面积误差三种计算表达的比较

             面积误差三种计算表达的比较

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                                                                          史锦顺

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网上有个题目，求桌面面积的测量结果。桌面为矩形。用米尺测量，长L为100.0 cm，宽b为50.0 cm，测量的误差范围是0.2 cm。测量结果怎样表达？

    这是测量计量范畴的简单题目。都成、规矩湾、史锦顺有三种不同的解法。代表了三人对误差理论、对不确定度理论与不确定度评定的不同看法。题目十分简单，反映出的问题却很典型，也极其严肃：该认真对待推行不确定度论以来形成的纷争局面了。

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（一）经典误差理论的计算与表达

    经典测量测量学的解法极为简约。如《数学手册》（1980版）

设a是A的近似值，b是B的近似值

     │a-A│≤Δa      │b-B│≤Δb

     (a+b)的误差范围=Δa+Δb

     (a–b)的误差范围=Δa+Δb

          (a×b)的相对误差范围=Δa/A+Δb/B =δa +δb

           (a÷b)的相对误差范围=Δa/A+Δb/B =δa +δb

以上的四大公式，极为简明、对称、好记、好用。本来，这是理工大学一年级实验物理课必讲的内容，是工程技术人员特别是计量人员最起码的应知应会，而且载于最基础的工具书《数学手册》中；可惜，当今的技术人员，去学那“不确定度”，许多高工乃至教授，竟不知有如此简明、管用的误差公式。不确定度，误人呀！

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按经典误差理论计算

           A=L×b    δL=|ΔL|/L    δb=|Δb|/b

面积的相对测量误差范围：

         δA =δL +δb= |ΔL|/L + |Δb|/ b = 0.2cm/100 cm + 0.2cm/50cm = 0.6%

面积的计算值

                  A（计）=100.0 cm×50.0 cm=5000 cm^2

面积的误差范围

                 R(A)= A×δA = 5000 cm^2×0.6% = 30 cm^2

测量结果为

         A = 5000 cm^2 ±30 cm^2                                       （1）

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（二）都成的表达

测量一个桌面的面积，桌子的长为：L=100.0cm，测量误差限±0.2 cm，宽为：b=50.0cm，测量误差限±0.2 cm，认为彼此独立，求其桌面面积S，误差理论中用什么参数来描述测量结果的质量，请算出来并给出具体计算步骤。

在面积测量中，面积的函数式为S＝L·b，长度L和宽度b的极限误差将给面积带来极限误差，就像计算合成标准不确定度一样（这里相当于计算合成扩展不确定度），合成前要确定误差传递系数（灵敏系数），长度L的极限误差传递系数是b，宽度b的极限误差传递系数是L，于是，采用方和根合成如下式（原式为照片，中间漏一个等号；以下是规矩湾的改写形式）

Δ＝±√[(b·ΔL)^2+(L·Δb)^2]=±22.4cm^2          （2）

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（三）规矩湾的表达

老兄137楼的误差合成公式和计算结果的确与标准不确定度的合成和计算结果相同，但两者的含意是不同的。
　　137楼的误差合成Δ＝±√[(b·ΔL)^2+(L·Δb)^2]=±22.4cm^2的解释是：因为长度和宽度的测量均存在着极限误差±0.2cm，但并不知道其测量误差具体是多少，因此当成“随机误差”处理，按随机误差的合成公式取均方根值得±22.4cm^2，这就是常说的面积的误差有XX%的可能性为±22.4cm^2。随机误差是讲置信概率的，误差也是有正负号的，因此面积测量结果的“可能”误差值XX%介于－22.4cm^2至＋22.4cm^2之间。
　　如果计算面积测量的极限误差，那就要放弃置信概率，要找出面积测量结果的最小误差和最大误差，显然就必须首先计算出已知“系统误差”，然后将已知系统误差以外的误差当成随机误差处理，再加以合成。本案例系统误差远远大于随机误差，所以我忽略了随机误差，仅利用面积函数式的全微分公式代入长度和宽度的已知最小和最大误差即可通过分析得出已知面积测量“系统误差”的最小值和最大值，分别是－30cm^2和＋30cm^2，显然面积的极限误差绝对值会略大于30cm^2，而不是把系统误差当成随机误差处理得到的22.4cm^2。
　　不确定度则是测量误差给测量结果带来的“可信性”程度。您的案例长宽测量结果各为100cm和50cm，极限误差均为±0.2cm。那么，长度（应为宽度）测量的极限误差给面积测量结果引入的标准不确定度分量按均匀分布处置为0.2cm×50cm/√3=5.77cm^2，同理宽度（应为长度）测量的极限误差给面积测量结果引入的标准不确定度分量为0.2cm×100cm/√3=11.6cm^2，合成标准不确定度为13cm^2，再取包含因子k=2得扩展不确定度U=26cm^2（k=2）。不确定度没有正负号，面积测量结果的极限误差是±30cm^2，对面积测量误差当作随机误差处置的误差为±22.4cm^2，它们的大小也不相同，随机误差和极限误差表述的含义均为测量结果的准确性，不确定度表述的含义是测量结果的可信性或可靠性，它们的所表述的含义更是不同。所以粱晋文教授直截了当指出不确定度不是误差，当然也就不是极限误差。

