值得玩味的珠峰高程

值得玩味的珠峰高程

武汉大学 叶晓明

    我曾多次用珠峰高程的结果为案例来质疑现有测量理论的误差分类学说。我之所以用这一案例，一者因为这一案例的知名度高，二者期望达到以子之矛攻子之盾的功效，以减轻我的论述工作量。现在通过网络等多渠道的反馈，越来越觉得这个案例很值得玩味了。

    这个案例是这样的。2005年国家测绘局给出珠峰高程测量结果为8844.43米，精度（标准偏差）为±0.21米。我的意图是，一方面用精度与随机误差的对应逻辑证明珠峰高程的误差是随机误差，另一方面用误差的定义（结果与真值之差）证明珠峰高程的误差是恒定的偏差，应该属于系统误差，从而展示现有测量理论的基本概念逻辑无法自圆其说。现在总结起来，对这个标准偏差±0.21米和珠峰高程误差的关系的理解大体有三种：

1、  珠峰高程结果的误差是个恒定的偏差，±0.21米表达这个偏差的可能存在区间的评价，是偏差值的不可确定的程度。这个偏差不存在系统误差、随机误差的分类问题。

2、  珠峰高程结果的误差是个随机误差，±0.21米表达这个随机误差的随机变化范围。

3、  珠峰高程结果的误差是个恒定的偏差，也是随机误差，±0.21米表达未来相同测量条件下重复测量时测量结果的发散度。

    那么，在这三种答案中，您支持哪一种解释呢？

    如果您支持第一种答案，那么很遗憾地告诉您：您不太可能是一个受过专业训练的测量学者，甚至很可能只是一个普通的老百姓，只是知道点测量概念的皮毛而已。因为支持这一解释的基本都来自非测量专业人士，当年看到珠峰测量的新闻报道时大家都是这么理解的。

    如果您支持第2或第3答案，那么您很可能是一个受过专业训练的测量专业人士，对课本的概念逻辑具有较好的记忆，甚至是知名学者。因为测量教科书清楚地写着精度是重复测量结果的发散度，是对随机误差的评价，支持这二答案的基本都是测量专业人士。

    正确的答案只能有一个，那么是谁呢？

    珠峰案例虽然知名度高，但测量过程太复杂，而其答案之一还涉及重复测量的过程，大家自然容易陷入思维死角（实际上这个案例根本就不需要追究其测量过程）。既然如此，我就换个简单的案例。

    作者用数显卡尺测量一钢珠的直径为5.00毫米，根据卡尺的标称计量指标推算出标准偏差为±0.023毫米。现在对标准偏差±0.023毫米有三种解释：

1、 钢珠的直径结果的误差是个恒定的偏差，±0.023毫米表达这个偏差的可能存在区间的评价，是偏差值的不可确定的程度。这个偏差不存在系统误差、随机误差的分类问题。

2、 钢珠的直径结果的误差是个随机误差，±0.023毫米表达这个随机误差的随机变化范围。

3、 钢珠的直径结果的误差是个恒定的偏差，也是随机误差，±0.023毫米表达在未来相同测量条件下重复测量时测量结果的发散度。

    学者优先吧，先看第3种解释——未来相同测量条件下重复测量时测量结果的发散度。这很简单，拿卡尺在相同测量条件重复测量试试呗，您也可以亲自实验做一做。您一定会发现，实验结论非常令人失望，发散度比±0.023毫米小得多，甚至基本就是±0.000毫米。这种解释与事实不符。

    再看第2种解释——随机误差的随机变化范围。这也很简单，既然误差是结果与真值之差，结果是不变的，误差是随机变化的，那么钢珠直径的真值（实际值）就是随机变化的，±0.023毫米的随机变化用手就能摸到。用得着摸吗？傻呀？支持钢珠直径随机变化的能量从哪里来？真能通过测量获得这种无中生有的能量来源那还不发财呀？

    啊啊，只剩下第1种解释了啊。第1种解释对不对呢？老叶写了这么多糟鄙现有理论的杂文，总该拿点真金白银出来吧。

     现有误差序列{△xi}的数学期望为0，某偏差△x是序列{△xi}中的一个成员。这样，序列{△xi}的方差σ²(△x)就是就是序列{△xi}的发散性，也是偏差△x所存在的概率区间。即

