请量友讨论《再议计量标准的重复性……》文中的一段叙述

《中国计量》2014年第一期，发表了《再议计量标准的重复性试验和稳定性考核》一文。的确，该文纠正了该刊2013年第十一期，发表的《对计量标准重复性试验和稳定性考核方法及要求的看法》一文的不是之处。该文请见：http://www.gfjl.org/thread-170679-1-2.html：请版式友学习并讨论《对计量标准重复性试验……》一文——贴子：请版式友学习并讨论《对计量标准重复性试验和稳定性考核方法及要求的看法》一文。

      但是，该文的如下关于计算单次测量结果的实验标准偏差贝塞尔公式中，测量次数n的大小的叙述值得商榷：

      ……                                                                                                                                                                                                                                   测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大，这就是为什么使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。无疑，测量次数增加时其随机误差也会减小，但这并不是要求较大n的主要原因。测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次。

      量友们：你们觉得该项叙述有问题目吗？

我觉得该叙述有问题。。"其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大"，首先觉得系统误差跟测量次数没有多大的关系，测量次数越少随机误差越大倒是显而易见的，再者由贝塞尔公式本身来看已经减掉了系统误差，这并不是增加测量次数的主要原因。。但当测量次数增加时，贝塞尔公式所反映的标准差更加接近于实际的重复性，这个应该是主要原因吧。。但是增加测量次数不是每个实验都能轻易实现的，这里就要考虑实际情况了，最佳测量次数我们是无法知晓的，要具体情况具体对待。

我觉得该叙述有问题。。"其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且 ...
tigerliu 发表于 2014-2-6 10:01

    我也觉得有问题。实验标准偏差是反映测量结果的分散性，那有实验标准偏还存在系统误差之说。其“测量次数越少时，其系统误差越大”，真不知道作者是怎么说得来的？

　　1.贝塞尔公式中要计算残余误差（简称残差），也就是每个测量结果均减去平均值。平均值相当于单次测量结果的“真值”，系统误差是可以修正的“偏倚”，偏倚是偏离真值的程度。测量次数越多平均值越趋近于真值，从这个意义上来说，测量次数的多少虽然并不能决定系统误差的大小，但它却不仅仅决定了随机误差的大小，同时也影响着系统误差。
　　2.使用贝塞尔法和极差法的目的相同，但其使用的场合区别于重复测量次数。当重复测量次数达不到9次，特别是达不到6次时，极差法是有效的，当重复测量次数6次以上，特别是10次以上时，贝塞尔法更为有效。所以说到底，因为增加测量次数不是每个实验都能轻易实现的，所以重复测量次数6次就成了贝塞尔法和极差法使用场合的分水岭。

　　1.贝塞尔公式中要计算残余误差（简称残差），也就是每个测量结果均减去平均值。平均值相当于单次测量结 ...
规矩湾锦苑 发表于 2014-2-6 22:56

    规版给出的第一点我不能同意。JJF1101—2011《通用计量术语及定义》给出：系统误差是在重复测量中保持不变或可预见方式变化的测量误差的分量。测量次数增加得到的平均值，只会使随机误差减小，不可能减小或影响系统误差。一般来说：无限多次测量的平均值（数学期望）与真值之差才是系统误差。并不是有限的几次测量的平均值与真值之差就是系统误差哦！

回复 1# 刘彦刚


    我觉得作者所说的系统误差是不是指用贝塞尔公式得到的实验标准偏差的系统误差，也就是说用贝塞尔公式这个数学模型来计算测量重复性在数学本质上所固有的偏差，是计算方法的误差，并不是实验的误差，所以要n尽可能多，来尽量减少这个偏差。如果少于6次用极差法应该更好一些。

