误差合成的新理论——交叉系数与方根法

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                          误差合成的新理论
                                     ——交叉系数与方根法
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                                                                                              史锦顺
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序言   误差合成的应用场合
       误差，表示测得值与实际值的差距。
       误差的概念，有三层意思：误差元、误差范围，或泛指二者。“分析误差”中的“误差”指误差元；“仪器误差”中的“误差”指误差范围；“误差理论”中的“误差”既包括误差元也包括误差范围。
       误差元定义为测得值减真值。
       通常说：误差等于测得值减真值，这里的“误差”是误差元。误差元，可正可负。
       恒值的误差元，称系统误差；随机变化的误差元称为随机误差。系统误差与随机误差，同时存在，只是比重不同。当系统误差比重大时，系统误差可以单独表达。随机误差的大小、正负都随时变化，因此随机误差元不能单独表达。
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       误差范围定义为误差元的绝对值的一定概率（大于99%）意义上的最大可能值。
       随机误差是统计变量。随机误差的分散性表征量是标准偏差σ。随机误差范围是3σ（包含概率大于99%）。
       误差范围这个表征量，贯通于研制、计量、应用测量三大场合。
       误差范围是测量仪器的测得值函数的简化表达，是测得值区间、被测量真值区间的特征值。
       测得值与误差范围构成测量结果。
       误差范围是计量标准、测量仪器的性能水平的标志。
       误差范围是测量技术、计量技术的能力水平的标志。
       误差范围又称准确度、准确度等级、极限误差、最大允许误差等。
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       误差合成是由误差元求误差范围，或由分项误差求总误差范围。
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       误差分析与误差合成，主要应用于研制场合与间接测量场合。
       研制测量仪器与计量标准，必须掌握误差理论，必须能正确分析误差、合成误差。
       计量是检验与公证测量仪器的误差范围，靠标准、凭实测。通常的计量业务，执行规程，照章办理。计量工作的本质是测定误差量。要提高计量工作的水平，就要熟悉误差理论。掌握误差分析与误差合成的理论与方法，对计量工作者是十分重要的。
       测量理论，是科学技术工作的基础知识。
       直接测量，主要是根据任务要求，选用测量仪器。测量者在得到测得值的同时，是知道该直接测量的误差范围的，就是所用测量仪器的误差范围指标值。
       间接测量，要根据所求量对各个直接测量的函数关系，分析函数的误差元，并合成误差范围。误差合成，是测量技术的基础知识与技能。
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1 误差合成的两种思路
       经典误差理论的误差合成，随机误差自身用“均方根法”（对同一量的多次重复采样值，平方、平均、开方），随机误差间用“方和根法”（几个不同量，每个量平方、求和、开方），系统误差间用“绝对和法”（各量绝对值之和）。方法没能统一。
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       GUM为代表的不确定度理论，统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，出现严重问题。为实行“方和根法”，产生五项难题：（1）认知误差量的分布规律、（2）化系统误差为随机误差、（3）假设不相关、（4）范围与方差间的往返折算、（5）计算自由度。其中有的很难，如（1）（4）（5）；有的多数情况不对，如（3）；有的不可能，如（2）。
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       本文在网上讨论的基础上，提出统一处理误差合成的“方根法”。这是关于误差合成方法的新理论。新理论的特点如下。
       1）着眼于“范围”。进行各误差元到误差范围的合成；进行分项误差范围到总误差范围的合成。
       2）体现误差量的两大特点：绝对性和上限性。
       3）合成中，只需辨别误差的性质（随机误差还是系统误差），大系统误差还是小系统误差；不需辨别相关性；与分布无关。
       4）公式可以推导。
       5）操作简易。
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       “方根法”体现误差量的“绝对性”与“上限性”两个特点，着眼于误差范围，统筹随机误差与系统误差的处理，把系统误差元与随机误差元都变成是误差范围的直接构成单元，用取“方根”的办法实现误差的绝对值化。为此，用或正或负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同，都是1。于是，公式推导与合成处理，都方便；给出的处理办法，十分简洁。
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       不确定度论的思路是着眼于“方差”，处理办法是将众多的系统误差化向随机误差。各系统误差、随机误差都按“方差”合成。此乃“众归一”。但系统误差多种多样，化向随机误差很难，甚至不可能。这就是不确定理论烦难乃至不成立的根源。
       本文新理论的思路是着眼于“范围”，各系统误差、随机误差都按“范围”合成。此乃“一从众”。达到此目的的方法极其简单，就是对随机误差元乘以3。
       新理论提出交叉系数的概念，指出合成方法区分的本质。公式的推导与应用，简单明确。应用方便。
