事，必要条件是多次测量。而且是取平均值当测得值。
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史锦顺 发表于 2014-11-18 18:49
多次测量，测量N次，有N个测得值，代入贝塞尔公式计算，得到σ，称为σ(单)，σ除以根号N,得σ( ...

　　是的，“多次测量，测量N次，有N个测得值，代入贝塞尔公式计算，得到σ，称为σ(单)，σ除以根号N，得σ(平)”这没有错，“取平均值当测得值，则必须用σ(平)当测得值的随机误差表征量。取单值当测得值，则用σ(单)当其随机误差表征量”，也没有错。“不确定度评定的A类评定就是测量N次，取平均值为测得值，计算σ，除以根号N得σ(平)，σ(平)叫A类不确定度”则错了，或者说这个说法不完整。
　　不确定度的A类判定方法是，首先选择一个被测对象用被评定的测量方法进行重复性测量实验，实验次数N越大越好，通过重复性实验和贝塞尔公式得到实验标准差s，即您所讲的σ，或σ(单)，这个标准差s将存档备案。实际测量活动中如果标准、规范、规程、作业指导书等（以下简称技术文件）规定对被测量测量n次（n可能大于N也可能小于N或等于N）取平均值为测量结果，则该测量结果的标准不确定度为u＝s/√n。当技术文件未规定测量次数时视为默认测量者可进行单次测量的结果作为被测量测量结果，此时n＝1，u＝s/√n＝s/√1＝s，也就是您说的u＝σ＝σ(单)。单次测量的测得值作为被测量测量结果的情况远比多次测量取平均值作为被测量测量结果的情况多得多，因此2楼说，“不确定度评定的一律用σ(平)，即一律除以根号N”这不是事实，而只是某确定条件下的事实，是取算术平均作为被测量测量结果，且测量次数n与进行重复性实验时的测量次数N相等时，才是史老师您所说的状况。
　　您说的“GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的明文规定”写得也非常清楚，“当用算术平均值x(均)作为被测量估计值时”，被测量估计值的A类标准不确定度为s/√n（见JJF1059.1的4.3.2.1条）。被测量估计值即为测量结果，x(均)是测量n次的测得值算术平均。如果实际测量不是n次，而是n′次，标准不确定度就是s/√n′（见JJF1059.1的4.3.2.6条公式20）。如果失去了“当用算术平均值x(均)作为被测量估计值时”这个前提条件，仅仅是测量一次就给出测量结果，实际测量次数n′＝1，标准不确定度也就是s了（见JJF1059.1的4.3.2.4条最后一句话）。我们不能不顾前提条件，将有前提条件的一句话当成无条件限制的“一律”对待。GUM/VIM/JJF1001/JJF1059 的规定是“在……时”的条件下是s/√n，绝大多数的一般情况下并非s/√n，可能是s，也可能是s/√n′，到底是什么取决于实际测量次数n′。

规矩湾锦苑 发表于 2014-11-18 21:26
　　是的，“多次测量，测量N次，有N个测得值，代入贝塞尔公式计算，得到σ，称为σ(单)，σ除以根号N， ...

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        讨论问题，要抓住根本，直论主题。在测量N次、取平均值为测得值的条件下，分散性的表征量该用σ(平)还是σ(单)，这是问题的实质。
       史锦顺的观点是：现在的不确定度理论以及误差理论的主流部分，都认为“在上述条件下，该用σ(平)，而不用σ(单)”，这是不对的。统计变量的表征量是σ(单)，应该用σ(单)；而σ(平)的期望值是零，不能当随机变量的分散性的表征量。因此，对随机变量的测量，即统计测量，该用σ(单)，而不能用σ(平)。
       无疑，史锦顺对测量计量理论，提出了新观点。对这个观点，反对，可以说反对的理由；赞成，该说赞成的理由。扯别的，无益于主题的讨论。
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       规矩湾先生，对老史这个观点，你可以赞成，也可以反对。在这里谈不同的N或n有什么意思？大N小n都是测量次数，有撇的n没撇的n都是测量次数，你绕来绕去也还是除以根号次数的。任何有A类不确定度评定的地方，都是除以根号次数的，难道不是事实？讲N的不同值的变化，是回避两个西格玛选取的合理性的质疑的一种花招。事实上，σ只是数据处理的一个过程，取σ(单)也好，取σ(平)也好，都要变成误差范围或扩展不确定度。用户只能知道一个总结果，那里去知道评定者测量了几次，所计算的σ又是多少？规矩湾的“评定的σ记入档案”，说说而已，谁又能查你的档案？这些没谱的设想，说了也毫无意义，因为这根本就行不通。实用中，要知道σ，测量几次就知道了，况且如今计算机普及的时代，σ是自动计算的，哪个笨蛋还去查档案？买人家的仪器或设备，没法查！
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史锦顺 发表于 2014-11-19 09:31
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        讨论问题，要抓住根本，直论主题。在测量N次、取平均值为测得值的条件下，分散性的表征量该用 ...