回复  刘彦刚


    我觉得作者所说的系统误差是不是指用贝塞尔公式得到的实验标准偏差的系统误差，也就是 ...
阿历 发表于 2014-2-7 09:15

    我觉得大凡这样的讨论，介入者总愿意选择相信权威，相信书本杂志。总会千方百计为权威杂志找正确的理由，而不会想万一权威、杂志的对方是正确的呢？

回复 7# 刘彦刚

先看一下JJF1001-2011对“实验标准偏差”的定义：对同一被测量进行n次测量，表征测量结果分散性的量。用符号s表示。其后的注1：n次测量中个测得值xk的实验标准差可按贝塞尔公式计算。也就是说实验标准偏差首先推荐按贝塞尔公式计算，当然也可以采用其它方法，如极差法。

“测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。”这个没错，如果可能测量次数越多，计算得到的标准偏差越可靠，无论是采用贝塞尔公式还是极差法，因为次数越多自由度越大。“其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大，这就是为什么使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。”这有点不着边，对于大多数重复测量，系统误差通常是恒定的，对计算标准偏差没有影响，不变能有影响吗？“测量次数越少时，其系统误差越大”更是不可能，也不是使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。次数少也可以用贝塞尔公式，次数的多少取决于你想获得的标准偏差的可信程度，你想获得一个可信度高的标准偏差，那只有增加测量次数，与用贝塞尔公式还是极差法关系不大。

“无疑，测量次数增加时其随机误差也会减小”这一说法也不妥，随着测量次数增加，算术平均值趋近于总体平均值（无限多次的平均值），并不一定使所有的随机误差减小，有的可能还增大，当测量次数n为无穷大时，残差=随机误差，此时得到的标准偏差为一常数s，在测量次数由小变大时，计算得到的标准偏差会比s时大时小，但当测量次数n趋向于无穷大时，标准偏差趋向于稳健的s。

“测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次。”这一点是对的，当是主要分量时，之所以要有更多的测量次数，只是为了获得一个可靠的标准偏差，即其自由度要足够大。不是主要分量时，我们测量再多也没有意义。

回复 5# 刘彦刚

　　“无限多次测量的平均值（数学期望）与真值之差才是系统误差。并不是有限的几次测量的平均值与真值之差就是系统误差”，你说的非常对。但在现实测量活动中，“无限多次”测量无法完成，只能进行有限次测量。因此常把测量次数10次以上的平均值当成无限次测量测量的平均值，多次测量的平均值（数学期望）与真值之差视为系统误差。
　　根据“系统误差是在重复测量中保持不变或可预见方式变化的测量误差的分量”定义，“在重复测量中以可预见方式变化的测量误差的分量”也是系统误差。那么，试想重复测量10次和100次各自得到的平均值哪个更趋近于真值呢？平均值分别与真值相减得到各自的系统误差，哪一个更小是不是可以预见呢？所以说，测量次数的多少不仅仅决定了随机误差的大小，同时，它虽然并不能决定系统误差的大小，但却在某种程度上影响着系统误差大小。

回复  刘彦刚


先看一下JJF1001-2011对“实验标准偏差”的定义：对同一被测量进行n次测量，表征测量结果 ...
都成 发表于 2014-2-7 21:07

    谢谢你正确、精准的点评！是哦！该段叙述真的不应该！

回复  刘彦刚

　　“无限多次测量的平均值（数学期望）与真值之差才是系统误差。并不是有限的几次测量的 ...
规矩湾锦苑 发表于 2014-2-7 21:33

    版主说的这个有道理，我上面所说的并不是测量的系统误差，而是得到的实验标准偏差的系统误差，不管用什么数学方法计算实验标准偏差（比如贝塞尔法、极差法或其他方法）都会存在固有的偏离。就拿贝塞尔公式是为例，n取10和100得到的结果自然不同，也就是说选用不同的方法导致的对实验标准偏差的认知程度自然不同，这就是每种方法自己对于实验标准偏差的系统误差。其实在这里用系统误差这个词不是太合适，容易引起混淆，换个说法也许更好。