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（四）对三种不同计算的评论

（1）史锦顺按经典误差理论计算的结果为

       R(A)1 = 30cm^2

（2）都成的计算结果为：面积测量的误差限是

       R(A)2 = 22.4cm^2

（3）规矩湾计算之扩展不确定度

       U95= 26 cm^2

（4）规矩湾的误差限计算

       R(A)3 = 30 cm^2

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【史评】

（1）按经典误差理论的计算的误差范围R(A)1，是可信的、保险的，是历来的误差范围计算的常规。只要正确操作测量工具即可。不附加任何其他条件。

  （2）都成计算误差限，特点是

A 设置前提条件是长宽二量彼此独立。

B 误差按均方合成。

这种计算是不妥当的。 说长宽二量彼此独立，不符合实际情况。测量桌面面积，大都是用同一把尺来测量。如果尺长偏小(例如端头磨损)，必定L偏大，b也偏大。也就是说桌面二尺寸，相关的可能性大，而不相关的可能性小。求测量误差，是求最大可能的误差范围。要考虑不利的情况。“长宽二量彼此独立”的假设不成立。

均方合成的前提是二量不相关。计算桌面面积测量误差范围用均方合成，不对。计算结果偏小，有可能不包括误差的实际值。

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（3）规矩湾的说明详细，有些正确，大部分不妥。

（3.1）规矩湾说：不知道其测量误差具体是多少，因此当成“随机误差”处理，按随机误差的合成公式取均方根值得±22.4cm^2，这就是常说的面积的误差有XX%的可能性为±22.4cm^2。随机误差是讲置信概率的，误差也是有正负号的，因此面积测量结果的“可能”误差值XX%介于－22.4cm^2至＋22.4cm^2之间。

不知误差大小，就该按随机误差公式处理，这种说法不当。通常测量都是只知误差范围，而不知道“误差元具体是多少”。如果这种说法成立，则任何情况，都可一律按随机误差处理。这是不对的。处理问题必须从“既有随机误差，也有系统误差”的前提出发。

任何讲误差范围的地方，都讲概率，不是只有随机误差才讲概率。

（3.2） 规矩湾说：

如果计算面积测量的极限误差，那就要放弃置信概率，要找出面积测量结果的最小误差和最大误差，显然就必须首先计算出已知“系统误差”，然后将已知系统误差以外的误差当成随机误差处理，再加以合成。本案例系统误差远远大于随机误差，所以我忽略了随机误差，仅利用面积函数式的全微分公式代入长度和宽度的已知最小和最大误差即可通过分析得出已知面积测量“系统误差”的最小值和最大值，分别是－30cm^2和＋30cm^2，显然面积的极限误差绝对值会略大于30cm^2，而不是把系统误差当成随机误差处理得到的22.4cm^2。

以上这段话，虽然包含有正确的计算结果（上下限为－30cm^2和＋30cm^2），但解释却多处不当。

误差理论中，计算误差范围，按最大值算（随机误差取3σ，系统误差取绝对值，包含概率99.73%），误差理论中的分析、计算、合成，是可以容纳系统误差与随机误差的。这正是误差理论的方便之处。计算的是误差的范围（绝对值的一定概率意义下的最大可能值）。

30cm^2就是误差范围，把它说成是系统误差，又说还要加上随机误差，这是错误的。30cm^2既包括系统误差也包括随机误差。没有任何理由说可以忽略随机误差。随机误差本来已包括在内，你还忽略什么？算对了，还说算小了，奇怪！为什么要自己给自己抹黑？

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（3.3）驳不确定度论

关于不确定度评定的一大段，符合现在推行的不确定度论的评定方法。规矩湾是不确定度论的忠实信徒。我这里要抨击的，目标不是你这个信徒（像你这样的受骗、上当的人很多），而是不确定度论的炮制者。

不确定度评定这一套，是胡编乱造，毫无道理，毫无用处，且矛盾重重，不能自圆其说。且看如下具体分析。

（3.3.1）

有什么理由说米尺测量长度“误差是均匀分布”？瞎说。处理一项简单的测量，还要知道是“什么分布”，这是故作玄虚的经院哲学。计算如此简单的问题，还要知道分布规律，逼得人们胡乱估计。