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       两种思路，导致处理方法一繁一简，难易分明。不确定度理论的烦难方法，基于不符合实际的臆想（用生产厂家不同、原理不同的多套仪器测量同一个量，系统误差有分布）；本文的方法是基于客观实际（用同一套测量仪器，重复测量中系统误差为恒值）的严格推导。是非曲直，昭然若揭。
       不确定度的合成方法，五大难关，如陷阱，如枷锁，何其蒙人！
       明白交叉系数的道理，五大难关一风吹，岂不快哉！
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2 随机误差元构成的误差范围
       随机误差的处理，经典误差理论有成熟、完美的处理方法。
       测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化就是随机误差。
       随机误差元可大可小，可正可负。有四个特性：
       1）单峰性：小误差概率大；大误差概率小；
       2）对称性：数值相同的正负误差概率大致相等；
       3）抵消性：求平均值时正负误差可以抵消或大部分抵消；
       4）有界性：以3σ为半宽的区间，包含概率99.73%。
       按统计理论，随机误差是正态分布。
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       对随机误差，有如下定义与关系：
       1）随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，测得值的期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
               ξi = Xi - EX                                                                            （1）
       2）标准误差定义为
                σ = √(1/N)∑ξi   
                   = √(1/N)∑(Xi-EX)                                                               （2）
       3）贝塞尔公式用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
                σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2}                                                 （3）
       4）随机误差范围
                R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
                  =√(1/N)∑(3ξi)^2                                                                 （4）
       5）由公式（4），有：
                R=3σ(ξ)= σ(3ξ)                                                                      （5）
      随机误差元的3倍值（3ξ），其统计意义上的方根值等于误差范围值。3ξ 对误差范围的权重为1。因此3ξ 在构成误差范围时与系统误差的权重相同。就是说，系统误差的权重为1，而随机误差元对误差范围的权重为1/3。        
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3 单项系统误差元构成的误差范围
       系统误差元用β表示。β是或正或负的恒值。
       单个系统误差构成的误差范围
               R =√(1/N)∑(βi)^2   
                  = |β|                                                                                  （6）
       单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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4 误差合成的理论基础
       函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
               f(x,y) = f(xo,yo)+ (∂f/∂x) (x-xo)+ (∂f/∂y) (y-yo)                         （7）
               f(x,y) - f(xo,yo) =(∂f/∂x) Δx+ (∂f/∂y) Δy                                    （8）
               Δf =(∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy                                                        （9）
       公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，∂f/∂x、∂f/∂y是常数。
       偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是代表被测量的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
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5 交叉系数的一般表达
       设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
              Δf(x) = (∂f/∂x) Δx
              Δf(y) = (∂f/∂y) Δy
       把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
              Δf(x) =ΔX
              Δf(y) = ΔY