“实验标准偏差的系统误差”好像没见过这个术语，这里用系统误差这个词是不太合适。
      随着测量次数的增加，同样按贝塞尔公式计算实验标准偏差，标准偏差的差异（您叫偏离）是有规律可循，就是在8#中所提到的：“在测量次数由小变大时，计算得到的标准偏差会比稳健的s时大时小，但当测量次数n趋向于无穷大时，标准偏差趋向于稳健的s。”可以这样来理解这句话，例如测了5次得标准偏差s5；再测一次，由于随机误差的存在，这第六次测量结果x6就会处在平均值上下一个较大的范围内，因此再加上这一次数据算得的6次的标准偏差s6，s6与s5的关系就没有s6一定小于s5，也有可能大于；但是当测量次数n趋向于无穷大时，标准偏差趋向于稳健的s这是肯定的。
      测量次数的选取不是机械的而是有理论依据的，检定规程或校准规范中规定的对某点的测量次数也如此。进行重复测量主要有两个目的，一是方法或实际需要取平均值作为测量结果，定性的说这是利用了随机误差的抵偿性，可以减小随机误差对测量结果的影响，定量地说平均值的标准偏差是单次测量的标准偏差的根号n分之一，当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0，此时算得的系统误差就是定义的系统误差。二是为了进行不确定度的A类评定，在8#中也提到：当是主要分量时，之所以要有更多的测量次数（此时并不是为了取平均值，如果是为了取平均值则遵循第一个目的），只是为了获得一个可靠的标准偏差，即其自由度足够大。不是主要分量时，都到了可忽略不计的地步，我们测量次数再多也没有意义。

　　在JJF1001-2011的名词术语中，应该说重复测量实验后，所得平均值与被测量真值之差就是“测量偏移”，测量偏倚的定义就是“系统误差的估计值”，主要是测量设备的系统误差所造成，因此可视为系统误差。随机误差的定义是“重复性测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量”，得到的标准偏差就是“随机误差”的变动范围半宽，可视为随机误差的最大值。
　　“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0”说明了测量次数多寡的确决定着随机误差的的大小，随着n逐渐趋近于无穷大，随机误差的抵偿性作用将得到充分发挥，以至于随机误差趋近于零。“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0，此时算得的系统误差就是定义的系统误差”，是因为平均值与被测量真值之差将越来越稳定，最终稳定在距离真值一个固定的偏移量，系统误差也就最后可以确定，这段话正是说明了在这之前系统误差同样会因为测量次数的不同而有不同程度的变化。
　　至于12楼所说的进行重复测量主要两个目的，我非常赞成。JJF1059.1-2012的4.3.2.3条也明确指出了“一般在测量次数减少时，可采用极差法获得”实验标准差，虽然没有明确减少是什么程度，但从表１给出的数据看最大次数为9，因此应该理解为9次及以下极差法较适宜，10次及以上应该是贝塞尔法更适宜。一些标准和行业则规定了使用贝塞尔法的测量次数不得少于6次。所以楼主引用的文章说“测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次”是有道理的。

“并且当测量次数越少时，其系统误差越大”单看这句话确实有点不妥，但是结合全文看也没有什么不对，规版主在9楼的讨论比较容易理解“测量次数的多少不仅仅决定了随机误差的大小，同时，它虽然并不能决定系统误差的大小，但却在某种程度上影响着系统误差大小。”。

考虑问题，概念是重要的，但要具体化，有时动手写一写，就明白了。

贝塞尔公式用以计算的单元是“残差”，它等于测得值减平均值。不管测量次数N取几（当然要大于等于2），残差都与真值、系统误差没有关系，因此，贝塞尔公式与系统误差无关。

设被测量真值为Z，系统误差为D，随机误差为x(i)，测得值为M(i)，平均值为M(平)。

测得值为：

             M(1)=Z+D+x(1)

             M(2)=Z+D+x(2)

              ……

             M(N)=Z+D+x(N)

平均值为

             M(平)= (1/N)[NZ+ND +∑x(i) ]

                       =Z+D+(1/N)∑x(i)

残差为：

             ν(1)=M(1)-M(平)=x(1)- (1/N)∑x(i)

