本帖最后由 史锦顺 于 2017-12-31 10:00 编辑
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偏差区间的包含概率的计算
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史锦顺
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1 两类测量的两种方差
1.1 两类测量
对常量的测量称为基础测量。经典误差理论的应用范围是基础测量。基础测量的条件是被测量的变化范围远小于测量仪器的误差范围。被测量有慢变化，但在测量时段内，变化可略，也是基础测量。
在基础测量中，随机变化的误差，称随机误差；在测量的时段内为恒值的误差，称为系统误差。测量者进行重复测量，即可认知随机误差；但因测量场合没有计量标准，无法确定系统误差。在计量场合，有计量标准，不仅可以测知随机误差范围，也可以测知系统误差。随机误差范围与系统误差范围，在有计量标准的条件下，都可以通过测量来确定。
测量仪器的长期稳定度、环境条件等的影响量，体现在仪器机理设计中，并经过实践考验证实，仪器方能定型生产。生产厂在给出仪器性能指标时，是包含这部分内容的。就是说，仪器的性能指标，是指工作性能指标，包括使用条件（如温度范围等）、指标保证时段（通常为一年。也可给出三个月、半年、一年、三年的时段限制）。
计量只管当时的随机误差与系统误差，不涉及长稳与环境温度。如果在长稳与环境温度方面出问题（非人工破坏或保管、使用不当），责任由生产厂负责。
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1.2 两种方差
在基础测量中，仪器示值的随机变化，是仪器自身的性能（外界影响也是通过仪器而体现出来的），与被测量无关，是仪器的随机误差。
测量值的方差的平方根是仪器的随机误差。多次测量，取平均值，可以减小随机误差。测量的随机误差范围是3σ平。
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在统计测量中，仪器的误差可略，仪器示值的随机变化，是被测量的随机变化引起的。
测量值的方差的平方根是被测统计变量的随机偏差。多次测量，取平均值。平均值是随机变量的最佳代表值。各个测量值都是被测统计变量的真值（仪器误差可略），测量结果是平均值加减偏差范围。以平均值为中心的、以偏差范围（3σ）为半宽的区间，对被测统计变量的包含概率是99.7%.
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2 高斯正态分布的理论
2.1 有偏正态分布
高斯有偏正态分布的几率密度函数为
p(Y) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– (Y-μ)2 / (2σ2)] （1）
2.2 无偏正态分布
令ξ = Y-μ，则
Eξ =E(Y-μ)=EY – μ=0
ξ是期望值为0的纯随机变量。
高斯无偏正态分布的几率密度函数为
p(ξ) = {1/ [σ√(2π)]} exp [– ξ2 / (2σ2)] （2）
2.3 标准正态分布
再令σ=1，并令x=ξ，则称标准正态分布。标准正态分布的概率密度函数为
p(x) = [1/√(2π)] exp [– x2 / 2] （3）
正态分布的“概率函数”为
φ(x)= [1/√(2π)]∫(-∞→x) [exp (– t2 / 2)] dt （4）
《数学手册》（1980版）给出的是公式（3）与公式（4）的数值表。本文据此计算。
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3 正常情况下，统计变量偏差区间包含概率的计算
定义1 偏差
统计变量的量值与期望值之差。
定义2 偏差范围
偏差范围是偏差绝对值的一定概率意义上的最大可能值。
定义3 统计变量的量值区间
[M平-3σ，M平，M平+ 3σ]
用平均值代表被测的统计变量，是正确的，就是正常情况。所谓包含概率，就是以平均值为中心的、以偏差范围为半宽的区间，包含各个统计变量的概率。
3.1 包含概率的规律
1）规律1 由概率函数定义，从-∞到k的概率是φ(k)，
p(-∞→+k) =φ(k) （5）
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2）规律2 从-∞到k的概率是φ(k)，从k到+∞的包含概率是1-φ(k)。由于分布密度函数的对称性，从-∞到-k的包含概率与k到+∞的概率相等，都是1-φ(k)。有
从-∞到-k的包含概率为
p(-∞→-k) = 1-φ(k)
φ(-k) = 1-φ(k) （6）
3）规律3 以平均值为中心的对称区间的包含概率
p(-k→+k) = p(-∞→+k) – p(-∞→-k )
=φ(k) -φ(-k)
=φ(k) – [1-φ(k)]
=2φ(k)-1 （7）
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3.2 包含概率的计算
3.2.1 区间 [M平-σ，M平，M平+σ] ，简记为[-σ，+σ]
查表φ(1)=0.841345
k=1，代入公式（7），包含概率为
pσ = 2φ(1)-1=0.841345×2-1=1.68269-1
= 0.683 （8）
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3.2.2 区间 [M平-2σ，M平，M平+2σ] ，简记为[-2σ，+2σ]
查表φ(2)=0.977250，
k=2，代入公式（7），包含概率为
p2σ= 2φ(2)-1=0.977250×2-1=1.9545-1
= 0.9545 （9）
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3.2.3 区间 [M平-3σ，M平，M平+3σ] ，简记为[-3σ，+3σ]
查表φ(3)=0.998650
k=3，代入公式（7），包含概率为
p3σ= 2φ(3)-1=0.998650×2-1=1.9973-1
= 0.9973 （10）
以上（8）（9）（10）是以平均值为中心的正常情况，是测量计量工作者熟知的几个重要数据。误差理论主张取3σ为区间半宽，包含概率是99.73%；不确定度体系通常（默认）取2σ为区间半宽，包含概率是95.45%.