       函数的误差元式（9）变为：
              Δf=ΔX +ΔY                                                                            （10）
       对（10）式两边平方并求和、平均：
             (1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔXi +ΔYi)^2
                               =(1/N)∑ΔXi^2 + 2(1/N)∑ΔXiΔYi+(1/N)∑ΔYi^2          （11）
       （11）式右边的第一项为σ(X)^2；第三项为σ(Y)^2；第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。交叉项为
             2(1/N)∑ΔXiΔYi =2【(1/N)(∑ΔXiΔYi) / {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}】×
                                           {√[(1/N)∑ΔXi^2]√[(1/N)∑ΔYi^2]}
                                  = 2J σ(X) σ(Y)]                                                  （12）
       （12）式中的J为：
               J =(1/N)(∑ΔXiΔYi ) / σ(X) σ(Y)                                                （13）
       称J为交叉系数。
      （注：此前，J记为r，称为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义有差别。为澄清已有的混淆，本文称J为交叉系数。）
       当交叉系数J为零或很小时，合成公式为
               σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
      （14）式是“方和根”合成公式。
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6 随机误差间合成的交叉系数
       对随机误差的合成，ΔX是ξx, 代换为[X-X(平)]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y(平)]，有：
               J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)]                      （15）
       由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（15）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。
       随机误差合成，（14）成立。即随机误差的合成公式是“方和根”：
               σ(f) =√ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                  （14.1）
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7 随机误差与系统误差合成的交叉系数
       两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（ΔY）。
       代入公式（13），有
                J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)]                                                 （16）
       系统误差元是常数可以提出来，有
                J =(1/N) (3β∑ξi) / [σ(X) σ(Y)]                                                （17）
       大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立：
                 σ(f) =√[β^2+ (3σ)^2]                                                       （14.2）
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8 系统误差与系统误差合成的交叉因子
       设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
                √[(1/N)∑ΔXi^2]= |βx|                                                          （18）
                √[(1/N)∑ΔYi^2]= |βy|                                                          （19）
       则系统误差的交叉系数为
                J =(1/N)(∑βxiβyi) / [|βx| |βy|]    
                   =βxβy / [ |βx| |βy| ]
                   =±1                                                                                 （20）  
       即有
                 |J|=1                                                                                  （21）
       当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数J为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数J为-1。
       当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式变为：
                 Δf ^2=|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2   
       即有      
                 | Δf | =|βx|+|βy|                                                                  （22）
      （22）式就是绝对值合成公式。
       当系统误差的交叉因子为-1时，（22）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。
       测量仪器的性能指标，给出的都是误差范围。
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       测量仪器的误差范围指标值由生产厂家给出，由计量部门公证，测量者按仪器指标应用。直接测量，测量仪器的指标，就可看作是测量的误差范围（只要符合仪器使用条件，环境等的影响已包含在仪器的指标中）。间接测量，要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理。
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9 关于合成方法的主张
       误差合成，统一按“方根法”。对特定的误差种类，“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
       通常，测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
       1）随机误差序列，用“均方根法”，随机误差范围之间，用“方和根法”；
       2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”；
       3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
       4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）；
       5）间接测量，仅有两三项测量仪器的误差范围，要用“绝对和法”；
       6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
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10 间接测量的误差合成例说
       间接测量由若干直接测量构成。各直接测量的误差，都是间接测量的误差因素。还加一些综合性因素。
       间接测量，要进行若干项分项误差的合成。
       设函数误差由以下8项误差构成：
       大系统误差项β(1大)、β(2大)
       中小系统误差项β(3小)、β(4小)、β(5小)、β(6小)、
       随机误差项ξ(7随)、ξ(8随)
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       注：
       分项系统误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商。
       分项随机误差的传递系数是函数对该自变量的偏微商的3倍（包含概率99%）。
       本文中分项误差项的值，指单项误差与传递系数的乘积。
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       函数误差元
                Δf =(∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy……   
                Δf =β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                      +3ξi(7随)+3ξi(8随)
       求“函数误差元的平方”的统计平均
                [(1/N)∑Δfi^2]
                     = (1/N)∑[β(1大)+β(2大)
                      +β(3小)+β(4小)+β(5小)+β(6小)
                       +3ξi(7随)+3ξi(8随)]^2
                R^2 = (1/N)∑{(1大)^2+2J(大)β(1大)β(2大) +β(2大)^2
                         +β(3小)^2+β(4小)^2+β(5小)^2+β(6小)^2
                         +[3σ(7随)]^2+[3σ(8随)]^2+其他交叉项}                      （23）
       大系统误差项的交叉系数J(大)等于+1或-1；因误差范围是误差元的最大可能值，故取+1。由此，大误差间取绝对和。其他交叉项的交叉因子，凡有随机误差项的，交叉因子为零。没有随机误差的，是系统误差之间的交叉系数，可以是+1，也可以是-1；由于交叉项的数量大，可认为正负项近似抵消，因而其他交叉项之和可略。
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       合成误差范围公式
                R =√ {[R(1大) +R(2大)]^2
                      +R(3小) ^2+ R(4小) ^2 +R(5小) ^2+ R(6小) ^2
                      + [3σ(7随)]^2+[3σ(8随)]^2}                                            （24）
       二、三项大系统误差间取“绝对和”；此“绝对和”与所有其他系统误差、随机误差范围之间，取方和根。
       由于测量仪器的误差范围，以系统误差为主，且因误差范围是误差元绝对值的一定概率（99%）意义上的最大可能值，因此某项直接测量的测量仪器误差范围指标值，视为间接测量的该项系统误差。
       当分项误差仅有一项大误差，或有4项以上大误差时，考虑交叉项的可能抵消作用，公式（10）变成纯“方和根”。
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规矩湾锦苑 发表于 2016-5-3 10:36
　　我的“姊妹说”与你所说的“相似”说并无矛盾。姊妹本来就具有相似性，但相似的姊妹是两个独立个体， ...

