计量的误差分析

                                     计量的误差分析

               ——《史法测量计量学》对计量误差与合格性判别公式的严格推导

                                                                                         史锦顺

引言
    计量的误差分析与合格性判别公式，是计量业务的基本知识，不能出错。
    不确定度体系给出的合格性判别公式，把对象的性能错位地算在计量的手段上，是错误的。叶德培先生在（优酷网）讲课中指出：计量的不确定度U₉₅中包含有被检仪器的性能，于是，检定百分之一的仪器时，万分之一的标准降至百分之一的水平，这是错误的。我曾对此观点评价说：“铿锵质疑，振聋发聩；金玉之言，掷地有声”。奇怪的是，在她为第二起草人的《JJF1094-2002》中却用U95于合格性判别公式中。是明知故犯，还是无奈之举？
    在测量计量的理论上，中国人应该挺直腰板，坚持真理，对错误规范《GUM》，要坚决斗争。
    坚持真理的基础是认识真理。弄明白“计量误差”的基本道理，即使不确定度体系再猖狂，也就不会上当受骗了。

1 测量方程与测量值函数
      测量计量领域有三大场合：研制、计量与测量。研制场合设计仪器性能，分析仪器误差，给出仪器误差范围的指标值；计量场合依靠计量标准，测定仪器的误差范围，判断仪器的合格性，计量中必须知道计量误差，以选用够格的计量标准，如此，计量才有权威性；测量场合，直接测量，可引用测量仪器的误差范围指标值，不需再分析；间接测量，要分析被测函数量的误差范围。三大场合，各有特点，但共同点是都要讲究测量方程、测量值函数；要知道误差量的特点，并体现误差范围的贯通性。在此基础上，做各个场合的误差分析与误差合成。

    测量依靠特定的物理机制。物理机制用物理公式表征。物理公式中的量，都是真值。测量的物理公式为
          Y = f(X₁，X₂，……X_N)                                                             (1)
    函数Y是诸自变量Xi的函数。Xi是各种决定以及影响测量值Y的量。
    测量的计值公式为：
        Y_m = f(X_1m/o，X_2m/o，……,X_Nm/o)                                           （2）
    Y_m是对被测量的测量值。式中斜杠“/”表示“或”。m表示测量值，o表示标称值。m/o表示或者是测量值m，或者是标称值o。例如X_1m/o表示是X_1m或者是X_1o.
    联立（1）（2），二者相除，得比例关系的测量方程：
          Y_m / Y= f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N)            (3)
    联立（1）（2），二者相减，得差值关系的测量方程：
          Y_m- Y = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)           (4)
    (3)、(4)都是测量方程，形式有别而本质相同，依应用方便而选用。
-
    由（3），测量值函数为
          Y_m = [ f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N) ] Y           (5)
    由（4），测量值函数为
          Y_m = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) + Y           (6)
-
2 测量仪器分析
2.1 测量仪器的测量方程
    物理公式的值都是真值。这是测量计量学的根基。
    测量仪器的研制场合，测量值函数Ym表成仪器的测量值M, 而Y就是被测量的真值Z。
    测量仪器的物理公式为：  
          Z = f(X₁，X₂，……X_N)                                                                (7)
    测量仪器的计值公式为      
        M = f(X_1m/o，X_2m/o，……,X_Nm/o)                                                （8）
    自变量Xi包括：机内标准的量值、比较机构的参数、各种相关机构的参数；输入输出处理方式的作用、计算与计值方式的作用，以及仪器的正常工作条件下的环境因素影响等。人的因素（如正常人的眼睛识别力），测量方法的因素，都必须包含在其中。正常工作条件下的各种外界误差因素（通过仪器的机理而起作用），必须包括在仪器误差之内，这是仪器研制中误差分析必须遵守的规则。

    测量仪器的测量方程为
          M / Z= f(X_1m/o，X_2m/o，……，X_Nm/o) / f(X₁，X₂，……X_N)            (9)
          M- Z= f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)            (10)      

