《测量不确定度现行定义诠释》这样的文章不好写哦！

史锦顺 发表于 2015-1-23 18:13
不确定度主定义之“被测量量值分散性”是不确定度理论的先天的残疾。“分散性”是个问题，但对测 ...

现在的这个“测量不确定度”真是个不伦不类的东西...

被测量值自身的“随机”散布与“测量技术”的关联微乎其微！ 弄现在这么个糊涂酱的“测量不确定度”把产品设计、生产者与测试、检验者的责任搅成一锅粥!

　　史老师关于“不确定度主定义之‘被测量量值分散性’是不确定度理论的先天的残疾”论断，仔细想一想还是有道理的。在常规测量中，环境条件控制足够苛刻的前提下，一个被测量其真值是唯一的，何来真值的“分散性”？只是因为误差理论说误差不可消灭只能无限地削弱，因此通过测量无法得到符合定义的真值（基准的约定除外），人们所能做到的只能通过测量过程的信息估计出被测量真值存在区间的宽度，并取半宽定义为测量不确定度。这个估计的被测量真值存在区间半宽仅仅是个“半宽度”，甚至连真值存在的区间都不是。不确定度的主定义应该直接强调被测量真值存在区间的半宽，不是测量结果或测量误差存在区间的半宽，强调用这个半宽的作用是什么，因此旧版定义所说的“与测量结果相联系的参数”和注中的表征“测量结果的可疑度”都是比较好理解，比较容易与“误差”和“误差范围”加以区分的。“与测量结果相联系的参数”应该进一步明确就是用估计的这个半宽作为“评判测量结果可疑度的参数”。我的建议是，定义修改为：不确定度是凭测量过程有用信息评估出的被测量真值存在区间半宽，是用于评判测量和测量结果可疑度的参数。

　　关于“分散性”问题，不应该是被测量真值所具有的特性。但在评估测量不确定度时，因为估计的对象是半宽，分散性就是用半宽表示，因此可以用分析“分散性”的方法分析不确定度。这属于评估方法的问题，不应该写进不确定度的定义中。