不确定度和误差理论并不是非此即彼的对立关系，有个词叫“微创新”，不确定度评定指南在原来误差合成的基础上对评定工作进行了一定程度的规范，即使只有一点小进步，也不能否定它的意义，既然有所改进，改个名也无可厚非。

规矩湾锦苑 发表于 2016-4-27 01:06
　　你说“史老师提出‘不确定度’就是‘极限误差’”，我有同感，所以我一再强调理论研究必须先把概念的 ...

是不是一回事，版主可以自己仔细比较，反正我是没有比较出什么大的区别，您要是有什么新发现咱们再议。至于该不该废除其中某一个名称或内容，这不是咱们能决定的，只要理论方法内容没问题，政府文件让我们用哪个我们就用哪个。

以往所说的“误差合成”、现在常做的“不确定合成”，其实质都是“（可能）范围（半宽）”的“合成”，要想“合成”结果合理，就绕不开“相关性”问题。实用的方案不外对“相关性”做了些“实用的简化处理”……尊重“机理”，没有“一律”可循。

补充内容 (2016-4-13 13:29):
“不确定合成”应为“不确定度合成”

因1#文修改时间已过，现将修改部分复制如下。

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序言   误差合成的意义
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                 R(f) = √ [σ(X)^2+ σ(Y)^2]                                                      （14）
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                 σ(f) = √ [σ(x )^2+ σ(y )^2]                                                     （14.1）
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                 R(f) = √ [β^2+ (3σ)^2]                                                           （14.2）
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                 R(f) = |βx|+|βy|                                                                       （22）
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njlyx 发表于 2016-4-12 16:42
以往所说的“误差合成”、现在常做的“不确定合成”，其实质都是“（可能）范围（半宽）”的“合成”，要想 ...

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【njlyx质疑】
       以往所说的“误差合成”、现在常做的“不确定合成”，其实质都是“（可能）范围（半宽）”的“合成”，要想“合成”结果合理，就绕不开“相关性”问题。
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【史辩】
       误差合成中的所谓“相关性”，其实质是交叉矩（协方差）的取值问题。交叉矩的大小，可以用交叉系数来唯一地描述。交叉矩与交叉系数有一一对应关系。交叉矩对应交叉系数，而交叉系数可以反过来对应交叉矩。
       过去，把交叉矩（协方差）用相关系数来描述，出了严重错位。交叉矩可能用相关系数来表达，此时的相关系数就是交叉系数。但“相关系数”一词，人们通常有另外的理解，即相关系数是相关性的表达，并不一定想到交叉项的大小。而从本质上说，交叉矩本来仅仅是二项和展开式中，交叉项的取值问题，什么相关不相关，谈不上。既然两个项能往一起加，就不可能不相关。说两项相关，而对随机误差来说，交差项之和的统计值却可能是零。因此，“相关性”不是“不能绕开”的问题；而是必须避开。
       以往用相关系数，《JJF1001》就错把任何两项系统误差，都当成不相关了——而实质上，两项系统误差的相关系数绝对值是1（先生登于网上，老史才知道）。国家规范尚且如此，许多人（如费业泰等名人、写过多本书的qcdc）出错，也就难免了。那都是“相关系数”导致的弊病。
       本文用“交叉系数”，就可避免由“相关性”导致的混淆。难道不行吗？
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史锦顺 发表于 2016-4-13 10:36
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【njlyx质疑】
       以往所说的“误差合成”、现在常做的“不确定合成”，其实质都是“（可能）范围（ ...

“交叉矩（协方差）”不为零的物理实质或就是两者“相关”？？.....一个是数值表现，一个是物理含义，两者不宜割裂。您用“交叉系数”表达，或不算错误，但可能不比用“相关系数”更确切！

有人“错把任何两项系统误差，都当成不相关了”，是误解了“系统误差”的本质，并不恰当的应用“皮尔荪公式”来“计算”所导致的错误？！

如果对“系统误差”的本质没有正确的认识，仅改个“交叉系数”的称谓是不能解决问题的——【任何两项系统误差的“交叉系数”都取1】与【任何两项系统误差的“相关系数”都取0】是同样荒唐的“方案”！

所谓“系统误差”，并不是个亘古不变的“常量”！  对于“系统误差”之间的“相关系数”，实用中是不可能靠“皮尔荪公式”计算出来的！——因为不可能得到“足够全面的”样本！......“系统误差”之间的“相关系数”，实用中只能依靠“机理分析”及经验适当取值！您把它叫做“交叉系数”后也只能如此。

njlyx 发表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（协方差）”不为零的物理实质或就是两者“相关”？？.....一个是数值表现，一个是物理含义，两 ...

