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[概念] 一条曲线决定分散性与偏离性

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发表于 2019-8-26 08:53:23 | 显示全部楼层 |阅读模式

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本帖最后由 史锦顺 于 2019-8-26 09:06 编辑

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                    一条曲线决定分散性σ与偏离性σd
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                                                                     史锦顺
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       随机变化的量值,可能是被测量的随机变化(信号源频率变化、电压源的电压变化、温箱的温度变化等等),也可能是测量仪器的随机误差引起的示值变化(研制中确定仪器的精密度)。这些变化的量值,简称随机变量。随机变量的分散性,用单值的σ来表征。
       σ称为“单值的标准偏差”。用贝塞尔公式算出的σ,称实验标准偏差,就是单值的标准偏差。

       测量一组数(精密测量,测量次数N不应小于20,时间频率界,N取100,已成常规),许多行业N取10,少些,也可以,不宜提倡。

       对测量仪器来说,考究的是仪器的随机误差,这时的分散性就是重复性,就是精密度。
       频率源频率的重复性称频率稳定度。

       请注意,讲“重复性”,表征量一定是单值的σ,不能除以根号N。除以根号N的结果是严重的虚夸了重复性。

       实践的操作,都是测量N个量值,这是一组数。用这组数可以画出量值分布曲线。如果被测量是常量(计量中是用被检仪器测量计量标准,由于计量标准系统误差与随机误差可略,可视为常量),这时,“钟形线”的σ就表明测量值的分散性,就是重复性。钟形线的中点是平均值,平均值与随机变量的期望值的差距为
                     σd =  σ/√N                                                                 (1)
以上称基本操作。

       如果测量M组(每组N个值),这称特种操作。这是研究者的事,老史是实际工作者,实际工作都是基本操作。有时搞点研究,也有几次特种操作,但工作中(研制、计量、鉴别性测量)是不用的。多组测量太麻烦,也没必要。
       在多组测量中,用M个平均值画出的钟形线,是平均值的分布曲线,其分散性表征量,即平均值的标准偏差为:
                     σ =  σ/√M                                                                 (2)
       (1)式与(2)式的来源不同,所表达的意义不同。可惜,长期以来,人们把他们弄混了。在极特殊的情况下,二者相同,这种情况是组数M与每组的个数N相等。把这种极端的个例,当作一般情况,就出错了。

       不确定度体系的主定义是“分散性”。分散性的表征量,是一组测量中标准偏差。贝塞尔公式为:
                    σ = √[1/ (N-1)∑(Xi-X)2]                                                (3)

       不确定度体系的A类不确定度评定,是将σ除以根号N得uA. 其中的N是一组测量值的测量次数?如是,uA就不是“分散性”,而是测量值的平均值与测量值期望值的差距σd

       在误差理论中,仪器的误差范围是测量值对真值(实践中用计量标准的标称值代替)的差的最大可能值R。就是系统误差加随机误差的最大可能值。测量值的期望值与真值之差是系统误差,平均值与期望值之差是3σd,而单个测得值与平均值之差最大可能值(99%概率)是3σ。
       求准确度,以及求系统误差时,σd是必要的量。当一个测量系统,已知系统误差的具体值时,则随机误差的作用,是σd。用3σd与系统误差“均方根”合成,即得测量的误差范围。

       在统计测量中,被测量是统计变量。要求测量仪器的随机误差可略(σ ≤ σ/3)。统计测量的表征量必须是单值的标准偏差σ。不可除以根号N。除以根号N的结果是把“分散性”给平均掉了。

        测量有两类:基础测量与统计测量。基础测量的被测量是常量,考究的是仪器的准确度。精密度是准确度的一部分。求准确度,求的是测量值的平均值即测得值与真值的差距,就是误差范围。误差范围包括系统误差与随机误差两部分。测得值取测量值的平均值,测得值与测量值数学期望之差是随机误差,要求的量是σd,因此,在基础测量中,σ要除以根号N。
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       在统计测量中,被测量是统计变量,要求的是统计变量量值(各个单值)的分散性。这个分散性的表征量是σ,不是σ,也不是σd。因此,σ不能除以√N,(N是组内单值个数)也不能除以√M(M是数据组数)。
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       计量界流行一种说法:量值取单值用单值的σ;量值取平均值用平均值的σ。对基础测量,大体可以,尽管不够严格。但对统计测量则是错误的。统计测量要求的分散性,必须是单值的分散性。此点极为重要。重要的实际产品的性能,如各类频标、各类信号源的频率稳定度、稳压电源的电压波动、恒温箱的温度波动,都必须是单值的σ。
       统计变量的表征量,量值取平均值,而分散性是3σ。以平均值为中心、以3σ为半宽的区间,包含量值的概率是99.73%;如果除以√N,该区间包含量值的概率就很小了,是不能用的。
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补充内容 (2019-8-26 11:34):
“均方根”应为 “方和根”

补充内容 (2019-8-26 16:11):
“单个测得值与平均值之差最大可能值”应为“单个测量值与平均值之差最大可能值”。
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