（3.3.2）

按均方处理的必要条件是：1随机量、2不相关。本题的长宽尺寸误差，既不能说是随机量（多会包含系统误差），也不能说是互不相关。用均方处理，前提不对。

（3.3.3）

来往系数不一。从极限误差到标准误差，除以根号3，返回时却乘2，于是说包含概率为95%，本来99%的概率，为了合成计算，不合理地往返系数不一样，却认为减小了包含概率，真是赔了夫人又折兵。毫无道理。直接用极限误差合成不就完了吗？何必兜圈子？费事，而又损失巨大。

（3.3.4）

既认为是均匀分布，就是承认是有界的，此界包含概率为100%.（《JJF 1059.1-2012》表3 ）把自己已认定的100%概率的误差限，搞成U95，毫无道理。。

（3.3.5）

算得了U95，但以U95
为半宽的区间，能以95%的概率包含面积的真值吗？不可能！用均方合成，把区间算的小了。

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这个题目，清楚地表明：不确定度评定，没有任何用处。

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回复 1# 史锦顺


   

                      致网友

     一个简单的计算问题，却关系着对两大理论体系的真理性、实用性的考验。希望各位都认真想一想、算一算。谈谈你的看法。
     学术讨论，要敞开思路，一切从实际出发，而不该迷信任何人。
     请注意：老史的目的是辨明理论本身的是非、规范与规程的正误，这些是当前计量界应该解决、必须解决的问题。
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     我已在本网发表二百多篇短文，包含两部分。
     第一部分约四十篇，讲解我对误差理论的改进意见，主要是提出十个新概念：一、误差元构成误差范围的概念；二、两个区间概念（测得值区间与真值区间）；三、两类测量划分的新概念；四、测量方程的新概念；五、误差方程的新概念；六、自差统计的新概念；七、统计测量不能将西格玛除以根号N，不能剔除异常数据；计量是统计测量，计量不能进行这两项操作；八、计时方程的新概念；九、测距与测速的新概念；十、波导特性阻抗的新概念。
      以上是“立”，是我五十年测量计量生涯的总结。我确信，其内容是新颖、正确的。特别是表现出的立新精神与逻辑方法，值得一睹。当然，我将认真听取各种意见。一定要坚持真理，改正错误。
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     我的文章的第二部分约一百六十篇，揭露不确定度论的错误与弊病。这部分争议很大。大部分人不理解；多数人反对，赞成我的意见的也有几位，但我知道，是少数。
     由于不确定度论是美国人提出的，经过国际计量委员会表决通过（1993年第一次投票，十八人，十六票反对，后来通过），又经多个国际权威组织（开始七个，后为八个）推荐，有极大的欺骗性。
     很多人认为，老史干这事是自不量力。
     老史坚定地认为：什么最强大？真理的力量最强大。不确定度论，能骗一些人，它不可能欺骗所有人；它可以一时胡混，不可能永远胡混下去。当人们普遍认识不确定度论的伪科学本质之日，就是不确定度论被废弃之时。这是科学发展的必然，是历史前进的必然。老史决心加速这一进程。
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     在前几年的学术讨论中，我回帖较少，主要原因是构思后续的文章。现在，新文章也写不出了，将重点回复网友的质疑。要做到有帖即复。因为年老，可能慢些，请原谅。
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回复 3# 史锦顺


   史老师威武！这种PK方式让我等学到许多知识。谢谢！1.还是面积公式算误差问题，如果取极限情况，长度测得的最大可能是100.2，宽度测得的最大可能是50.2，那么最大的面积是5030.4，同理最小面积4970.4，也就是说，最大误差是30.4，最小误差29.6，这个情况如何解释
2.在不确定度计算方面，长度和宽度，分别按随机误差和系统误差算出两个值，自然还有：如果长度、宽度各按随机或系统误差，就还有两个计算结果，哪岂不是一个面积计算误差题目，不确定度能算出四种结果？（这个问题规矩湾版主回答好像合适些）

这题不适合用不确定度合成来分析，这是个理想化的状态，各个量都已经给出了理论上的范围，应该说，此题没有不确定性，范围是定下来的，像楼上那位直接计算出最终结果就是了。用这题来评价不确定合成的作用并不恰当，不确定合成还是要和实际测量工作相结合才有评定的意义。

回复 5# 285166790


      这个题目是个简单的问题，也是最实际的问题。如果连这个问题都处理不了，那不确定度的理论与评定，还有什么用途？什么问题也处理不了，这倒是我对整个不确定度论的基本看法。学过不确定度，该用的地方不会用，连最简单的问题也处理不了，这正是不确定度论误人的一种表现。如果先生加一句：不确定度没用，用误差理论就足够了，那就认识到了问题的本质。
     不是这个题目不适用于不确定度评定；而是不确定度评定没有适于应用的地方。哪里用不确定度评定，都是多余的，都是添乱。你不会赞成我的话；咱们试试看，你举出任何一项国内、国外的完整的不确定度评定，老史都可以指出它错在哪里。

