《史氏测量计量学说》征求意见稿（5）

                         《史氏测量计量学说》征求意见稿（5）

                                                                                                                          史锦顺        

第4章 误差量的特点与误差合成   

1 误差量的特点
        误差，表明测得值与实际值（被测量的真值）的差距。误差是个泛指的概念，包括误差元与误差范围两个概念。
       误差元等于测得值减真值。误差元是误差概念的基本单元，表明误差的物理意义与计算方法，是误差理论的基础。但对一项测量计量的表达对象，误差元是可正可负、在一定界限内有大有小的量，不便直接表达与应用。
       误差量的特点是它的上限性。取误差元的绝对值，就去掉了误差元的正负号；取误差元的绝对值的一定概率（99%）意义上的最大可能值，就把误差元的多个可能值，用一个值来代表，这个值就是误差范围。
       误差范围体现了误差量的特点，简单、够用；它被应用于研制、计量、测量三大场合。研制是用计量标准与物理机制建立仪器的误差范围；计量靠计量标准检验、公证仪器的误差范围；测量是利用误差范围。人们用经过计量合格的测量仪器进行测量，在得到测得值的同时，知道了该测得值的误差范围不超过测量仪器误差范围的指标值，只要测量仪器的误差范围指标满足要求，人们就得到了够格的测量结果，达到了测量的目的。
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       将误差元变成误差范围，称为误差合成。误差合成还包括将局部的误差范围，合成为总误差范围。
       误差合成的任务就是两条：去掉诸误差元的正负号；找到诸误差元（以及分部的误差范围）共同作用产生的总误差元的绝对值的最大可能值。
       一般量的特点是“双限性”，就是不能过大，也不能过小。而误差量不同，对误差量的要求是不能过大，而越小越好，这是误差量的“上限性”。因为误差元有正有负，所谓误差大、误差小，是只论绝对值，而不管正负号。
       考虑、选取误差合成的方案，特别要注意误差量的上限性。。随机误差范围的自身计算、各随机误差范围的合成，一般都满足大量、不相关的条件，要用“方和根”合成。取3σ为其上限。各系统误差的合成，系统误差与随机误差范围的合成，本书基于误差量“上限性”的特点，主张取“绝对和”法

2 误差范围的人、绳、狗模型   
       真值、测得值、误差元与误差范围的关系，可以比喻为人、绳、狗的关系。
       真值比做人，测得值比做狗，误差就是人与狗的距离。人狗的距离，有时是定值，有时在变化，但距离的最大值被绳长所限制。绳长比做误差范围，是个单一值；人与狗的距离比做误差元，从零可变到绳的长度。
       固定人的位置，狗活动在以人为圆心、以绳长为半径的圈内。这像研制与计量中的测得值区间。测得值区间以真值为中心、以误差范围为半宽。
       某时观测到狗的位置，则人必在以狗为圆心，以绳长为半径的圈内。这像测量中的真值区间。被测量的量值区间（真值区间）以测得值为中心、以误差范围为半宽。
       绳长限制了人与狗的距离。知道人的位置，可以找到狗；同样，知道狗的位置，也可以找到人。
       同一误差范围，贯通于测量的研制、计量、测量三大场合。是“测得值区间”与“被测量量值区间”的标志量，是测得值与真值之间变换的基础。研制中，确立真值到测得值的变换；测量中，给出测得值到真值的变换。误差范围决定两个变换的质量，也就是决定测量的水平。
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       测量仪器的误差范围，在生产时被造就，而在计量时，被公证。能确认误差范围之值，是因为计量中有标准。
       研制与计量中，依靠真值确认误差范围；测量中由已知的误差范围与测得值而得知被测量的量值。测量结果是测得值加减误差范围，被测量的真值包含在测量结果中。
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误差合成不是想当然的，当前的合成方法是基于概率论推导出来的，本来就有很严谨的数学基础。建议结合案例讲理论，别讲空头理论。

