测量仪器误差的共同规律——偏倚正态分布

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                 测量仪器误差的共同规律
                       ——偏倚正态分布
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                                                                                                 史锦顺
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1 晶振频率分布图——偏倚正态分布
       笔者在上世纪的后三十年，一边研制铯原子频标、石英晶体频标（晶振），一边大量测量晶振的性能指标，其中包括日常之频率计的计量检定（主要是机内晶振的性能）、高稳晶振的产品出所检验。还利用三届全国晶振比对会的大好时机，处理过各类高稳晶振（百余台次）的全部数据。
       数千台次的测量与数据处理，得出一个结论：晶振输出频率的分布都是偏倚正态分布。
       以下所谈到的“分布”，前提都是“时域统计”。就是重复测量的情况。（这是对晶振频率的统计测量，此时的测量误差可略。）

       如国家计量院崔伟群先生指出的：测量有两种情况。第一种情况是用一台仪器重复测量同一被测量；第二种情况是用多台（例如20台）仪器同时测量同一被测量。实际测量计量工作都是第一种情况。第二种情况是不确定度体系的根基，但一般不可能。研制中偶尔这样做，统计一下合格率。实际测量计量工作没人这样干。
       “统计方式”是重要的前提条件，我再结合测量计量工作的实际，细说一下。
       计量中是用被检仪器“测量”已知准确度的计量标准(误差范围可略，可视为“实际值”)。在重复测量中，计量标准的值是常量。
       测量N次，得N个测量值。由于测量误差可略，每个值都是实际值。晶振的测量，标准是原子频标（以及频率合成器、比对器），测量的系统误差小于晶振系统偏差范围的1/20，测量的系统误差可略；短稳（随机变化）用特选的国际上高稳晶振，随机误差小于被测晶振随机变化的1/5,测量的随机误差可略。（以上比例是研究中的实际情况。不是计量工作的一般要求。）
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       以下的图，不是严格根据实测数据画的。是一种基本符合实际情况的概括（示意图）。每组测量都是100个测量值。（计算计数器自动操作。）

【符号意义】
f——晶振频率输出实际值
f_平——晶振频率输出实际值的平均值（N=100）
fn——晶振频率标称值（频率量的定义值）
β ——晶振频率的系统偏差
σ——晶振频率的随机标准偏差

         
   
      

图1  晶振频率分布图


（未完，待续）

2 数字式频率计的误差分布——偏倚正态分布
2.1 数字式频率计的误差与机内晶振频率偏差的关系
       数字式频率计的准确度水平，主要取决于机内的频率标准。通常的频率标准就是高稳晶振。
       频率计的测量误差范围（其指标值称准确度）基本上取决于晶振频率的偏差范围。晶振频率漂移、温度影响等，都归入“长稳”项，另行叠加。
       频率计的物理公式为：
               f = N/T                                      （1）
       以高稳定的频率源为基础的精确的频率测量，在现代高精度测量中占重要地位。
       式中N为计数值，T为闸门时间。误差理论的原有分析，没有区分测量值和实际值。此式明显标示，频率与闸门时间成反比。由此，若内标频率偏低，则闸门时间长，则频率测量值小；其实，恰恰相反：内标频率偏低，必有闸门时间值偏大，必定频率测量值偏大。
       式（1）是物理公式，不便直接用于分析测量问题；以往硬这样做（包括所有仪器的内标误差的分析），难免出错。有些作者（如马凤鸣）看到了这一点，用取绝对值的办法来避免正负号的矛盾，这不能算错，但绕开矛盾，实际上也掩盖了矛盾。
       要做几种区分：区分频率的测量值与实际值；区分闸门时间的标称值与实际值；区分N的显示值与实际值。
       计数式频率计的计值公式为：
                  f_m = N_r/T_n                                        （2）
式中fm是测量值（被测频率的实际值是f），Tn是闸门时间的标称值(闸门实际时间是T)，Nr是计数器的指示值。Nr区别于由fT乘积决定的周期数N 。Nr有±1误差。Tn 通常为1秒，或1秒的10^±N倍。
    分析测量值，就是分析测量值同实际值的差别，就是将测量值同实际值相比较。比较的方法之一是二者相除。实际值做除数，即做标准。