             ν(2)=M(2)-M(平)=x(2)- (1/N)∑x(i)

             ……

             ν(N)=M(N)-M(平)=x(N)- (1/N)∑x(i)

贝塞尔公式中用的残差，不包含系统误差。因此，贝塞尔公式是随机误差的公式，与系统误差没有关系。测量次数N大与小，是统计本身的完全性与稳定性问题，与系统误差无关。统计理论建立在N值很大的条件下。通常N应大于10。频率测量N取100。测量次数少，只能出现在如下情况：

1 粗放测量，要求低。
       2 测得值很稳定，变化量小于等于分辨力。

3 随机误差远远小于系统误差

以上测量，测量三次即可。多次测量是走形式，没有意义。

4 极难或代价极高的测量，例如核弹爆炸参数的测量。数据极少，N无法大。

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注意，对一般精密测量，对计量，除2、3两种情况外，都要进行多次测量。N应大于10。我认为，计量工作要认真按贝塞尔公式计算，而极差法，不可靠。我认为，在计算机普及的当代，再提极差法，是误导。

测量100个数，分成10段，按贝塞尔公式计算，每段西格玛大体稳定。

测量100个数，分成10段，按极差法找出每段西格玛，差异大。

测量50个数，分成10段，每段5个数，按极差法找出每段的西格玛，差异很大。

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接 15# 史锦顺 文

       把贝塞尔公式与系统误差联系起来，是不对的，因为贝塞尔公式与系统误差无关。
       但文章作者对不确定度评定的质疑，我认为大方向是对的，上次的基本论点也是对的。现在还有许多人认识不到不确定度评定的错误，甚至对一切有关不确定度理论与评定的质疑都反对，这不是事实求是的态度。我们讨论问题，讲究的是“是与非”，追求的是真理，不可迷信书本。要尊重敢于提出不同看法的质疑者。具体的错误要批评，但要看到他们的求实精神。
      我近期将发表一篇文章，说“不确定度计量评定基本公式错误”，包括重复性测量在内，都弄错了。请大家批评。

13#提到：“随机误差的定义是“重复性测量中按不可预见方式变化的测量误差的分量”，得到的标准偏差就是“随机误差”的变动范围半宽，可视为随机误差的最大值。”定义没错，后半部分认为不妥，对于服从正态分布的随机误差（多数是这样），其标准偏差是对应概率为68.27%区间的半宽，3倍标准偏差是对应概率为99.73%区间的半宽。
      13#还提到：“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0”说明了测量次数的多寡确决定着随机误差的大小，随着n逐渐趋近于无穷大，随机误差的抵偿性作用将得到充分发挥，以至于随机误差趋近于零。” “当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0”这没错。“说明了测量次数的多寡确决定着随机误差的大小”这就不妥了，根据JJF1001-1998和-2011对随机误差的定义，其大小与测量次数无关，就像它的名字，下一次测量结果其随机误差的大小和符号都是随机的，因此谈不上测量次数的多寡确决定着随机误差的大小。“随着n逐渐趋近于无穷大，随机误差的抵偿性作用将得到充分发挥，以至于随机误差趋近于零。”抵偿性作用将得到充分发挥没错，但是，以至于随机误差趋近于零的说法不妥，正如前边所说，测量次数不能左右随机误差的大小，改变的是平均值的标准偏差，使其趋于零。

回复 15# 史锦顺

　　“残差都与真值没有关系”这是对的，但重复测量的平均值会随着测量次数的增加越趋于稳定，作为测量结果的平均值与真值的差就越趋于恒定的“测量偏移”。测量偏移的定义就是“系统误差的估计值”，因此，人们可以否定残差与真值之间的联系，却不能否定重复测量次数的多寡与系统误差千丝万缕的联系。
　　“对一般精密测量”应尽量“进行多次测量”，应尽量“认真按贝塞尔公式计算”，这都是正确的，但前提条件是重复测量次数应该不少于10，特别是不能少于6。由于种种客观条件的限制而无法实现6次以上测量时，“按贝塞尔公式计算”将会严重失真，此时必须使用“极差法”，因此不能够说“在计算机普及的当代，再提极差法，是误导”。极差法和贝塞尔法各有各的用武之地。