2.2 测量仪器的误差概念
    测量得到的最基本的元素是测量值。测量值与被测量的真值的差距称误差。误差是个泛指概念，误差包括误差元与误差范围两个概念。
   定义1 误差元
    误差元等于测量值减真值。
    定义2 误差范围
    误差元的绝对值的一定概率（通常取3σ，概率99%）意义上的最大可能值。
    误差元是误差理论的元素，是基础概念，没有不行，但只在误差分析时用。误差范围是域的概念，误差范围由误差元构成。误差范围包容着可能的误差元。误差范围是实用的功能单元，贯穿于研制、计量、测量以及各种实用场合。“误差范围”是误差元绝对值的范围的简称。误差范围是测得值区间的半宽，也是测量结果区间的半宽。
    测量仪器误差范围的指标值就是准确度，又称极限误差、最大允许误差、准确度等级。历史上，准确度这个术语用得最广，它从来都是定量的（我国计量法用的是定量的准确度）。准确度这个术语，概念明确，词义清楚，广泛通行，几乎人人皆知。准确度一词，科学、通俗、简明。不确定度体系污蔑说：准确度是定性的，不能用数字表达。这是瞪着眼睛说瞎话，是现代版的指鹿为马。这种话由美国NIST说出，经国际计量委员会通过，由八个国际学术组织向全世界推广，还明文列于国际规范中，以法规的形式强制推行。这是颠倒黑白的霸道作风。科学讲真理，反对霸道。测量计量界要高举准确度的旗帜！我国计量界的两大名家，马凤鸣和钱钟泰，他们都不理不确定度体系的昏话。马凤鸣在他主持起草的国家计量规范《JJF1180-2007》中，频标的指标就称“准确度”；钱钟泰率领潘必卿、童光球（二人都曾任国家计量院院长）宋明顺（现任中国计量大学校长）所写的长篇讲座课程中，名称的核心就是“准确度”。

2.3 测量仪器的测量值函数与误差范围
    测量仪器的研制者，必须给出全量程的测量值函数，建立测量值与被测量真值的对应关系。
    测量仪器（非单值量具），不可能只测量一个值，而是测量全量程内的任何一个被测量量值。这就必须给出全量程或可用区域上的测量值函数。
    研制的赋值过程，就是由真值Z而确定测量值M。
    由（10）式，误差元函数为
          M – Z = f(X_1m/o,X_2m/o,……,XN_m/o) - f(X₁,_X2,……X_N)                           （11）
    误差元的绝对值的最大可能值为
          │M – Z│_max= │f(X_1m/o,X_2m/o,……,X_Nm/o) - f(X₁,X₂,……X_N)│_max         （12）
    这个“误差元绝对值的最大可能值”就是误差范围，记（12）式右端为R(恒正), 有
          │M– Z│_max= R                                                                   （13）
    去掉最大值符号，有
          │M – Z│ ≤ R                                                                       （14）
    解绝对值关系式（14）
    当M＞Z时，有
          M ≤ Z+R                                                                             （15）
    当M＜Z时，有
          M ≥ Z-R                                                                              （16）
    综合（15）式、（16）式，有
          Z - R ≤ M ≤ Z+R                                                                   （17）
    （17）式简记为
          M = Z±R                                                                              （18）
    （18）式由（12）式推得，（18）与（12）式等效。因此，测量值公式（18）是测量值函数式的简化表达。

3 测量结果是真值函数的简化表达，测量结果包含真值
    测量者通过测量得到测得值。由所用测量仪器的误差范围指标值，得知此次测量的误差范围值。测得值加减误差范围是测量结果。测量者得到测量结果，测量结果包含真值，于是测量者就得到了关于被测量真值的完整信息。只要误差范围满足要求，就达到了测量的目的。
    测量结果包含真值，这是测量理论与实践的真谛，说明如下。
    第一，测量仪器生产厂，给出误差范围指标为R_仪（准确度），承诺是：
    误差元r_i = M_i―Z_i。 在i点，R_i是r_i的绝对值的最大可能值，记为R。厂家给出的误差范围指标R_仪，是保证：
          R ≤ R_仪                                                                                （19）
    第二，计量检定就是抽样证明（19）式成立。
    因此，不论在量程内哪点上的那次测量，都有：
           │r_i│≤ R_仪
也就是
           │M―Z│≤ R_仪                                                                       （20）   
    解绝对值关系式（20）。
    当M大于Z时
           M―Z ≤ R_仪
           Z ≥ M―R_仪                                                                            （21）
    当M小于Z时
            Z―M ≤ R_仪
            Z ≤ M + R_仪                                                                          （22）
    综合（21）、（22），有
            M―R_仪 ≤ Z ≤ M + R_仪                                                             （23）
    （23）式表明，被测量的真值Z在以测得值M为中心的、以误差范围R_仪为半宽的区间中。
    （23）式简化表达为
             Z = M±R_仪                                                                            （24）
    （24）式称为测量结果。
    测量结果的物理意义：被测量的真值的最佳表征值是测得值M。被测量的真值可能大些，但不会大于M+R_仪，被测量的真值可能小些，但不会小于M―R_仪。