回复 6# 史锦顺


   误差理论中的误差合成部分，和不确定合成方法类似，我认为不确定合成理论方法就是来源自误差合成，它们只是在定义上有些小差别而已 。您怎么看待这个问题？那按您的说法，这误差合成方法类似，也是胡评的了，我很想听听您如何解释这个问题。您要是能完美解释这个问题，那就很有说服力的。

回复 7# 285166790

您的胆量见长不小啊！竟敢与史老叫板。鼓励一下！
   

回复 8# 都成


       我和你的看法相反。是正常的讨论，不是“叫板”。我认为他的问题实际，态度真诚。他的问题对我很有启发。我正认真准备答复稿。要说明白，就得长点，大概明天贴出。

回复 9# 史锦顺


   是啊，我是抱着学习的态度想听听大家的说法，没有什么理论能保证是它是完全正确的，这很正常。

回复 7# 285166790

谢谢你提出个很好的问题。我正琢磨该讲哪些，你恰恰指出一个方向，提示我该讲讲两种理论在处理误差合成方面的原则性区别。

我是1963年毕业到中国计量科学研究院工作的（1973年后调到电子27所）。当时的计量院无线电处，人都很年轻。工作上只给个题目，一切都得自己摸索。当时书也很少，64年买到一本书《误差理论与实验数据处理》（冯师颜教授编著），如获至宝，以后经常翻阅，研读已达50年，至今仍摆在案头，时不时就翻翻。

在误差分析、合成与处理上，我打过几次硬仗。

1 波导特性阻抗的新概念与波导尺寸公差的新取法（1964年9月第一次作学术报告。发表于《电子学报》1979年第2期.）

2 双探针法定度标准负载（1965年）。提出消除系统误差的“变相位法”。（被肖明耀写入他的误差理论书中，后来被一些误差理论书籍引用。）

3 测量线误差公式的实验鉴别（1967年完成。发表于《无线电技术》1976年第10期）。

4 铯原子频标的频谱误差计算公式（国家基准NIM1课题。1970年在计量院时频处报告）。

6 激光测厚仪的误差分析与光路改进（1989年，国家专利号CN1031758）

7 异值频率比对器的误差计算（1990）

8 多普勒测速误差公式的正确解（1991。指出教科书上的公式错了。）

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我列举以上成功的例子，要说明的是，老史关于误差合成方式的见解，是有坚实的实践基础的。既不是读书者的心得，也不是编书者的概括，而是一个实践者的切身体会，信念坚定、道理确凿。

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话回本题。

误差量，可以说是量值，因为它有数值有单位。但必须注意，误差量与一般的量值有本质的区别。

一般量值必须准确，不能大，也不能小。“绝对准”又达不到，要求的是“相对准”，就是量值必须控制在允许的误差范围内。换句话说，对量值的要求是“双限性”，有上限，又有下限。

误差量则与一般量不同。误差量的特点是“单限性”。误差量越小越好，理想情况是误差为零；但做不到，能做到的是误差小到一定程度。这个程度就是误差范围。误差的绝对值只有上界限，没有下界限（最小值都是零）。研究误差问题，必须牢牢抓住误差量的单限性、上限性。注意，由于误差量的特点，求误差不是求误差的具体值（难得到），而是求误差绝对值的上限值（易分析、易得到，且够用）。测量、计量、仪器制造，着眼点都是这个上限值，即误差范围。

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为了把话说得严格，给出如下定义。

测量得到的是测得值，即测量仪器的示值或多次测量的平均值。测得值与被测量的真值的差距称误差。误差是个泛指概念，误差包括误差元与误差范围两个概念。

定义1 误差元

误差元等于测得值减真值。

定义2 误差范围

误差元的绝对值的一定概率（通常取3σ，概率99.73%）意义下的最大可能值。

误差元是误差理论的元素，是基础概念，没有不行，但只在误差分析时用。误差范围是域的概念，误差范围由误差元构成。误差范围包容着可能的误差元。误差范围是实用概念，贯穿于计量、测量、基准标准、测量仪器、标准研制、测量仪器制造等等各种场合。误差范围又称准确度，又称极限误差、最大允许误差、准确度等级。

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由误差元求得误差范围，或由单项误差范围求得总误差范围叫误差合成。

误差元是基础。但误差元本身在实践中不好用。第一，因有随机误差的存在，误差元是变数或许多数，称说不方便；第二误差元有正有负，几个误差元放在一起，可能消掉。这样，对待误差元，首先要消掉其符号，更重要的是把众多误差元，变成误差范围，继而把数项误差范围变成总误差范围。其核心思路就是利用误差量的上限性，找到那个代表误差量特点（本质）的上限点，就是误差范围。

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去掉符号的方法有两种：取绝对值或取平方根（初等数学规定，平方根为正值）。