规矩湾锦苑老师的不确定度定义：“是凭测量过程有用信息评估出的被测量真值存在区间半宽，是用于评判测量和测量结果可疑度的参数。”耐人玩味。

“...，是用于评判测量和测量结果质量的参数。”  如何？

王夔 发表于 2015-1-29 15:19
“...，是用于评判测量和测量结果质量的参数。”  如何？

        空泛。
       定义要有具体内容。
       对定义的逻辑要求是表明概念的内涵、外延。
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       去年，我有专文论不确定度的定义。根据现实情况，我概括出的不确定度的定义是：
         不确定度是由测量仪器误差与被测量的变化共同构成的测得值对期望值的偏离程度。        
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附录  史锦顺关于不确定度定义的论述（载《误差PK不确定度六十篇集》p105）
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                                       不确定度的定义
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       前文指出，不确定度论的诞生，有其哲学背景，这个哲学背景就是“真值不可知、误差不能求”的不可知论。其实，这是个测量佯谬。人们根据实际需要而选用准确度够格的测量仪器，仪器必须是经过计量的；测量仪器的误差范围是已知的。一个测量者，用一台合格的测量仪器进行测量，在得到测得值的同时，已知测得值的误差范围不大于所用仪器的误差范围的指标值，因此，测量者不必按误差的定义进行测得值减真值的操作，就知道测量的误差范围（用测量仪器误差范围的指标值当做测量的误差范围是冗余代换。这样做，简明、方便又保险）。测得值加减误差范围是测量结果。得到测量结果，就达到了测量的目的。注意，选用测量仪器时，已经知道测量的误差范围的上界。明白这一点，测量佯谬就已破解。
       测量结果是测得值M加减误差范围        R。测得值M是被测量量值（真值）L的最佳表征值，R是测量的误差范围。测量结果的意义是：表征被测量实际值的是测得值M；被测量的实际值L可能比M大些，但不会大于M+R；被测量L可能比M小些，但不会小于M-R。表达成公式为：
                   M-R ≤ L ≤ M+R                                                                      （1）         
       公式（1）简记为
                   L = M ± R                                                                               （2）
       公式（1）与公式（2），表达的是基础测量（常量测量与慢变化量测量）的情况，这简要地表达了误差理论的基本原理。
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       GUM讲解不确定度，给出的公式为
                   y-U ≤ Y ≤ y+U                                                                        （3）
                   Y = y±U                                                                                 （4）
      经过上文的推导可知，Y是被测量的期望值，y是测得值，U是扩展不确定度。
公式（3）、公式（4）是GUM给出的不确定度理论的基本公式，是不确定度理论的基础。同误差理论的基本公式（1）、公式（2）进行比较，不难理解不确定度到底是什么。
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（一）不确定度定义剖析        
       定义是明确概念的逻辑方法。分析不确定度理论，不能不考究不确定度的定义。可惜，不确定度的定义，混乱而多变，我们一个个分析。
（1）真值所处的量值范围       
       表征被测量的真值所处的量值范围的评定。（VIM1 于渤、 杨孝仁、刘智敏译本。）
       【史评】
       这是关于不确定度的初期的定义。这个定义大约等同于误差范围。此定义没涵盖被测量本身的变化，显然不全面，不符合GUM的Xi既可能是物理量，也可能是随机变量的规定。
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（2）不确定度是西格玛除以根号N      
       GUM 引出不确定度概念时，说西格玛除以根号N称不确定度。（叶书p42）
      【史评】
       这个定义的视角太狭小。测量常量时，许多仪器的示值是个不变的值。西格玛除以根号N为零，不好说不确定度是零。 更重要的是这个定义忽略偏离性。显然不当。
       在基础测量（常量测量）中，西格玛可以除以根号N；而在统计测量中，西格玛是被测量的特性，不能除以根号N。
       这个定义对基础测量、对统计测量，都不对。
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（3）不确定度是可信性           
       GUM 说:“不确定度”这个词意指可疑的程度，广义而言,“测量不确定度”意指对测量结果的正确性的可疑程度。（GUM 2.2.1,叶书p35.）
      【史评】
       GUM 称不确定度指可疑的程度，或可信度，实际给出的是类似基础测量（常量测量）的误差范围，或统计测量（变量测量）的量值变化范围。可信度要能表达成1-α的形式，不确定度并不能。
       美国的铯原子标准NIST-F1（1999-2001）的不确定度为2 x 10^-15。这能说其不可信度是0.000000000000002，或说它的可信度是0.999999999999998吗？所以，说不确定度是可疑的程度，或说是可信度或不可信度，是不靠谱的。
       不确定度论通常取2σ，正态分布时，包含概率是95.45%，可信度是95.45%。。
误差理论通常取3σ，正态分布时，包含概率是99.73%，可信度是99.73%。
       包含概率是可信度，不确定度不是可信度。
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（4）不确定度是分散性
       国际标准文件GUM和VIM给出的不确定度的定义为：
       A 表征合理地赋予被测量之值的分散性，与测量结果相联系的参数（GUM1995版、GUM2008版；VIM 1993版3.9）
       B 根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的参数（VIM 2004版2.11）