    现在，有一个离散的重复观测值序列{xi}，取其中的某一个xi作为最终测量结果x。这样偏差△x=x-Ex就是误差序列{△xi}={xi-Exi}中的一个成员，而序列{△xi}={xi-Exi}的数学期望也正好为0，因为E△xi=E(xi-Exi)=Exi-Exi=0。这样将△x=x-Ex代入上式就有：

    就是说，测量结果x与其数学期望Ex之间的偏差△x=x-Ex存在于一个数学期望为0、标准偏差为σ(△x)的概率区间内，标准偏差σ(△x)是一个偏差△x=x-Ex的概率区间的评价值！标准偏差原来是一个误差的存在范围的概念，表达测量者主观对一个误差的不可确定的程度---不确定度！就是说，方差是误差的方差，而不是测量结果的方差，跟测量结果x没有直接关系。这就和现有教科书用公式σ²(x)=E(x-Ex)²把方差解释成测量结果x的发散度有所不同了。

    当然，如果以n个不同的xi的平均值作为最终测量结果x，这时的σ(△x)还将下降根号n倍。

    同样的道理，数学期望与真值之差Ex-x_T也有它的标准偏差（概率区间值），因为它也是测量产生的，追寻到它的上游测量也可以获得其标准偏差。这样，测量结果的总误差的标准偏差自然按照概率法则合成即可获得。

    偏差x-Ex和Ex-x_T都是恒定的偏差，都有标准偏差，没有性质差异，不存在误差分类的问题。数学推理证明，这种新的方差概念解释对贝塞尔公式、最小二乘法等没有任何影响，但测量误差理论的解释中却不需要精度、准确度概念了，不确定度也不再是发散性而是误差的概率区间内涵。

    所以，一个非常遗憾的结论，平民老百姓对珠峰高程精度±0.21米的理解是最正确的。啊啊，事情是专业人士干的，但平民百姓的解释反而正确，这实在太伤感情了。。。

                                                                                               2018 3 24

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2018-3-26 08:51 上传

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推算出数显卡尺的标准偏差±0.023mm，方法肯定错了！

刘耀煌 发表于 2018-3-26 09:49
推算出数显卡尺的标准偏差±0.023mm，方法肯定错了！

那就请教一个。

yeses 发表于 2018-3-26 19:31
那就请教一个。

分度0.01mm的数显卡尺小量程最大允许误差MPEV是0.02mm，MPEV引入的标准不确定度分量0.0067mm。分辨力为0.01mm，引入的标准不确定度分量0.00289mm。示值变动性（相当于重复性）不超过0.01mm，重复性引入的标准不确定度分量应该不到0.002mm。假设以上各影响因素相互独立，按方和根法计算合成标准不确定度0.008mm

刘耀煌 发表于 2018-3-26 20:23
分度0.01mm的数显卡尺小量程最大允许误差MPEV是0.02mm，MPEV引入的标准不确定度分量0.0067mm。分辨力为0. ...

你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么断定必须是正态分布？难道MPE不包括分辨、重复、变动在内吗？

yeses 发表于 2018-3-26 23:43
你怎么就知道我用的是0.02mm?你怎么断定必须是正态分布？难道MPE不包括分辨、重复、变动在内吗？ ...

是我理解有误。卡尺检定时的测量结果不确定度应该考虑标准器的MPEV、卡尺的分辨力或重复性、卡尺与标准器（量块）的温差，环境温度偏离标准检定环境温度、卡尺和标准器（量块）的线膨胀系数不同引入的不确定度分量等。使用卡尺测量工件尺寸时的测量结果的不确定度不用再考虑卡尺分辨力和重复性，可以直接用其MPEV换算（测量环境在卡尺的正常使用环境时）。

常用数显卡尺分辨力是0.01mm的、游标卡尺分度值有0.02、0.05mm、0.1mm，分辨力0.01mm与分度值0.02mm的测量70mm以内，其MPEV都是0.02mm。应该假定服从平均分布，k=根号3，MPEV引入的不确定分量为0.012mm。分辨力/分度值0.05mm的测量70mm以内，其MPEV都是0.05mm,MPEV引入的不确定分量为0.03mm。分辨力/分度值0.10mm的测量70mm以内，其MPEV都是0.10mm,MPEV引入的不确定分量为0.06mm。

刘耀煌 发表于 2018-3-27 21:05
是我理解有误。卡尺检定时的测量结果不确定度应该考虑标准器的MPEV、卡尺的分辨力或重复性、卡尺与标准器 ...

ok!
我以标称值0.04mm、矩形分布估计的，可能仍然会有争议，但这不重要，此文的焦点本来就不在此。