4 计量的误差与合格性判别
4.1 差分法求计量误差
    仪器厂生产测量仪器，给出了仪器的误差范围指标值。用户依据自己工作任务的需要，选用误差范围够格的测量仪器。在仪器正常工作的条件下，用仪器测量被测量，得到测量结果为：
             Z = M±R_仪                                                                        （24）
     计量的任务就是公证仪器的实际误差范围，不大于测量仪器的误差范围的指标值。由于计量场合有够格的计量标准，可以测定仪器的误差范围实际值。
    测量仪器的计量方法是用被检仪器测量计量标准。
    计量标准的标称值是B_标，计量标准的真值是Z_标。用被检仪器测量计量标准，所得测量值为M。
    误差元定义为测量值减真值。因此，根据（10）式，被检仪器的误差元为：
          r_z = M - Z_标
            = [f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+Z_标]- Z_标   
            = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)              （25）
    r_z是以真值为参考的误差元，称为“真误差元”。
    计量者得知的不是“真误差元”，而是“视在误差元”，就是以计量标准的标称值为参考的视在误差元r视在：
         r_视在 = M - B_标
             = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+ Z_标 ]- B_标  （26）               
    计量的误差元就是“视在误差元”与“真误差元”之差
          r_计= r_视在 - r_z
             =[ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……_XN) + Z_标 - B标]
               -[ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) ]
             = Z_标 - B_标                                                                  （27）
     计量的误差范围是  
          │r_计│_max= │Z_标-B_标│_max
          R_计 = R_标                                                                       （28）
     以上推导中，关键点是：测量值M是仪器的物理公式决定的客观量，它由计量标准的真值Z_标以及仪器的物理机制决定。它是客观的、唯一的，不存在由标准的标称值决定的另一个测量值。njlyx先生曾指出：M是常值。这是真知灼见。


    以上推导，也可以按下述方式。如（25），真误差为：
          r_真 = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，_X2，……X_N)              （25+）
   而视在误差为：      
         r_视在  = M - B_标
               = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)+ Z_标 ]- B_标          （26+）
   将（26+）式中的函数差部分依（25+）式的关系，用r_z代换，有：     
         r_视在 = [ f(X_1m/o，,X_2m/o，……，_XNm/o) - f(X₁，X₂，……XN)+ Z_标 ] - B_标    
              = r_真 + Z_标 - B_标
    得到
        r_计 =  r_视在 - r_真  =  Z_标 - B_标                                                      （27+）
    式（27+）与式（27）相同。

    R_标是计量标准的误差范围值。经过上级计量的合格的计量标准，误差范围的最大可能值就是计量标准的性能指标值。这是本级计量者知道的。
    计量的误差，取决于计量标准。计量的误差，与被检仪器的性能无关。

4.2 微分法求计量误差
    分析计量的误差是分析计量手段的影响。如果计量中的比较标准是真值，那就没有计量误差。测量值的变化量，仅仅由计量手段引入的部分，才是计量误差。
    由（10）式知：计量场合仪器的测量值函数：
          M = f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N) + Z_标         (29)   
    令
          M_仪自身= f(X_1m/o，,X_2m/o，……，X_Nm/o) - f(X₁，X₂，……X_N)  
    则计量场合仪器的测量值函数简化为：
          M = M_仪自身 + Z_标                                                                 （30）
    测得值M中由仪器本身的各种因素的作用而形成的M_仪自身，是被检仪器自身的事，是计量时的对象，不是计量的手段。
    求计量的误差，微分的自变量是手段量，就是求“测量值M对计量手段量的微分”。由于着眼点是手段量，计量时，真值Z标之值对标称值B_标（定义值的一种形式）有变化，Z_标是变量，而M_仪自身值是对象问题，相对手段而言，是常量。即测得值M因手段问题而产生的改变量与被检仪器无关，而仅仅与标准的实际值改变量有关。（这是按《JJF1180-2007》的说法，计量标准用统计测量的概念；经典测量学视真值为常量，而把标称值视为可改变量。二者差一个正负号，因误差范围取绝对值，两种理论结果等效。不确定度体系混淆对象与手段，那是另一回事。）
    对（30）微分，注意到M_仪自身是常量，必然有
           dM = dZ_标
           ΔM=ΔZ_标
           │ΔM│_max= │ΔZ_标│_max         
            R_计 = R_标                                                                           （31）                                             
    式（31）与式（28）相同。再说一遍：R_标是计量标准的误差范围值。计量的误差，取决于计量标准。计量的误差，与被检仪器的性能无关。