                       《史氏测量计量学说》征求意见稿（5.1）

                                                                                                                         史锦顺

第4章 误差量的特点与误差合成（续1）      

3 误差范围的重要性
         1 误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达（见下章）。
       2 误差范围是测量仪器性能的表征；误差范围指标值是测量仪器水平的标志。
       3 计量是对测量仪器误差范围的检验与公证。计量的作业是求得被检仪器的实际误差范围值；仪器计量合格，就是指仪器的误差范围的实际值不大于仪器的误差范围指标值。
       4 误差范围是测量中真值函数的简化表达（见下章）。
       5 测得值与误差范围共同构成测量结果。标志测量水平的是误差范围。在满足仪器使用条件、正确操作的条件下，测量者用测量仪器的误差范围指标值，当作测得值的误差范围，是合理的、冗余的代换。因此，人们选用误差范围指标够格的测量仪器进行测量，在得到测得值的同时，也知道了测得值的误差范围。被测量的真值包含在测量结果中。于是人们就达到了测量的目的。
       测量仪器的误差范围指标（准确度），是仪器生产的目标，是计量合格性判别的标准，是使用者选用仪器与表示测量结果的依据。测量仪器的研制、生产、使用，用一个误差范围指标（准确度）贯穿起来，是人类社会的组织效果，是人类文明的一种体现。

4 误差合成方法的比较
        误差合成，主要用于两种场合。研制测量仪器时，依据仪器的测量方程，把构成总误差的各个测量因素，合成为总误差范围。直接测量时，依据直接测量的测量方程，把随机误差、各项系统误差合成为总误差范围。间接测量时，依据间接测量的函数关系公式，把各个直接测量的误差范围，合称为总误差范围。计量，着眼于检验被检仪器的误差范围，不需要进行误差合成；在直接测量中，运用测量仪器的误差范围指标值，通常不必进行误差合成。
       误差合成有三种方法。
       （1）混合法
       历史上，标准的研制、测量仪器的研制，误差合成大都用混合法。就是对随机误差与项目较多的小的系统误差，用方和根法；而对少数几项大的系统性误差，用绝对和法。这是一种直观的判断，没有这方面的严格分析。历史证明，混合法基本可用。
       （2）方和根法
       取各项平方和的根。
       各量和的平方，等于各量平方的和再加上交叉乘积项之和。交叉乘积项之和可以忽略的条件是各量独立而不相关。当误差量满足随机、大量、不相关这三个条件时，方可进行用“方和根”法。随机误差一般可认为是不相关的。随机误差间，可以取“方和根”。由于测量仪器不仅有随机误差，还有系统误差，而且系统误差通常占主导地位，如何判别相关性，就是个难题。
       主张采用方和根法，是当代的主流；但实际是一种行不通的空想。
       他们讲道理时说，当分项间不独立时，要计及相关系数，要计算协方差。而计算相关系数、计算协方差，极其麻烦。怎办？通常都是设“独立”、“不相关”；这是掩耳盗铃的作法。不确定度理论推广以来，对通常的相关或部分相关的情况，都按“不相关”处理，这是错误的。
       所谓用“相关系数公式判别相关性”实际是行不通的。相关系数公式仅仅对随机误差才成立，包含有系统误差的场合，相关系数公式不成立。现有的相关系数公式对系统误差的灵敏度为零。一般仪器是以系统误差为主的，而相关系数又与系统误差无关，这样，所谓相关性判别，实际是没法计算的。大量规范、文件、书籍所说的“假定不相关”，都是不符合实际的。是掩耳盗铃。方和根法所要求的条件不成立，方法本身就没有理论基础，就行不通；硬这样做，后果是出错。
       （3）绝对和法
       各项分项误差，绝对值相加（随机误差按3σ计入）。
       绝对和法的优点：
       1 符合误差量上限性的特点，不要求条件、保险。
       2 符合最基本的数学原理（数学手册方法）。
       3 实际性能到性能指标有余量，信誉高。
       4 好算，设计者欢迎。
       5 有余量，合格性的临界状态少，计量易判别。
       6 可靠，测量者欢迎。
       7 鉴定会容易通过。
       8 促进提高仪器性能。
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关于【“误差”合成方法】——

       理论上“合理”的应该是：用“相关系数”考虑“相关性”的合成公式；

       实际应用上“较合理”的是史先生称谓的“混合法”，它实际上是按两种极致取“相关系数”（——对号称为“随机误差”的分量，按“白噪声”对待，其自相关系数及与其它任何误差分量之间的互相关系数一律取为“0”；对号称为“系统误差”的分量，其自相关系数及与其它“系统误差”分量之间的互相关系数一律取为“1”）。对各误差分量的“性质”认定，当然需要适当的实践经验。
      