       C 根据所用到的信息，表征赋予被测量量值分散性的非负参数（VIM 2008 版2.26，VIM 2012版2.26）。
      【史评】
       不确定度的上述A、B、C三个定义，要害是只讲分散性，不讲偏离性。
分散性是测量的一个问题，但更重要的是测得值对真值的偏离性。不确定度论只谈分散性，而不顾偏离性，是只顾小头，而忘了大头。
       由上面A、B、C三条定义可知，“分散性”是不确定度的核心。
       分散的意思是分开、散开，不集中。分散是聚集的反义词。测量时，显示值或读数值，各不相同或部分不同，就是分散性。
       分散性分两种，性质不同，处理方法也必须不同。
       第一种分散性是仪器的随机误差。由此引入的测得值变化性（分散性），算出的西格玛要除以根号N，因为这是认识问题，认识是可以通过取平均值的方法改进的，除以根号N，提高了精密性。
       第二种分散性是被测量本身的变化。
       现代测量，出现大量变量测量的情况。在时频界，频率测量的绝大多数场合是变量测量。对待这种情况，必须先选用仪器，就是仪器的误差必须远远小于被测量的变化，一般要小到十分之一以下（单测稳定度，可以是小于三分之一），测得值的变化，即测得值的分散性，由被测量的变化引起，该算在被测量的账上。因为分散性是被测量引入的，用贝塞尔公式算出的西格玛，即单值的西格玛，是被测量值的特有性质,不准除以根号N.著名的阿仑方差，就不除以根号N.
       不确定度论不懂得分散性有两种，见到测得值有分散性就代入贝塞尔公式算西格玛，算了西格玛就除以根号N（GUM规定，西格玛除以根号N,才叫不确定度），这是不分青红皂白地乱算。
       不分两类分散性的不确定度论，在一般测量或一般精密测量中，在通常的计量工作中，是行不通的。
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（5）不确定度与误差范围不同说            
       GUM 说：“测量结果（修正后）即使具有很大的不确定度，仍可能非常接近被测量的值（即误差可忽略）。因此，测量结果的不确定度不应该与剩余的未知误差相混淆。”（GUM 3,3,1,叶书p38.）
       GUM 说：“即使评定的不确定度很小，仍然不能保证测量结果的误差很小；在确定修正值或评定不确定度时，由于认识不足而有可能忽略系统影响，因此测量结果的不确定度不一定可表明测量结果接近被测量值的程度。”（GUM D5.1,叶书p69.）
      【史评】
       那些至今还认为不确定度管用的人，该仔细体会一下上面这两段话。人们表达测得值的质量，就是要表达测得值与被测量的实际值（真值）的接近程度，既然不确定度与此无关，还要它干什么？
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（6）不确定度与误差范围相同说           
       1 刘智敏先生：“测量结果的质量如何，要用不确定度来说明。不确定度愈小，测量结果对真值愈靠近，其适用价值愈高；不确定度愈大，测量结果对真值愈远离，其质量愈低，其质量愈低。”（刘智敏著《不确定度原理》序言。刘先生是国际不确定度工作组中国成员。）
       2 美国著名教科书：“通常可以估计一个误差的可能界限，该界限称为不确定度。”（机械量测量 第五版 美Thomas G.Beckwith 等著）
       3 美国的著名测量仪器公司安捷伦与福禄克，都声称：不确定度就是准确滴，就是误差范围。
       【史评】
       这些主张是：不确定度与误差范围含义一致。都忽略了量值本身的变化。如果仅仅处理测量仪器的性能指标问题，这样理解本无大错；但不符合 “涵盖随机变量”这条不确定度论的本意。
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（7）不确定度与误差并行说       
       不确定度的B类评定，要用测量仪器的误差范围指标，这是承认误差理论存在的必要。不确定度理论与误差理论必须并行。
      【史评】
       并行说不能区分对象和手段，经常造成混淆。例如不确定度评定包含A类评定，评定检定装置的检定能力时，检定能力考核将包含被检仪器的变动量。由此而判断检定能力，是不合理的。叶德培先生录像讲课中，指出过这一点。
       至于不确定度与误差各行使一种功能的说法，是囿于“不确定度讲可信性”而产生的一种幻觉。原子频标，要么给出准确度，要么给出不确定度，世界上没有一台原子频标是同时给出准确度和不确定度这两个指标的。任何测量仪器也不可能同时标出准确度和不确定度；任何一个测量结果，也不可能既给出不确定度，又给出准确度。所以，不确定度与准确度各行其职的说法，是不成立的。
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（8）不确定度是包含真值区间的半宽      
       VIM3的2008版与2012版，都说不确定度是区间半宽，该区间包含真值。
       这个说法是对VIM1 的回归，承认真值的存在和可认识性，是必要的。但尚未说明，这个区间是误差区间与被测量变化区间共同构成的综合区间。
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（二）史锦顺认为：不确定度是测量误差与量值变化的综合         
       基于对GUM给出的不确定度区间公式的推导、解读，基于对不确定度评定规则、评定样板的理解，史锦顺给出的不确定度定义为：
       不确定度是由测量仪器误差与被测量的变化共同构成的测得值对期望值的偏离程度。        
       不确定度区间是测量仪器误差区间与被测量变化区间共同构成的综合区间。
                   y-U ≤ Y ≤ y+U                                                                     （3）
                   U = R(变) + R                                                                     （5）   
       R是测量仪器的误差范围。R(变)是被测量本身的变化范围。
       【史评】
       这种综合的表达，对物理常数测量可以。
       1974年出版的《科学技术的测量基础和常数》([美]F.D.罗西里著)在给出物理常数的数据时，用的是“不确定度”一词，书中说明用的是精密度、准确度，是标准偏差。我理解此处“不确定度”该是测量的误差范围与物理常数变化范围的综合值。
       不确定度的这种综合表达，在通常的测量中，特别是计量中，不能用。计量与通常的测量都要求分清对象和手段，不能把手段的问题与对象的问题搞混淆，否则就形成混沌账。
       对不确定度论的混沌账，要揭示，要清理。
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王夔 发表于 2015-1-29 15:19
“...，是用于评判测量和测量结果质量的参数。”  如何？