误差合成的基本方式是绝对值合成法与方和根合成法。

误差理论的作法是：1 随机误差，均方合成；2系统误差，绝对值相加。3当系统误差个数很多，有正有负，又都较小，可取方和根。4 系统误差个数较少，又较大，绝对值相加。

绝对值相加的合成方法，得到的误差范围最大，最保险。方和根处理，得到的误差范围较小。方和根合成法适用的条件是：1随机误差；2大量重复测量；3 被合成的各误差量相互独立，就是它们之间的相关系数为零。

总之，误差理论的误差合成方式，一般取绝对值相加，最保险，不会出错。什么是错？以测得值为中心、以误差范围为半宽的区间能包含真值，就是正确；真值可能不包含在区间内，就是错误。（准确说包含指99.73%的概率。）

对随机误差，例如用贝塞尔公式计算，就是取均方根（差值平方之和，平均，再开方）。从贝塞尔公式的推导可知，利用了交叉项乘积之和等于零这个条件。这必须各量不相关，又测量次数很大，才成立。随机误差相互独立，不相关满足；只要实测次数N很大，则满足条件。

当不同的随机误差合成时，可用“方和根”合成法。因为各随机误差相互独立。

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以上是误差理论的误差合成方法。就是区别不同情况，分别对待。绝对值相加最保险，对随机误差可用“方和根”法。

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再看不确定度论的合成方法。

“一律方和根合成”，是不确定度论的基本方法。任何测量，任何测量仪器，都是既有随机误差又有系统误差的，而且大多数测量仪器的误差范围，以系统误差为主。因此，对大多数情况来说，这种合成方法是错误的，因为不满足“方和根法”的条件。

第一 方和根法的立足点是“二量和的平方等于二量平方的和”

              (a+b)^2=a^2+b^2 + 2ab（红项略去）

只有a与b不相关，且是大量求和时，交叉项才能为零。

第二 不确定度主要文件GUM说系统误差消除后，怎样怎样，这是说空话。我估计99%以上的测量仪器是不修正的；99.9%的测得值是不修正的。因此，不确定度论以修正系统误差为前提说事，等于说它自己没用。没有系统误差，而只有随机误差，当然可以“方和根”合成，但这是极其少见的情况，对一般情况不适用。

第三 不确定度论处理问题，一上来，就假设相互独立，即相关系数为零，这仅仅对随机误差可以，凡包含有系统误差，这个假设就不一定成立。

主帖中的计算，都成的计算，就是先假定长宽误差独立，这通常不成立。用一把尺测量桌面长与宽，误差是有相关性的；退一步说，就是不相关，因为都是一种工具测量（不可能用二十把不同的尺子测量）消掉交叉项是不可能的。方和根处理，没道理。

  规矩湾的不确定度计算，不分条件，上来就是按“方和根”处理。这是符合不确定度评定的作法的。但这是错误的。这不是规矩湾个人的错误，是不确定度评定方法的错误。把误差范围算得太小了。因为忽略的不是高阶量，而是同阶量（交叉项）。

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  先生又说，任何理论都不完善。是的。但不完善与错误是两回事。我认为，误差理论不完善，但基本正确，可以应用，误差理论在历史上功不可没；现在，计量、测量、仪器研制都离不了，必得用。而不确定度理论错误多多，不确定度评定弊病多多。老史就在一点一点地揭露它、抨击它。它误人误事，不该容忍。是非分明，乃学术讨论之要义，难道不对吗？

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回复 11# 史锦顺


     首先，我对老师的理论研究成果非常欣佩，我也正在搜集一些题材以便作为发表论文的材料，说真的我还真希望能从现有理论书籍中找出点问题，这样才能发表有价值的文章。您的文章，我有机会一定会研究一下的。     现在就这个具体问题发表一下我的看法，首先，关于误差理论方面的书目前我只有，费业泰主编的《误差理论与数据处理》，我不清楚它和您以前看的误差理论书籍内容有何不同，只能说就这本书而言，其中关于误差合成的方法和不确定合成的方法确实能一一对应上的。这本书中，系统误差分为两类：1.已定系统误差，2.未定系统误差。已定系统误差和您说的一样，是按代数法直接合成；未定系统误差， 书中采用和随机误差一样的处理方式，均方合成。

     书中说”在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均以消除，还可以从测量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。“这跟您提到的GUM的说法一致。但是一般不包含仍然不排除包含的可能性，那么如果认真分析这个问题可以得出：已定系统误差作为输入量时，彼此间呈现正强相关的关系，在规范JJF1059.1中，正强相关输入量，相关系数为1时，合成公式就是绝对值相加，并不是说什么情况下都是用均方根的公式，这个规范中有相应的串联电阻的例子。所以说，在JJF1059.1这个规范中，合成公式并不是唯一的，要分情况使用，也许是因为在评定中这种情况很少见，被你您忽视了。