（未完待续）

2.2 数字式频率计的误差分布——偏倚正态分布
      由于频率计的相对测量误差与内标晶振的相对频率偏差成反比，这样，数字式频率计的频率测量值的分布曲线，就与内标晶振的频率分布图，左右翻转。

      
        

图2  数字式频率计测量误差分布图

（未完待续）

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2.3 数字频率计的测量结果
       本文图较多，但都很简单。读者可以自己试画一下《数字频率计的测量结果图》。
       上面的晶振频率分布图、计数式频率计的误差分布图，表明的都是客观的规律，是物理过程，都是可以通过实验测量得到的。
       而“频率计的测量结果图”，表明的是人的认知过程。它的来源是“频率计的误差分布”这一客观规律。而频率计的误差分布必定是“偏倚正态分布”。
       分布规律形式相同，但具体区别如下：
       1）系统误差β不同。在研制或计量场合，有计量标准，直接测量出的系统误差是“视在系统误差”。
       仪器的实际应用场合，时间过了一段时间（短则几天，长达检定周期之一年），晶振频率有自身漂移。且温度等环境影响不同。
       依据“测量值区间”得到的“测量结果区间”，是解“绝对值不等式方程”的结果，因此，一个测量值对应的是一个被测量的实际值的区间。测量者要根据所用仪器的误差范围指标值，来确定测量结果的表达。测量结果是：
             S = M ± R_仪指标
       当前，所谓的“校准修正”，存在严重问题，实际上不可用。


（未完待续）

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3 偏倚正态分布是通常测量仪器的普遍规律
3.1 精密测量仪器

         
图3  精密测量仪器测量结果分布示意图（虚线为测量值）   

【说明】
       1）在应用场合系统误差β_总不同于计量（或研制）场合的“视在系统误差” β。在研制或计量场合，有计量标准，直接测量出的系统误差是“视在系统误差”。测量时的系统误差β_总，既以研制、计量中实际测得的“视在系统误差”为主，又必然包括长稳项。“长稳”指仪器本身的变化（自身的量值漂移）与环境影响。
       2）误差元等于测量值减被测量的实际值，误差范围是误差元绝对值的最大可能值。因此，误差范围值R在有计量标准的条件下，是可以实际测量的。计量业务的本质就是测定被检仪器的误差范围的实际值（计量当场的抽测值，厂家应留有余量）。
       3）仪器的误差范围指标值，是社会的产物，是为便于使用的一种人为规定，由产品标准（国家部门或行业部门）确定。是应用选型、交易以及计量、检验、验收的标准。测量仪器的指标值，简称为“准确度”，是定量的。产品指标合格，指的是实测的误差范围值不大于指标值R_仪指标。合格的仪器才能使用，这是计量法的规定。当前的所谓“修正”，是不合理的。（1校准与应用不是同时操作，漏掉“长稳”项；2用“校准值”修正，不仅漏掉“长稳”还混入不可能修正的随机误差；校准点与测量点绝大多数不一致，常常是错位应用、张冠李戴。）
       测量仪器的误差范围指标值（准确度）是社会的严肃的共同约定，是规范。不合格就不能用，这是原则，这是法治。不合格就要废弃。“修正一下”再用，不是现代化时代的“节约”，而是违法操作。

3.2 通用测量仪器
       市场上用的测量仪器，都是指标较低（够用）的测量仪器。其示值变化，大致为分辨力。也就是将上图的钟形线压窄到三条线（线的间距是分辨力）的情况。通用测量仪器也应计量。不允许修正。