　　“测量误差”和“测量不确定度都”都是“用于评判测量和测量结果质量的参数” ，因此你如果定义不确定度：“是凭测量过程有用信息评估出的被测量真值存在区间半宽，是用于评判测量和测量结果质量的参数。”并无错误。但毕竟测量不确定度不同于测量误差，它们所评判测量和测量结果的质量参数并不相同，在定义中还应该加以区分。
　　“测量误差”是“测量结果与被测量真值之差”，是偏离被测量真值的程度，这就非常明确是定量评判测量和测量结果“准确性”的参数，这个概念已经被大家共同接受。被测量真值客观存在着，测量结果需要实施测量才能获得，只要测量，测量结果也是客观存在，因此两者之差的测量误差同样是一种客观存在。
　　“不确定度”是“凭测量过程有用信息评估出的被测量真值存在区间半宽”，作为半宽只是区间宽度大小的一种描述，与区间的位置在哪里并无关系，区间在任何位置都可能是这个半宽度，因此不确定度并不决定测量和测量结果的准确度。不确定度完全是凭测量过程有用信息估计，并不需要真正的实施测量，常常是在完成测量过程设计进行测量过程的有效性确认时进行评估，因此它是主观的。不同的人有不同的估计，在信息相同、估计的方法相同的情况下，大家的估计是八九不离十的，而不是绝对“准确的”。人们就是用这个估计得八九不离十的并非“准确”的“半宽度”来评判测量和测量结果的另一个质量参数“可信性”（又称可靠性或可疑度）。所以我在建议的定义中增加了“可疑度”或可靠性、可信性等用词。