      关于评定标准差的测量次数，这本书认为 n＞10以后，δ已减少的十分缓慢，因此一般情况下取n≤10较为适宜，这和不确定度合成中要求的次数是相似的。算数平均值得标准差书中同样除以√n，也是与不确定度方法一致的。
      最后说的定义上的区别，书中只有”极限误差“，没有”误差范围“一词。全名是”测量的极限误差“，既然是与误差一词相关，那么中心点当然是理论上的真值。测量不确定度定义上的唯一区别就是中心点是：最佳估计值（约定真值），其余没什么不同。只是用”约定真值“作为中心点定义，与测量实际相符，用在测量工作中表达更严谨一些，定义换了，名字也要重起一个，改叫不确定度。
      至于包含因子k，那个是可以按照分布情况，根据包含概率需要进行调整的，并不一定是乘以2，所以不算什么事。
      最后，我建议您不要引用网友们的案例来分析问题，网友们的案例只能反映他们的使用心得而已，理论分析还是要紧密围绕理论书籍和标准本身的内容为好，要么就用实验证明，任何理论只有实验才是最终的判断标准。
      一点体会，仅供参考。

哇塞，楼主写了这么多啊1.学习啊！呵呵

回复 12# 285166790

分析的很好！可以放到我那“不确定度理论与误差理论的关系您怎么看？”一贴中。

要与史先生讨论“测量不确定度”的“是非”，可能先要请先生认可【“测量不确定度”是都成先生及285166790所说的这个“东西”（本人及所认识的周边人也是这么认为的）】。如果没有这个前提，是辨不出好歹来的......

    如果有了上述前提，技术层面的事就不难沟通了-----
    经典的“误差理论”表述，基于应用方便性，将遗留于测得值中的“测量误差”简单而绝对化的划分为“（未定）系统误差”与“随机误差”两种成份，以现代‘科学”的观点来审视，这个分类的名称是不恰当的，但分类本身是科学实用的。此处所谓“（未定）系统误差”与“随机误差”，其实都是“不确定量”，前者是自相关性极强（自相关函数值在很宽的时延范围内都很大）的“不确定量”，后者则是自相关性极弱（自相关函数值只在时延0点不为零）的“不确定量”--专业术语称“白噪声”。 如此两部分误差，是互不相关的！---“白噪声”与谁都不相关。 因而，对同一个“测量误差”的这两部分合成（计算总‘误差限’）时，取‘方和根’是没错的。
   对于矩形面积测量：S=ab，如果长宽a和b是用同一把尺子测量，那么两个测量误差εa与εb之间的相关性是不可否认的！但直接认为他们完全绝对相关是过于谨慎的做法，比较完善的经典“误差理论”不会这样简而化之，它会较为仔细的区分εa、εb中的‘系统’成份εas、εbs与‘随机’成份εar、εbr，然后分别考虑面积误差εS的‘系统’成份εSs与‘随机’成份εSr.....前者的“误差限”是‘绝对求和'---考虑εas与εbs是完全绝对相关的；后者的“误差限”是‘方和根'---考虑εar与εbr是完全不相关。εSs与εSr的各自“误差限”得到后，再用‘方和根'合成---εSs与εSr是不相关的。

    当前的“测量不确定度”合成考虑可能还比较‘学术’——
    对于矩形面积测量：S=ab，如果长宽a和b是用同一把尺子测量，两个测量误差εa与εb之间的相关性或不可否认，那么除了告诉我Ua、Ub以外，还请‘你’告诉我： εa与εb的相关系数r，然后一定给你一个“严密”的结果：
           US=√[(aUb)^2+(bUa)^2+2r(aUb)(bUa)]