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4 非正常情况，即不取平均值而取其他单值时，区间包含概率的计算
公式推导 设单值为Y平+ nσ , 区间半宽为kσ, 则区间为[(n-k) σ，(n+k)σ],有
K1=n-k
K2=n+k
当K为负值时，由于概率密度函数的对称性，从-∞到K(负值)的包含概率与-K到+∞的概率相等，都为1-φ(-K)。当K为正值时，从-∞到K(正值)的包含概率就是φ(K)。
从-∞到K2的包含概率减去从-∞到K1的包含概率，就是所求的区间[(n-k) σ，(n+k)σ]的包含概率。
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4.1 计算公式
4.1.1 (n-k)＜0，(n+k)＞0
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)] （11）
4.1.2 (n-k) ≥0
P=φ(n+k) -φ(n-k) （12）
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3.2 计算举例
例1 取Y=Y平+2σ，求半宽为3σ的区间的包含概率
k=3，n=2 按公式（11）计算
P =φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(5)-[1-φ(1)]
≈φ(1)=0.841345
≈0.84
例2 取Y=Y平+2σ，求半宽为2σ的区间的包含概率
k=2，n=2 按公式（12）计算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(4)- φ(0)
≈1-0.50
≈0.5
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例3 取Y=Y平+3σ，求半宽为3σ的区间的包含概率
k=3，n=3 按公式（6）或（7）计算
P=φ(n+k) – [1-φ(k-n)]
=φ(6) – [1-φ(0)]
=φ(0)
= 0.5
例4 取Y=Y平+3σ，求半宽为2σ的区间的包含概率
k=2，n=3 按公式（7）计算
P=φ(n+k) -φ(n-k)
=φ(5) –φ(1)
=1-0.841345
= 0.16
说明：以上φ(6)、φ(5) 、φ(4)都近似为1.
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总结
统计变量的分散性，是统计变量本身的特性，必须如实地描述、表达，不能人为地缩小。单值的标准偏差σ，随着测量次数增大而趋于一个常数，它是随机变量分散性的表征量。平均值的标准偏差σ平，随着测量次数增大而缩小，并趋于零。σ平不是随机变量的表征量。因此，表征随机变量的分散性，必须用σ。
用σ表达分散性，而取值必须取变量的平均值，才有通常人们熟知的“以2σ为半宽的区间的包含概率是95.45%”、“以3σ为半宽的区间的包含概率是99.73%”。如果不取平均值而取其他单值，则包含区间的概率就会大大降低，如例1到例4。就是说：
1 统计测量，σ不能除以根号N。不论测量多少次。
2 量值必须取平均值。
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附录 统计测量，如果取σ平，即σ除以根号N，会是什么结果
（1）由于σ平=σ/√N，设N=25，则σ平=σ/5。此时以3σ平为半宽的区间为
[M平-3σ平，M平，M平+3σ平] （13）
因σ平=σ/5，代入（13）
[M平-0.6σ，M平，M平+0.6σ] （14）
根据公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.6 查表 φ(0.6)=0.725747
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.6)-1
= 2×0.725747 -1
=0.4515 （15）
（2）条件同上，此时以2σ平为半宽的区间为
[M平-2σ平，M平，M平+2σ平] （16）
因σ平=σ/5，代入（16）
[M平-0.4σ，M平，M平+0.4σ] （17）
根据公式（7）
p(-k→+k) = 2φ(k)-1
k=0.4 查表 φ(0.4)= 0.655422
p(-0.6→+0.6) = 2φ(0.4)-1
= 2×0.655422 -1
=0.3108 （18）
由以上计算可知，如果取σ平，以3σ平为半宽的区间，对随机变量的包含概率是45.15%；以2σ平为半宽的区间，对随机变量的包含概率是31.08%. 包含概率太低了！
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思考题
在基础测量（常量测量）中，要取σ平，怎样说明“包含区间”与“包含概率”的问题呢？
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