    某人所称的位置飘忽不定的、“被测量真值存在区间半宽”的所谓“测量不确定度”，在现行‘定义’的“不确定度”中是有影子的——反映被测量自身（真值）随机变化的“不确定度”分量【它与“测量”工作的品质其实没有一分钱的关系！】，只是被他捣成浆糊一桶了！

　　当人们讲“宽度”时，的确与位置无关，同样的宽度可以在任何位置存在。测量不确定度仅仅是个半宽，与测量结果的大小无关，纯属用测量过程的有用信息估计出来的，因此不能用它评判测量和测量结果的准确性，评判准确性的责任是误差理论。同样误差理论不能用来评判可信性，只能用来评判准确性。如果要说不能评判测量和测量结果准确性的不确定度没有用了，那么不能评判测量和测量结果可信性的误差理论也同样是没有用了。其实它们各有各的定义，各有各的来历，各有各的特性，各有各的用途。它们不是依己之长攻击对方之短的对手，而是依己之长补充对方之短的同胞姐妹。把它们混为一谈，特别是用“甲就是乙”这样的语句相连，才是真正的“捣成浆糊一桶了”。

史锦顺 发表于 2015-1-29 17:24
空泛。
       定义要有具体内容。
       对定义的逻辑要求是表明概念的内涵、外延。

　　史老师认认真真地剖析了不确定度定义的八个方面，我对不确定度定义与史老师有所不同。
　　1.不确定度是表征被测量的真值所处的量值范围的评定，这个初始的定义的确定义不够完整，任何一个新生事物刚刚诞生都有这个过程，不足为怪。
　　2.GUM 引出不确定度概念时，说西格玛除以根号N称不确定度，请注意N不是重复试验次数，而是以平均值获得测量结果的测量次数，无论重复试验次数多大，实际测量次数为1时，那个N就是1，“说西格玛除以根号N”，其实就是西格玛。
　　3.GUM 说:“不确定度”这个词意指可疑的程度，广义而言,“测量不确定度”意指对测量结果的正确性的可疑程度。这个说法点明了与“误差”和“误差范围”用途的本质区别，这不是不确定度的完整定义，是对于定义的补充说明，因此放在了定义的“注”中。
　　4.关于“不确定度是分散性”的问题看法并不全面，不确定度是估计出来的被测量真值存在区间半宽，被测量真值是符合被测量定义的值，定义固定不变，真值就是客观存在着的固定不变的值，因此真值没有分散性。只是误差理论的结论说因为误差只能无限减小而不能消灭，因此靠测量获得真值是不可能的，只能无限趋近于真值，因此人们只能凭信息估计真值存在区间的宽度（半宽），这个宽度可以用“分散性”估计理论和方法来估计。
　　5.不确定度与误差范围不同说，这是实实在在的本质上的东西，说到了点子上。如果相同就是您所说的“纯属多余”、“纯属添乱”，应该消灭不确定度了。而事实上不确定度的定义的的确确与误差和误差范围的含义大相径庭。
　　6.“不确定度与误差范围相同说”肯定是错误的，混淆了两个本质不同的名词术语，“误差的可能界限”不是“不确定度”，把它们生拉硬扯画等号就好比把狗与猫画等号，尽管都用来量化评判测量和测量结果的质量，但它们的性质完全不同，是两个完全不同的参数。
　　7.不确定度评定完全依据可靠的测量过程信息，其中包括依据获得测量结果的方法正确书写的测量模型，被测对象的某个特性（非被测特性）是否给被测的特性带来影响，在测量模型中会有所反应，有反应的必给被测参数引入不确定度分量，不给被测参数产生影响的特性分析其给测量结果引入的不确定度分量才是违反常规的。
　　8.VIM3的2008版与2012版，都说不确定度是区间半宽，该区间包含真值，这是GUM给不确定度定义的一贯说法，从未改动过。GUM从来都承认真值的存在和可认识性，承认误差理论所说的真值客观存在而不能测得，只能用较高准确度的测量结果约定为较低准确度的测量结果的真值，由此设计出各种量值的“量值传递系统”，如果人们可以直接得到真值，何必一级一级找“标准值”（约定真值），何必搞出个量值传递系统或量值溯源系统？

“如果人们可以直接得到真值，何必一级一级找“标准值”（约定真值），何必搞出个量值传递系统或量值溯源系统？”

我的天，这脑子里到底装的什么啊，莫非真把读的书都“捣成浆糊一桶了”，只要你有足够的钱，你可以复制一个千克国际原器放到你家里，只要你有足够的钱，可以让人给你制造一台铯喷泉钟放你家里（前提是你不能投敌判国技术扩散），只要你有足够的钱，你可以象李嘉诚一样买下差不多整个英国，只要你有足够的钱，你可以随便任性... ...，没有那么多钱，就一级一级来。

" 由测量仪器误差与被测量的变化共同构成的测得值对期望值的偏离程度。 "     貌似系统误差的定义  

王夔 发表于 2015-2-2 16:57
" 由测量仪器误差与被测量的变化共同构成的测得值对期望值的偏离程度。 "     貌似系统误差的定义   ...