       再重复一下上节的观点。
       测量者没有计量标准，不可能知道β_总的具体值。测量者知道测量仪器的误差范围指标值值（R_仪指标，即准确度）。而合格的测量仪器，必然是测量时的实际误差范围值R不大于测量仪器误差范围的指标值。这一点由计量部门（以及仪器生产厂）来保证。

4 结论
        不确定度体系诞生以来，“分布”问题，衍生出大量的混乱现象。难倒多少英雄。莫须有的问题是无解的。
        例如系统误差“均匀分布”，就是“时域统计”中不可能的现象。
        不确定度体系的大量主要观点与作法，都是违反测量计量客观规律的。值得人们深思啊！

        测量仪器的误差分布，就是“偏倚正态分布”。这里论述的是测量仪器的整体；不涉及研制中对个别部件的特别需要。于是问题就变得清晰简单了。此事贯通于如下场合：测量仪器的出厂检验；仪器的选购、验收；测量仪器的计量与合格性判断；直接测量中仪器的正确使用。此问题是值得计量工作者认真思考的。敬请批评！
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（全文完）

测量仪器的误差分布，是移动“偏倚正态分布”可能更符合实际

一台合格的测量仪器，“偏倚正态分布”可能会在 R仪指标 整个范围内或小范围内移动

也存在移动极小可忽略的“偏倚正态分布”，这些是校准后可以修正使用的，如5071A，修正在-13方量级使用没有问题

由于存在移动，系统误差均匀分布同“偏倚正态分布”并不矛盾

史锦顺 发表于 2021-7-6 10:08
2 数字式频率计的误差分布——偏倚正态分布
2.1 数字式频率计的误差与机内晶振频率偏差的关系
        数字 ...

频率的计算公式不是这个吗？f=1/T

period@163.com 发表于 2021-8-9 16:19
频率的计算公式不是这个吗？f=1/T

【质疑】
频率的计算公式不是这个吗？f=1/T

【史答】
       先生所举公式，
                f=1/T                                                       （1）
确实是基本的常见到的公式之一。公式（1）表明频率这个物理量与周期这个物理量的关系。但要注意：此式是对同一个周期运动而言的。这里的字母“T”,表示被测信号自身的周期，与被测信号的频率有固定的对应关系。
       定义1  频率f是单位时间内的周期运动次数。
       定义2  周期T是一个周期运动所用的时间（从上一个初相到下一个初相所用的时间）。
       设观察时间是t。由定义1，有:频率f为周期运动次数N/观察所用时间t, 即
              f=N/t                                                      （2）
       由定义2，周期运动N次共用时间为t，则每个周期运动所用的时间就是
             T = t/N                                                     （3）
       将（3）（2）两式相乘，即有
              fT=1                                                        （4）
亦即
               f=1/T                                                      （5）
这里导出的公式（5），就是先生所列的公式（1）。
        公式（1）是对同一周期运动而言的。对同一周期运动是普适规律。这个规律指明：对同一周期运动，频率与周期之间有必然的规律，二者互为倒数，知道一个也就必然知道另一个。这是由已知量求等价的另一已知量，对测量来说，没用。
        
       频率测量要按定义1进行。
       频率计必须有机内标准（简称内标，通常是高稳晶振），由它提供标准时间间隔（简称时段，或标准时间）。这个标准时间，就是计数器的闸门时间，又称采样时间。闸门时间，一般书籍记为希腊字母τ，《史法测量计量学》记为T.当初的考虑是τ习惯上视为常量，而高精度频率计的误差分析，主要是标准时间的偏差，因此该用个易于取微分的符号。该不该改回去，想一想，比较一下利弊再说。
       请先生注意，主文所用的符号T,是数字频率计的标准时间（闸门时间），不是被测频率的“周期”。
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史锦顺 发表于 2021-8-11 09:24
【质疑】
频率的计算公式不是这个吗？f=1/T

按你所说应该是（2）*（3）式才有f=1/T。N次对应的时间不应该是T=T1+T2+...+TN？