回复 15# njlyx

分析的很好。
如果是用两把尺子来分别测量长和宽，则就不需要考虑相关性了。

回复 15# njlyx

       我认为，在考虑计量测量理论时，必须特别注意误差量本身的特点，那就是误差量的“上限性”。确定一般量值，要求是双限的，既不能大，也不能小；而误差的绝对值则越小越好。确定误差，不是要求确定得多么准确，而是要界定上限。也就是说，确定量值要给概率最大的量；而计算误差，是确定误差范围，是给出不能超过的上限值。有几种可能时，要给最大值。
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      误差问题说到底是质量管理的问题。考虑误差问题，必须有利于质量的提高。在提搞质量与所花成本的权衡上，重点考虑该是质量。这也是保险性的问题。尽可能不冒风险，而把事情做得稳妥。我上班时，验收过上百台美国著名仪器公司的测量仪器，测得的实际误差范围都仅仅是指标值的二分之一甚至三分之一以下。也就是说，美国的设计人员都故意把自己仪器的误差说大。这是聪明的做法，有利于用户，提高了信誉，多花点成本，得到百倍的收益。有件有趣的事，误差理论一贯主张用3倍西格玛，不确定度论标新立异。主张取2倍西格玛（概率95%）。这本来有利于厂家，但做为生产者，美国的福禄克公司却宣布：为对用户负责，本公司一律取99%的概率。
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     理论与方法，必须便于实用，必须便于普及。绝对值合成，可以包容相关、不相关、强相关、弱相关各种情况，绝对值相加就得了，何必去考虑那个难解决的相关系数。建门，要顾及大个子，大个子能进，其他人就都可进了；建门，不必考虑“身高的最大概率值”。
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     其实，误差的分析与合成，主要是在测量仪器的研制场合用，以保险为宜。而设计仪器，核心是寻找减小系统误差的物理机制，一个新创意，就可减小系统误差几十倍。把心思用在难解难算的“分布”、“相关”上，没必要，因为这不能带来质量的实际水平的提高。计量要公平，似乎不能高估；但计量场合靠的是标准，靠的是实际测量，不用进行误差合成。而测量场合靠的是指标够格的测量仪器，直接测量根本就用不着“评定”；间接测量该计算总误差，我的意思是保险为宜，绝对值合成，没有风险。我胆小，搞宇航测量设备的指标把关，绝对不冒一次“方和根合成”的风险。我自己避险，国防科委管指标的测通所，则表扬我“严格”，本所研制负责人开始对我有些意见，后来国防科委给工号授奖，那位负责人又来感谢我。什么叫合理？一个“绝对值合成”，我自己安全、用户满意、上级表扬、连研制负责人都感谢，我才不管他不确定度论怎么主张呢。如今的不确定度评定，无故的拆分测得值函数，都是画蛇添足，没有一点好作用。
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      我多说了几句。主要是鉴于先生刚来，建议先生提高对不确定度论的警惕性。像规矩湾那样，我跟他说了三年了，他还是迷在不确定度的云雾里，我也就不想和他多说了。他说我全错了；那是他的判断，但我根本不相信他的判别力。我只能用有限的精力写点文章。对与错，留给后人去评说吧。
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     我直觉你有较高的判别力。如果想说服我，希望你先看看我那二百篇文章（本网有一百六十篇集和四十篇集）。你认为不确定度本质是好的，可以针对我对不确定度论的否定文章，写专题的辩论文章，那才能把道理说明白。只言片语，我就不回复了。
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回复 16# 都成


    即便是用两把不同尺子分别测量长和宽，两个误差之间的相关性也是不容忽视的！ 如果两把尺子的结构原理是一样的，那么它们两个的“（未定）系统误差”之间的相关性将是非常大的——冷热效应的影响？湿度的影响？....将是一致的；即便两把尺子的结构原理迥异，也极有可能是由同一上级“标准”标定的，其中“标准”的不确定（或叫不准）所引起的‘误差分量’是一样的——完全相关。 ---- 无论如何，在实际应用中理想化的按‘假定不相关’简而化之的取“方和根”是极其冒险的，或许还不如史先生的那另一种简而化之好？

回复 4# Enalex

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    我那天给你回帖，说远了；弄到牛顿那儿去了，也就没发出。今天把那天的一半补全，迟复为欠。

    误差理论中有个不可缺少的原理，叫“微小误差可略原理”。就是说，计算误差时的误差，小到一定程度是可以忽略的。或者说，误差问题只考虑误差的一次方项就可以了。而误差项的二次方项或更高次方的项，可以忽略。两个不同误差项的乘积，相当二次方项。以上所说“误差”，是泛指误差元与误差范围，就是说，“微小误差可略”对误差元与误差范围都成立。

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    计算极值时出现的差别，是高等数学的微积分与初等数学的区别造成的。这个差别是允许的。微积分立足于近似计算，初等数学是严格计算。科学史证明，近似计算是足够的，正确的。“严格计算”不能说不对，但不好用，可以比微分准确，却不可能得到积分公式。大量的科学问题，要靠微积分处理，而初等数学的“严格计算”却无能为力。由此，甚至可以说，忽略微小误差的近似计算是最正确的，不忽略反倒是累赘。

    微积分是近代物理学的基础，是由牛顿发明的，并直接用于求天体运行的轨道，从而成就了他那“万有引力定律”的伟大发现。忽略高阶小量的近似计算，解决了用“一点不忽略”的初等数学所不能解决的问题。这奠定了近代科学的基础。几乎与牛顿同时，莱布尼兹从数学的角度发明了微积分（二人互不知晓），莱布尼兹用极限法对微积分的合理性，进行了证明。

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    话回本题，规矩湾对极值的计算没错，就是太笨。两个误差，算出四种可能，铯原子频标有14项误差，按这种排法，就得算出196种可能值来，太麻烦。误差范围30与30.4，可以认为相等。但方和根算法得出的22.4，是错误的。取方和根是忽略交叉项，这是忽略同阶项，不允许。