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         我要说明一下。别人给不确定度下定义，主要是为了完善它；我给不确定度下定义，却是为了揭露不确定度的本质，进而抨击它，以致达到最终废弃它。
       我认为，不确定度论，毫无道理，害人误事，必须废除。在正确与谬误之间，没有调和的可能。惧怕八个国际学术的权威，不敢说真话，不是学术讨论的正确态度。哪个物理学家会赞成不确定度论？我看没有。连一个技校毕业的检定员都能看出不确定度论不过是蒙骗领导，是摆摆样子，何况研究人员？
       中国宣传不确定度论的第一人（首先出书、《JJF1001》《JJF1059》两大文件的第一起草人）叶德培先生说：“把被检仪器的性能算在检定装置上，是错误的”。叶先生说得对，我曾评价为“铿锵质疑，振聋发聩”。叶先生这一句，否定了整个计量界多一半的不确定度评定。推行不确定度二十年了，真正用的场所，主要是计量标准的考核，而又几乎全错。事情就是这么简单，不确定度，不用则已，用则必错。不确定度，不值得完善，也没法完善。
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       先生说“由测量仪器误差与被测量的变化共同构成的测得值对期望值的偏离程度”。貌似系统误差的定义。这是完全不符合原意的解读。本质没有共同之处，“貌”更不似。
       我所以这样说，是因为不确定度的评定，不区分常量测量与变量测量。把误差问题（测得值对真值的偏离）与被测量本身的随机变化混合在一起，必然是一笔混沌账。
       在特殊的测量场合，如物理常数测量，由于测量仪器误差与物理常量的变化（个别情况）都极小，二者综合在一起表达，是可以的。
       对通常的测量与计量，必须分清是对象问题还是手段问题；绝不能混淆。由于频率测量计量的水平高，层次多，每次测量或计量，必须分清手段和对象，绝不能混淆。中国频率界以国家计量院马凤鸣为首，坚决抵制不确定度论，正是实际工作的需要。这也是美国NIST时间频率部用不准确度而不用不确定度的根本原因。只要测量计量工作者的水平与仪器水平足够高，就会揭穿不确定度的混淆的本质。本人给不确定度下的定义，就是揭示其混淆的本质。-

史锦顺 发表于 2015-2-2 18:49
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         我要说明一下。别人给不确定度下定义，主要是为了完善它；我给不确定度下定义，却是为了揭露 ...

【把误差问题（测得值对真值的偏离）与被测量本身的随机变化混合在一起，必然是一笔混沌账。
  在特殊的测量场合，如物理常数测量，由于测量仪器误差与物理常量的变化（个别情况）都极小，二者综合在一起表达，是可以的。
  对通常的测量与计量，必须分清是对象问题还是手段问题；绝不能混淆。】 <--------   十分赞同！

囊括在一起的，可称为“量值不确定度”。作为计测工作者，只有对测试计量所用的各级“标准量”才有必要评估这“‘混合的’不确定度”；而对于一般量的测量，理应、也只能把与“测量误差”相关的那个“不确定度”弄明白。

史锦顺 发表于 2015-2-2 18:49
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         我要说明一下。别人给不确定度下定义，主要是为了完善它；我给不确定度下定义，却是为了揭露 ...

　　叶德培先生说：“把被检仪器的性能算在检定装置上，是错误的”。这句话当然是正确的，说得也是明明白白的。被检仪器的性能是被检仪器所固有的，检定装置的性能是检定装置所固有的，两个“性能”各自归属各自的“主”，不能张冠李戴。但这与不确定度之间又有什么关系呢？这和不确定度没什么关系，这和惧不惧怕多少个国际组织也没有关系，不能拿这个依据来否定不确定度。
　　如果硬要说叶德培先生的上面那句话与不确定度有关系，被检仪器性能检定结果的不确定度其中一个分量来自于检定装置的性能（一般来说来自于检定装置的示值允差）的影响。将62楼王夔先生这句话的定语拿掉，剩下来的是“测得值对期望值的偏离程度”，而测得值对期望值的偏离程度的确就是已知系统误差，不必增加“貌似”这样的模棱两可的词，而应该说“就是”这样的肯定用词。
　　不确定度严格区分了误差（测得值对真值的偏离）与被测量本身的随机变化，同时严格区分了误差、误差范围与不确定度，只是有的人错误地解读为“不确定度就是误差范围”，不能拿一些业内人士的错误解读硬栽赃给不确定度的真实含义来批驳。我不反对对不确定度的批判，但我觉得史老师要评判不确定度应该根据不确定度的原始定义，即GUM、VIM或JJF1001给出的定义来批判，不能自己下个并不是不确定度给定定义的定义来批判。偏离了原定义的定义本来就不是真正的不确定度，例如定义为“不确定度就是误差范围”，当然怎么批判都有理，但批判的对象却不是不确定度的规定定义，批判的结论与不确定度无关。