请史老师先到http://www.gfjl.org/forum.php?mo ... &extra=page%3D1中将计量是否为您定义的统计测量说清楚，没了计量是统计测量，两个西格玛的问题也就解决了。请您务必仔细琢磨您的“统计测量”的定义，再仔细琢磨分析计量的特点是怎么符合或不符合您的“统计测量”的定义，可以先从量具的检定分析开始。我的结论是计量不符合您定义的“统计测量”，符合您定义的“基础测量”。

史锦顺 发表于 2014-11-19 09:31
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        讨论问题，要抓住根本，直论主题。在测量N次、取平均值为测得值的条件下，分散性的表征量该用 ...

　　分散性的表征量该用σ(平)还是σ(单)，这是问题的一个实质，该用σ(平)还是σ(单)的实质在于“分散性的表征量”所表征的对象是“单次测量”的测量结果，还是“多次测量”的平均值作为测量结果。因此，我不能简单地回答反对还是赞成史老师的观点，而是具体情况具体分析。
　　现在的不确定度理论以及误差理论的主流部分都认为，以“单次测量”的测得值作为测量结果，分散性的表征量该用σ(单)，以“多次测量”的平均值作为测量结果，分散性的表征量该用σ(平)，只不过前者站在不确定度的A类评定方法上说，后者站在随机误差分析的角度上讲。史老师所说的“统计变量的表征量是σ(单)，应该用σ(单)”，这是因为被测对象是“统计变量”自身的分散性，是一个一个独立的测量结果之间的变化量，每个测量结果都是“单次测量结果”，所以应该用σ(单)。假设被测对象改为统计变量的“平均值”，而不是该统计变量自身的“分散性”，则以“平均值”为测量结果的“分散性”就应该用σ(平)了。A类评定方法获得的标准不确定度也是如此，单次测量结果的标准不确定度必须用σ(单)，多次测量的平均值为测量结果，其标准不确定度必须用σ(平)。
　　在这里谈n与N的不同是测量不确定度评定的需要。无论单次测量结果还是平均值为测量结果，要用A类评定方法评定其标准不确定度都必须进行重复性实验，实验次数越多越好，不妨实验次数记作n（常见案例大多数取n=10）。实际获得测量结果的测量次数由标准、规范、规程、作业指导书等技术文件规定，不妨记为N（JJF1059.1的n′），未规定测量次数的视为允许N＝1，绝大多数的测量N≠n。N=1时，标准不确定度用σ(单)，N＞1时的多次测量的平均值为测量结果，其标准不确定度必须用σ(平)，但此时的σ(平)≠σ(单)/√n，而是σ(平)＝σ(单)/√N。这就是我一再强调n与N不同的用意。
　　我赞成“事实上，σ只是数据处理的一个过程，取σ(单)也好，取σ(平)也好，都要变成误差范围或扩展不确定度。用户只能知道一个总结果，无需知道测量了几次，σ又是多少”，但作为不确定度评估者将“σ记入档案”，是节约管理成本的一劳永逸的好事，不想记录在案，愿意每次评定都花钱、花时间、花精力重新作重复性实验也没人反对。我说的有没有谱，有没有意义，行不行得通，大家可以仔细想一想。如今计算机普及的时代，σ可自动计算，也可自动记录在案，自动查找。“档案”可以是电子的，也不会有哪个笨蛋还去查纸质的档案。测量几次是技术文件的规定，凭知道σ可以知道重复试验次数，实际测量了几次，还是得查技术文件规定。买仪器，人家不一定告诉你实验了多少次，但上述技术文件一定会规定获得测量结果的检验、测量、检定、校准的次数，不规定次数的就可以默认为允许做单次测量。

“测量计量界当前的共识是：取平均值当测得值，则必须用σ(平)当测得值的表征量。取单值当测得值，则用σ(单)当表征量。不确定度评定的A类评定就是测量N次，取平均值为测得值，计算σ，除以根号N得σ(平)，σ(平)叫A类不确定度。”
与史先生讨论，难道以前的误差理论不是这么做的吗？早期的高校教材（1981年）《误差理论与数据处理》中，算术平均值的标准差就是σ除以根号N。所以，这不是不确定度的“专利”。
至于您的观点，学习中。

　　完全赞同９楼观点，但补充一点是，如果N是重复试验次数，用贝塞尔公式计算得到了σ，标准规范规定的测量次数不是N而是n′，例如假设：N=10，n′＝３，则以3次测量结果的平均值为测量结果时，A类不确定度评定方法得到的标准不确定度就应该是u＝σ(平)＝σ/√3，而不是u＝σ(平)＝σ/√10。

深圳渔民 发表于 2014-11-24 14:11
“测量计量界当前的共识是：取平均值当测得值，则必须用σ(平)当测得值的表征量。取单值当测得值，则用σ( ...

