测量计量三项公式的适用对象

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                               测量计量三项公式的适用对象
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                                                                                            史锦顺
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       标准正态分布公式、标准偏差公式、皮尔逊相关系数公式是测量计量领域的三项重要公式。这三项公式的适用对象是随机变量与随机误差。对系统误差，这三个公式都是不适用的。
       测量仪器的误差，通常以系统误差为主。这是基本的事实。在系统误差上套用仅仅适用于随机误差的三项公式，是歧途。当今，风行于世的不确定度体系，混淆三项公式的适用对象，这里澄清之。   
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1 正态分布的适用对象
       高斯给出的误差概率密度函数为：
                    p(M) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (M-μ)² / (2σ²)]                           （1）
       这就是著名的正态分布，或称为正态分布。
       公式（3）以测得值M为自变量，测得值M与真值Z、系统误差β相关联，于是易于产生一种认识，就是（3）式不是随机误差的规律，而是误差量的特性的表达。这种观点有一定的道理，就是正态分布曲线的偏倚，正是系统误差的作用。其实，就所谓“分布”来说，仅仅是随机误差的特性，并没有系统误差的作用。
       公式（3）的变量是什么？表面是测得值M，本质却是随机误差ξ。
       随机误差元记为ξ，真值记为Z，系统误差记为β               
                  M = Z + β +ξ
                  ξ = M – Z – β = M- μ                                                               （2）
      （2）代入（1），
                  p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [–ξ² / (2σ²)]                                    （3）            
       由（3）式可知，正态分布规律的实质，是随机误差的分布规律。
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2 贝塞尔公式的适用对象
       方差定义为：
                  DX=lim(N→∞)(1/N)∑(X_i-EX)²                                              （4）
       标准偏差为：
                  σ =√[(1/N)∑(X_i-EX)²]                                                          （5）
       贝塞尔公式为：
                  σ = √[1/(N-1)∑(X_i-X_平)²]                                                     （6）
       方差定义式中有两个极限符号，去掉外极限符号，是标准偏差；再去掉内极限符号（E相当于平均值的极限），即用平均值X_平代替期望值EX，得到便于应用的贝塞尔公式（6）。
       贝塞尔公式是测量计量学的最基本的公式。应用广、影响大、威望高。但请注意，贝塞尔公式的应用，在时域统计中，仅限于随机误差。对系统误差，贝塞尔公式无效，不能用。为什么？
       仔细分析公式（6），可知，贝塞尔公式的核心元素是差值（X_i-X_平），
                 X_i = Z+β+ξ_i
                 X_平= (1/N)∑(Z+β+ξ_i)
                    = (1/N) (NZ+Nβ+∑ξ_i)
                    = Z+β+(1/N)∑ξ_i
       有
                  X_i - X_平= (Z+β+ξi) – [Z+β+(1/N)∑ξ_i]
                           = ξ_i – ξ_平                                                                      （7）
       将（7）式代入（6）式，有：
                  σ = √[1/(N-1)∑(ξ_i – ξ_平)²]                                                    （8）
       公式（8）与公式（6）等效。公式（8）说明，贝塞尔公式是随机误差的公式，它不包含系统误差β的因素，对系统误差无效。贝塞尔公式不能应用于系统误差。
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       实验中，测得值X_i的位数可能很多。计算σ时，可以略去数据中的相同的大数，而只计算数据列的尾数。就是说，各数据减去同一个大常数，只用差值计算σ。
                 X_i = D+x_i
                 X_平= (1/N)∑(D+x_i)
                     = (1/N) (ND+∑x_i)
                     = D+(1/N)∑x_i
       有
                  X_i - X_平= (D+x_i) – [D+(1/N)∑x_i]
                           = x_i – x_平                                                                   （9）
       将（9）式代入（3）式，有：
                  σ = √[1/(N-1)∑(x_i – x_平)²]                                                 （10）
       公式（10）与公式（6）等效。实用中，（10）式很方便。
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       计量测量的统计是时域统计。在时域统计中，系统误差为恒值。以上推导说明：贝塞尔公式与系统误差无关。
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3 相关系数公式的适用对象
       相关系数公式为
                   r = [1/(N-1)][∑(X_i-X_平)(Y_i-Y_平)] / (σ_Xσ_Y)                              （11）
       作如下变换
                 X_i = Z_X+β_X+ξ_Xi
                 X_平= (1/N)∑(Z_X+β_X+ξ_Xi)
                     = (1/N) (NZ_X+Nβ_X+∑ξ_Xi)
                     = Z_X+β_X+(1/N)∑ξ_Xi
       有
                  X_i - X_平= (Z_X+β_X+ξ_Xi) – [Z_X+β_X+(1/N)∑ξ_Xi]
                          = ξ_Xi – ξ_X平                                                                   （12）
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       又
                 Y_i = Z_Y+β_Y+ξ_Yi
                 Y_平= (1/N)∑(Z_Y+β_Y+ξ_Yi)
                     = (1/N) (NZ_Y+Nβ_Y+∑ξ_Yi)
                     = Z_Y+β_Y+(1/N)∑ξ_Yi
       有
                  Y_i - Y_平= (Z_Y+β_Y+ξ_Yi) – [Z_Y+β_Y+(1/N)∑ξ_Yi]
                          = ξ_Yi – ξ_Y平                                                                 （13）
       将（12）式（13）式代入（11）式，得：
                   r = [1/(N-1)][∑(ξ_Xi – ξ_X平)(ξ_Yi – ξ_Y平)] / (σ_Xσ_Y)                （14）
       公式（14）与公式（12）等效。
       由公式（14）可知，皮尔逊相关系数系数公式，仅仅适用于随机误差ξ，而与系统误差β无关。皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零，因而皮尔逊公式不能用于系统误差。
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好好学习，天天向上

对"随机"量的理解过于狭隘了---以为"随机"量都应该是"样本"取值相互"独立"的吗？……对于有名校高等教育背景的专家而言，谈"测量误差"恐怕还是要了解一点"随机过程"的。至于"统计"中的"贝塞尔公式"和"皮儿荪相关系数公式"，其成立条件是假定"样本之间相互独立"，你若将取"样"范围限定在"同一个重复测量条件"内，当然只有所谓"随机(测量)误差"适用！但明白人不会像您以为的如此取"样"来对所谓"系统(测量)误差"使用这些公式！…在此问题上，"一人独醒"可能是小概率事件。