回复 17# 都成

　　既然咱们共同认为“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0，说明了测量次数的多寡确决定着随机误差的大小，随着n逐渐趋近于无穷大，以至于随机误差趋近于零”，说明了随机误差会随着测量次数的增加逐渐减小并趋于0，那么不正是“说明了测量次数的多寡确决定着随机误差的大小”吗？“测量次数改变的是平均值的标准偏差，使其趋于零”，那么“标准偏差”是什么呢？它不正是“随机误差”的变动范围半宽吗？标准偏差，即随机误差的变动范围随测量次数的增加逐渐趋于0，正是说明了测量次数多寡决定着随机误差的大小。
　　因此，我们还可以得到这样的推论：随着重复测量次数趋近于无穷大，随机误差将逐渐被自己的抵偿性抵消而趋于0，重复测量所得到的平均值与被测量真值之差也将趋于恒定，即“测量偏移”也将趋于恒定。这个在随机误差趋于0后剩下的恒定的测量偏移其实绝大部分就是来自于所用测量设备的系统误差。

“实验标准偏差的系统误差”好像没见过这个术语，这里用系统误差这个词是不太合适。
      随着测量次数的 ...
都成 发表于 2014-2-8 17:45

    真的是高水平的阐述！让我长知识了！

      从19#的论述来看，我在17#对13#所持观点的质疑和观点是白说了一顿，我仍然坚持在17#所持观点。

      请史老也来就此问题发表高见，也请楼主发表一下观点，别光观看，只来点定性表扬，您也是有水平的。

回复 21# 都成

　　呵呵，我认为，其实你17楼的观点并不全错。
　　关于第一段的描述，你说“对于服从正态分布的随机误差，其标准偏差是对应概率为68.27%区间的半宽，3倍标准偏差是对应概率为99.73%区间的半宽”我完全认可，可是进一步思考一下，这是不是可以说标准偏差是限制随机误差变动范围的半宽？是不是标准偏差决定了随机误差的最大值？
　　关于第二段的描述，你也认为“当n趋向于无穷大时，平均值的标准偏差趋向于0”，“随机误差的抵偿性作用将得到充分发挥，以至于随机误差趋近于零”，都没错，那么这也就“说明了测量次数的多寡确决定着随机误差的大小”怎么会就不妥了呢？当n趋向于无穷大时，实验标准偏差趋于恒定，随机误差趋近于零，这说明测量次数、实验标准偏差、随机误差三者之间存在着什么关系呢？

从19#的论述来看，我在17#对13#所持观点的质疑和观点是白说了一顿，我仍然坚持在17#所持观点。

     ...
都成 发表于 2014-2-9 21:12

    因为对于我来说，你的论述就足已使我确认了该文该段叙述的确存在问题。本想给该文作者说说我们的想法，但可惜没法联系上该位老师。人非圣贤，谁能无过。

原文：     测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。其主要原因是用贝塞尔公式得到的实验标准偏差除随机误差以外还存在系统误差，并且当测量次数越少时，其系统误差越大，这就是为什么使用贝塞尔公式时要求测量次数足够大的原因。无疑，测量次数增加时其随机误差也会减小，但这并不是要求较大n的主要原因。测量次数n能否减少要视具体情况而定，若重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数，但不希望少于6次。


修改后：
    测量次数n应尽可能大，一般应不少于10次。其主要原因是测量次数不足时，t分步的样本（假设随机误差服从正态分布 ）不能满足近似正态分布的要求，无法给出默认概率。当然，若能够判定重复性所引入的不确定度分量在测量结果的不确定度评定中不是主要分量，可以适当减少测量次数。

回复 23# 刘彦刚
比较赞同您的观点，不过仔细品来，这就是学术研讨的魅力所在。