    至于规矩湾算的不确定度，我认为没必要。有误差范围就足够了，算不确定度，没有物理意义，画蛇添足，多此一举。不确定度都是扯淡。对扯淡的具体计算，就不评论了，因为那里没有正确性可言。

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如果史先生认定的“测量不确定度”是规版先生说的那个在天上漂的“可信性”，而不是都城先生和28516670及XXX “认为”的那个“东西”，或不必如此费力批判？它本来就是莫名其妙的东西，做实事的人都不会信。

求桌面面积的测量结果。桌面为矩形。用米尺测量，长L为100.0 cm，宽b为50.0 cm，测量的误差范围是0.2 cm。测量结果怎样表达？
单从本题来看，用极限误差合成是非常方便的。将0.2cm误差范围，算出长、宽的相对值用绝对值法合成，是最简单和最保险的算法，算出的误差范围数值是最大值。
如果想用不确定度来算的话，结果会有很大的随机性，本题给出的条件不够充分，算标准不确定度时，要估计分布，估计包含因子，这就带来不确定性；合成标准不确定度时，合成算法和对分量相关性的处理，又会带来不确定性；由合成标准不确定度到扩展不确定度，又人为的赋予一个包含因子，在再次增加了不确定性。
这么多的不确定性整到一起，结果肯定会因人而异，具体的扩展不确定度大小，仁者见仁，智者见智。
不同算法导致的置信概率是不同的，极限误差合成的30cm^2置信概率最高，完全忽略相关性算出的22.4cm^2不合适，扩展不确定度 U95= 26 cm^2的置信概率为95%，这三个值不好放到一起进行简单比较

回复 17# 史锦顺


   JJF1059.1里的引言里也指出了，“对于在特定专业领域的应用，鼓励各专业技术委员会依据本规范制定专门的技术规范或指导书”，也就是说，先生您在特定领域用您认为保险的办法来评定测量结果，是符合JJF1059.1规范的精神的，这并不跟规范的内容相矛盾。

一道简单的数学题，大家干嘛非要用各种理论研究的一身劲。

　　对史老师总结的“面积误差三种计算表达”的一点补充和说明：
　　１史锦顺按经典误差理论计算的结果为
       R(A)1 = 30cm^2
　　２都成的计算结果为：面积测量的误差限是
       R(A)2 = 22.4cm^2
　　３规矩湾的计算是具体问题具体分析
　　3.1极限误差即误差限的两个极端值
　　R(A)3 =±30 cm^2，这与史锦顺老师的计算结果完全相同。
　　3.2以统计学和概率的观点来看面积测量误差
　　面积测量误差有95%以上的可能性介于±22.4cm^2之间。这是因为长度和宽度的测量误差范围均为0.2cm，具体多大并不知晓，因此可按随机误差分析得到这个结果。这个结果与都成的分析结果完全相同。
       3.3对面积测量结果的不确定度评定结果
　　U=26 cm^2，k＝2。
　　3.1和3.2是站在误差理论的误差分析角度得到的结果，它们都表示测量结果的准确性，3.1是误差限的两个极端，3.2是在一定的置信概率下的误差极限值，因此仍然有5%左右可能性面积的测量误差超出这个极限，例如＋30 cm^2和－30 cm^2两个极限值就在±22.4cm^2之外。
       U=26 cm^2，k＝2则不是评判面积测量结果的准确性，而是评判其可信性，它告诉测量结果的使用者面积的测量结果是5000cm^2，这个测量结果的可信程度是26 cm^2，k＝2，并不是说5000cm^2这个测量结果的误差介于±26 cm^2，测量结果5000cm^2的误差有多大，测量者在送上级检测前丝毫不知。这个U=26 cm^2是使用这个测量结果的人用来与面积测量“控制限”相除来确定此测量结果可否使用的数据，不是用来判定面积是否合格的依据。

回复 19# 史锦顺


   谢谢史老师的至理解评！都成网友推讲的不确定度实际上是误差甲、误差乙合成为误差丙，只是误差丙不称为误差丙而成为“不确定度”而已，所谓的不确定度理论经过不断的变更说法，从这一观点落脚借以“不确定度理论”之皮实已还“误差理论”之魂！其称谓只不过是“白马非马”的坚称罢了。
规矩湾版主推讲的不确定度，实际已和大家讨论的测量结果的表达完全是答非所问，因为从其解读的不确定评定中，把测得值和测得值的分布半宽进行了分割，一个完整的测量是得不到完整的测量结果的，因为这个完整的测量经过其不确定度评定只能得到测量结果的半宽，测得值还得通过另一次的测量！从这里看，这个不确定度的解读不仅是”白马非马“，且“马非马“、”白马非白马“。