       一律“方和根”（相当于将相关系数一律取为“0”），或一律“绝对和”（相当于将相关系数一律取为“1”），都是有失偏颇的。

      具体操作中对“相关系数”的取值还是应该由责任人根据经验来定，不宜强迫他，只要让他对“结果”负责就ok了。只有对那些毫无经验的入门者，可以建议他采用较为“稳妥”的一律“绝对和”方法。

过路人 发表于 2015-8-26 17:49
误差合成不是想当然的，当前的合成方法是基于概率论推导出来的，本来就有很严谨的数学基础。建议结合案例讲 ...

说得好！顶一下

                         《史氏测量计量学说》征求意见稿（5.3）

                                                                                                                                史锦顺        

第4章 误差量的特点与误差合成（续3）
（3）积的误差公式
      定理三：二量积的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
       证明
       3.1物理公式
              Y = A B
       3.2计值公式
              Ym = Am Bm
       3.3测量方程
       联立物理公式与计值公式，解得
              Ym / Y= Am Bm/(A B)
       3.4 误差范围关系
       由测量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(A+ΔAm)/A] [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(A))][1+δr(B)]
            δr(Y) =δr(A) +δr(B)
             │δr(Y)│max =│δr(A)│max+│δr(B)│max
      误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
              δR(Y)=δR(A)+δR(B)  
       定理三得证。
            （注：δ表示相对值）
（4） 商的误差公式
       定理四：二量相除，商的相对误差范围，等于二量的相对误差范围之和。
       证明
       4.1 物理公式
              Y = C / B
       4.2 计值公式
             Ym = Cm / Bm
       4.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式，解得
              Ym / Y = [Cm /Bm] B/C  
       4.4 误差范围关系
       由测量方程
             (Y+ΔYm)/ Y = [(C+ΔCm)/C] / [(B+ΔBm)/B]
             1+δr(Y) =[(1+δr(C))] / [1+δr(B)] =[(1+δr(C)) [1-δr(B)]
             δr(Y) =δr(C) -δr(B)
             │δr(Y) │max=│δr(C) -δr(B) │max =│δr(C) │max +│δr(B) │max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
             δR(Y)=δR(C)+δR(B)   
       定理四得证。
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                          《史氏测量计量学说》征求意见稿（5.4）

                                                                                                                                  史锦顺        

第4章 误差量的特点与误差合成（续4）

（5）幂的误差公式
       定理五：Y等于A的n次方，则Y的误差范围等于A的误差范围的n倍。
       证明
       5.1物理公式
              Y=A^n  
       5.2计值公式
              Ym = Am^n
       5.3测量方程
       联立物理公式与计值公式，解得
              Ym / Y= Am^n/A^n
       5.4 误差范围关系
       由测量方程
             (Y +ΔYm)/ Y= (Am/A)^n= [1+δr(A)]^n
             1+δr(Y) = 1+nδr(A)
             δr(Y) = nδr(A)
             │δr(Y) │max=│nδr(A) │max = n│δr(A) │max
       误差元的绝对值的最大可能值是误差范围，故有：
             δR(A)= nδR(A)  
       定理五得证。

（6）根的误差公式
       定理六：Y等于B的n次方根，则Y的误差范围等于B的误差范围的1/n倍。
       证明
       6.1 物理公式
              Y =B^(1/n)
       6.2 计值公式
       对物理量加标号，m表测得值
              Ym = Bm^(1/n)
       6.3 测量方程
       联立物理公式与计值公式，解得
              Ym / Ym= Bm^(1/n) / B^(1/n)  
       6.4 误差范围关系
       r表误差元，R表误差范围。
             (A+ΔYm)/ Y = (Bm/B)^ (1/n)= [1+δr(B)]^ (1/n)
             1+δr(Y) = 1+(1/n)δr(B)
             δr(Y) = (1/n)δr(B)
             │δr(Y) │max=│(1/n)δr(B) │max = (1/n)│δr(B) │max
       故有：
             δR(Y)=(1/n)δR(B)
       定理六得证。
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