合成标准不确定度评定中相关系数的实例分析
JJF1059.1-2012《测量不确定度评定与表示》与JJF 1059-1999版相比，主要修订内容之一就是“合成标准不确定度评定中增加了各输入量间相关时协方差和相关系数的估计方法，以便规范处理相关的问题”。
当输入量Xi明显相关时，其合成标准不确定度uc(y)必须考虑协方差项，且需预先求得相关系数后，才能计算合成标准不确定度。本文针对合成标准不确定度评定中相关系数的计算进行实例分析，对相关系数的计算有一定的适用性。
一、不确定度传播律和相关系数性质
当被测量Y由N个其它量X1，X2，…，XN通过测量函数f确定时，被测量的估计值y为：   
被测量的估计值y的合成标准不确定度uc(y)按下式计算：   
          （1）
上式称为不确定度传播律，式中： r(xi, xj) u(xi) u(xj)= u(xi, xj) 是输入量xi与xj的协方差，r(xi， xj)为输入量xi与xj之间的相关系数。
相关系数是两个变量之间相互依赖性的度量，它等于两个变量间的协方差除以各自方差之积的正平方根，用符号(x, y)表示
        （2）
定义的相关系数是在无限多次测量条件下的理想概念。有限次测量时相关系数的估计值用r(x,y)表示，
                （3）
相关系数性质：
1）相关系数r(x ,y)= r(y ,x)∈[-1,1]；
2）当r ＞0时，表示两变量正相关，当r＜0时，表示两变量为负相关；当|r|=1时，表示两变量为完全线性相关，当r=1时，称为完全正相关（正强相关），而当r =-1时，称为完全负相关（负强相关）；当r =0时，表示两变量间无线性相关关系。
二、相关系数的计算
相关系数一般可以通过实验测量的方法或理论经验的分析得到。即一是用同时观测两个量的方法确定相关系数估计值；二是当两个量或以上均因与同一个量有关而相关时，依据相关系数定义公式，计算相关系数的估计值。
1．根据对x和y两个量同时测量的n组测量数据，相关系数的估计值按公式(4)计算：
                             （4）
   式中，s(x)，s(y)---为X和Y的实验标准偏差。
公式（4）还可以表示为：
       （5）
示例1：用同一钢卷尺测量某矩形的面积,对矩形的长（ ）和宽（d ） 各测量10次,其测量列如表1 所示。
表1  矩形长和宽的测量数据

        40.1        40.2        40.0        40.1        40.1        40.0        40.1        40.1        40.2        40.1         =40.10

        20.0        20.2        20.0        20.1        20.1        20.0        20.0        20.1        20.1        20.1         =20.07