4.3 合格性判别公式
    被检仪器的误差范围指标是R_仪/指标，又记为MPEV。若
             R ≤ R_仪/指标      
则被检测量仪器合格。
    R是被检仪器的误差范围，参考值是被测量的真值。而实测的仪器的误差范围，是以标准的标称值为参考值的。计量中实测得到的是被检仪器的误差的测量值，规范中记为|Δ|，准确地说应为|Δ|_max，误差量的测量结果是：
              R = |Δ|_max±R_计
                = |Δ|_max±R_标                                                                   （32）
    判别合格性，必须用误差的测量结果与仪器指标比。
    （A）由于计量误差的存在，R的最大可能值是|Δ|_max+R_标。若此值合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值小，则所有误差可能值都合格。因此，合格条件为：
              |Δ|_max+R_标 ≤ R_仪/指标
即
              |Δ|_max ≤ R_仪/指标 - R_标                                                        （33）
    （B）由于计量误差的存在，R的最小可能值是|Δ|_max-R_标。若此值因过大而不合格，因仪器误差绝对值的其他可能值都比此值大，则所有误差可能值都不合格。因此，不合格条件为：
              |Δ|_max―R_标 ≥ R_仪/指标   
即
              |Δ|_max ≥ R_仪/指标 + R_标                                                        （34）
    注：校准中的合格性判别同于检定中的合格性判别。
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1.  对于一些常用的名词、术语，或许还是应该尽量遵从现行“规范”？  完全“自定义”，可能并不利于“新理论”的成长？
   如，”Ym是对被测量的测量值”中的“测量值”是否是“规范”所说的“测得（量）值”？   “仪器的测量值M”是否表述为“仪器的(指)示(量)值M”较好？

2.  “njlyx先生曾指出：M是常值。”好像是有“前后文”的，不宜“独立”定论。....对于一次已完成的具体测量，仪器给出一个明确的"示值"M，它是确定无疑的，若是3.55，不会张说3.35、李言5.33，可能是如此说它是“常值”？ ....."不确定"研究者可能关心“用同一台仪器对同一个被测量实施多次测量”，对这多次的“示值”M1、M2、....、Mn, “njlyx”不会以为它们是相等的“常值”。

njlyx 发表于 2019-11-15 16:31
1.  对于一些常用的名词、术语，或许还是应该尽量遵从现行“规范”？  完全“自定义”，可能并不利于“新理 ...

        史文中有句话：“njlyx先生曾指出：M是常值。这是真知灼见” 。这一句，应删掉。是我误解了。现经他的说明，我已知先生是不赞成我的说法的。我的观点，正误由我个人负责，不该给别人找麻烦。

       我认为：分析中，M必须按常量处理。不确定度体系的分析，对M求微分，是错误的。

       计量的误差分析中，一次测量有一个误差元。第一步，必须针对这个误差元进行分析。而多次测量，必须在单次测量分析有了单次测量的各个误差元的基础上，进行统计计算。而一上来，就直接分析多次测量的误差，易于产生M是变量的错觉，不确定度体系的错误，就是把M当成变量，错误地对M进行微分。

       其实，计量中的一次测量，只有一个M值，它是唯一的，这是比“常值”更强的条件。对M值不能微分！这是计量误差分析的要点，也是不确定度体系本身的要害。对此点能想通的网友，请表表态。如果有网友坚定地认为，M就是变量，就应该微分，请说明道理，咱们认真地辩论一番。这可不是小事。事关误差理论与不确定度体系的孰是孰非。
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谢谢史老师