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        是的，你说的没错。
        此前，我认为不确定度论全错，所以坚决反对不确定度理论；认为误差理论有些不足，但无大错。
        最近才认识到，测量计量界的理论问题更严重。不确定度全盘错误；当代的误差理论，也有重大错误。
        测量N次，取平均值当量值的表征量，按贝塞尔公式计算σ(单)，除以根号N得σ(平)，用σ(平)当分散性的表征量。这是测量计量界的最最常用的作法。于是，剔除异常数据、西格玛除以根号N，就成了测量计量必然的操作。 以下称此为经典作法。
        这种经典作法，在经典测量学中是对的。因为经典测量学的对象是常量，被测量只有一个唯一的、不变的真值，测量的问题，测得值的系统偏差与随机偏差都是测量仪器引起的。计算西格玛是对随机误差的统计，表征由于随机误差产生的分散性。单值的西格玛表征的分散性，是单个测得值对数学期望的偏离程度（根号内除以N是对平均值的偏离，根号内除以N-1，是对数学期望的偏离）。σ(平)是平均值对期望值的偏离。期望值与真值的偏离是系统误差。
       对统计变量（一个大常量叠加一个小变量）的测量，我把它称为“统计测量”。统计测量要表征的是：第一，量值本身是多少，第二，量值的变化范围。因此，统计测量要取平均值来表达量值，称最佳估计值，以回答第一个问题。回答第二问题，教科书上的标准回答，也是当前公认的回答是：既然取平均值，就要用平均值的西格玛，即σ(平)。老史提出的新观点是：对常量测量，理论上要用σ(平)，但实际上用不上，因为测量要用测量仪器，表达测量结果，必须是测得值（平均值）加减仪器的误差范围。而仪器的误差范围是用σ(单)确定的，测量中可以算σ(平)，它比σ(单)小得多，不该再计入误差范围。加上这个很小的量（精密测量N很大），也不合理，是多余的。
        随着近代科学的发展，特别测量仪器的精密度的提高，统计测量越来越多。统计测量，测量仪器的误差可略。测得值各个是真值。统计变量的分散性是各个量值对期望值的分散性，必须用σ(单)；表征的不是平均值的分散性，而不能用σ(平)。
        特别要注意到：计量是统计测量。因为计量时的手段的不良，远远小于对象的指标值或对象的变化量，要表征的是对象的问题，必须是单值西格玛即σ(单)，而不能用平均值的西格玛即σ(平)。检定中，对仪器示值的西格玛除以根号N,这就把被检仪器的随机误差人为地降低根号N倍，是错误的。类似的机械零件的尺寸合格性检验、产品出厂检验、进货验收，凡有量值规格的，都是合格性判别的问题，都可称为计量，都属于统计测量，都应该用σ(单)，而不能用σ(平)。
        很高兴先生看了我的文章，注意到我的新观点，请先生提出你的看法。肯定有不同意见，没关系，我愿意听听不同的见解，再仔细推敲我的新理论。
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补充内容 (2014-11-25 18:17):
修改说明：“当代的误差理论，也有重大错误。”改为：现代误差理论在“剔除异常数据”、“西格玛除以根号”的问题上，也有严重错误。

　　我认为当代的误差理论并无大错。对被测量Y测量N次，取平均值X(均)当量值的表征量，按贝塞尔公式计算σ(单)，除以根号N得σ(平)，用σ(平)当X(均)分散性的表征量，即σ(平)当测量结果X(均)的随机误差，σ(单)为被测量Y的分散性区域半宽并不错。在不确定度评定的A类方法中将σ(单)作为单次测量结果的标准不确定度，σ(平)＝σ(单)/√n′（注：不是√N，此时N为重复试验次数，n′是获得测量结果的实际测量次数），也没有错。
　　即便是史老师所说的统计测量，被测量Y是变化的，若用N次测量结果的平均值X(均)作为该统计量的测量结果，该测量结果X(均)的随机误差也还是σ(平)，该统计量Y的分散性用σ(单)表示。