矩形面积的数学模型： ，因为对长和宽采用了同一测量仪器，则它们的估计值会出现相关，根据表1有  和d 算术平均值的标准不确定度为：


=0.03
  
  
所以相关系数   
面积S= • =804.81mm2
则考虑相关系数 r 得：
当不考虑相关系数r时，
从以上两式的结果可以看出考虑相关系数与不考虑相关系数存在明显的区别，不考虑相关系数时，明显使评定的不确定度偏小。
2.当两个量均因与同一个量有关而相关时，计算相关系数的估计值。假如在得到两个输入量的估计值xi和xj时，是使用了同一个测量标准、测量仪器或参考数据或采用了相同的具有相当大不确定度的测量方法，则xi和xj两个量均因与同一个量有关而相关。
示例2：2014年度一级注册计量师考试《测量数据处理及计量专业实务》科目中的单项选择题第26题为“用1k的标准电阻Rs校准标称值均为1k的两个电阻器，校准值 , .已知标准电阻Rs的标准不确定度为 ，若   ，假设 、 、R1 互不相关，则R1与R2的相关系数为（      ）。
A.1.0     B.0.75      C.0.5      D.0.25     ”
[解] 1)每个电阻Ri校准时与标准电阻Rs比较得到比值i，校准值为：
               Ri =iRs
2) 根据不确定度传播定律，每个Ri的标准不确定度：
          u(Ri) =  
式中的u(i)对每一个校准值近似相等，且i≈1，由比较仪的不确定度为u(i)=  ， 则:
            u(Ri) =  
3) 任意两个电阻校准值的相关系数：
           ；
Ri、Rj之间协方差的估计值：
u(Ri，Rj)=
由于i ≈j= ≈1，协方差u(Ri，Rj) = u2(RS)
Ri、Rj之间相关系数：
=
       =
   由题意知， ;  代入上式，得
             =r(Ri，Rj)=0.5
   本题正确选项为：         C.0.5
   分析可知， ；  ；   =0.5
   如果   ；   ≈0.990
   如果   ；   ≈1.000
   因此当     和  
一般来说，在与校准值比较时，如本示例，已校项的估计值间是相关的，其相关的程度取决于校准过程（比对过程）引入的不确定度与参考标准的不确定度之比。仅当与参考标准的不确定度相比，校准过程（比对过程）的不确定度可以忽略不计时，相关系数等于+1，并且每个校准项的不确定度与其参考标准的不确定度相同。
   示例3：在示例2的条件中，若将R1和R2串联成Rref =R1 +R2 =2k的电阻，试确定串联后的Rref =2k电阻的合成标准不确定度uc(Rref)为多少？
[解法一]1)每个电阻Ri校准时与标准电阻Rs比较得到比值i，校准值为：
               Ri =iRs
2) 根据不确定度传播定律，每个Ri的标准不确定度：
          u(Ri) =  
式中的u(i)对每一个校准值近似相等，且i≈1，由比较仪的不确定度为u(i)=  ， 则:
            u(Ri) =  
                = 
= ×0.1
  即：u(R1)=u(R2)=  ×0.1
3)根据示例2的计算结果，R1 、R2两个电阻校准值的相关系数：r(R1，R2)=0.5
4)串联电阻Rref的合成标准不确定度：
       根据Rref的测量模型： Rref= R1 +R2
       Rref的合成标准不确定度为：   
       uc(Rref)=
             = 
             = ≈0.25
     [解法二]由于输出量  Rref= R1 +R2
输入量Ri的不确定度由两个分量构成，其一来自标准电阻u(Rs)=0.1,作为uc(Rref)的分量，其灵敏系数ci均为+1；其二来自校准（比对）过程，已知为Rsu( )=1×103×1×10-4=0.1,灵敏系数也ci均为+1。
可以认为Rref一共有4个标准不确定度分量，其中2个为标准器Rs引入的分量均为0.1,它们之间为强相关，可设定r=+1，这2个0.1取代数和合成为：0.1+0.1=0.2；另2个为校准过程（比对过程）引入的分量Rsu( )=1×103×1×10-4=0.1，主要是随机效应引起，可以设定彼此独立，r=0，而按方和根合成为： ×0.1；来源于Rs与来源于校准过程彼此不相关，因而
uc(Rref)=  = ≈0.25
解法二的特点是把相关和不相关的不确定度分量分别合成后再合成。这样的分组合成方法，在JJF1059.1-2012的引言中就已明确：“测量不确定度能从对测量结果有影响的不确定度分量导出，且与这些分量怎样分组无关，也与这些分量如何进一步分解为下一级分量无关”。
从上述各例分析可以看出，处理合成标准不确定度评定中的相关问题时，不应忽视协方差项的影响，对协方差项中的相关系数的性质及计算等问题的正确处理是十分重要的。
                                       

《中国计量》2015第04期
合成标准不确定度评定中相关系数的实例分析