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                                 相关性的误导
                                             —— 同njlyx先生辩论（1）
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                                                                                                   史锦顺
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前言  感谢与希望
       在本网讨论中，我得知njlyx的“系统误差的相关系数绝对值为1”的说法（此后又见崔伟群的同一说法与推导），觉得这一点十分重要，于是仔细研究误差合成理论的问题，提出用“方根法”来统一处理随机误差与系统误差的合成问题。其要点是着眼于“范围”，提出“交叉系数”的概念。
       我再次表示对李永新（njlyx）崔伟群二位学者的感谢。没有他们的“系统误差相关系数绝对值为1”的论断，我不可能推演出以“统一方根法”与“交叉系数”等为主要内容的一套关于误差合成的新理论。
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       新理论的核心是用交叉系数代替原来的“相关系数”。指出：误差合成方法的选取（取“方和根”还是“绝对和”），关键是交叉矩（协方差）的取值，而不是误差量间的相关性。就是说，用交叉系数来表征交叉矩（协方差），可以避免以往用相关系数来表征而导致的严重误解和多种错误。从而使测量计量理论与技术中的误差合成（不确定度合成），简单、清晰、正确。
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       我本来预计新理论能得到李、崔二位先生的支持，能得到较快的推广；不略，二位学者都不认可。崔先生尚未表达深入的意见，而李先生已明确讲了许多否定意见。我是不怕有不同意见的。辩论可以明是非。好，对李先生的主要观点，我将答辩几次。我对李、崔二位的希望是：认真对待这个理论问题。这是有关测量计量理论的重要问题，讨论一番是必要的，是有意义的。也欢迎其他网友发表意见。
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1  GUM与《JJF1059》关于相关性可略的条款
1.1 GUM（JCGM 100：2008）
F.1.2.1 The covariance associated with the estimates of two input quantities Xi and Xj may be taken to be zero or treated as insignificant if
       两个输入量Xi和Xj 估计值的协方差在以下情况下可以取为零或忽略不计：
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a) Xi and Xj are uncorrelated (the random variables, not the physical quantities that are assumed to be invariants — see 4.1.1, Note 1), for example, because they have been repeatedly but not simultaneously measured in different independent experiments or because they represent resultant quantities of different evaluations that have been made independently, or if
       Xi和Xj不相关（随机变量，不是假设为不变的物理量——见4.1.1注1）。例如它们是重复地但是在不同的独立实验中不同时测量的量，或它们代表了独立进行的不同评定的结果量；
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b) either of the quantities Xi or Xj can be treated as a constant, or if
       Xi或Xj量中的任一个可以作为常数处理；
       （史锦顺译：两者中, Xi或Xj任一个可以作为常数处理）；
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c) there is insufficient information to evaluate the covariance associated with the estimates of Xi and Xj.
       评定Xi和Xj的估计值的协方差所需的信息不足。
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       （译文除注明史锦顺译的一句外，引自叶德培《测量不确定度》p78）
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1.2 计量规范《JJF 1059.1-2012》的表述
（协方差可略的三条）
4.4.4.1 协方差的估计方法
       a）两个输入量的估计值xi与xj的协方差在以下情况时可取零或忽略不计：
       1）xi和xj中任意一个量可作为常数处理；
       2）在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值；
       3）独立测量的不同量的测量结果。
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2 《JJF1059.1-2012》（观点源自GUM）置疑

      【JJF1059.1-2012条款】
       1）xi和xj中任意一个量可作为常数处理；协方差可以忽略。
      【史评】
       这条的意思，是说：xi与xj中，有一个是常量，协方差就可忽略。两个都是常量，则更可忽略。在讨论误差合成中，系统误差是常量。本条款说：二分项误差中，有一个是系统误差，则协方差可略。二误差都是系统误差，则协方差当然可略。
       由史文（主帖）的推导可知：两个误差都是随机误差，协方差可略；两误差中有一个是随机误差，另一个是系统误差，协方差也可略。当二量都是系统误差时，协方差不可略。
       可见，史文的协方差忽略条件是有一个是纯随机误差；而《JJF1059》GUM却说协方差的忽略条件是有一个是系统误差。
       两种说法有本质区别。规范条款认为协方差通常可以忽略（GUM甚至认为信息不足时即可略）；因此通常可用“方和根法”；本文分析则说明，“方和根法”成立是有条件的。测量仪器的误差，不仅有系统误差，而且通常是以系统误差为主的，在有两项大系统误差的情况下，“方和根”法是不成立的，而必须取“绝对和”（随机误差项与众多小系统误差项取“方和根”）。
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      【JJF1059.1-2012条款】
       2）在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的量值；协方差可以忽略。
      【史评】
       不同实验室、不同测量设备、不同时间的测量，都避免不了有系统误差存在，而且测量仪器一般是以系统误差为主。仅有一项系统误差而另一项是随机误差（或随机误差占绝大比例），才能忽略协方差。因此，在不同实验室用不同测量设备、不同时间测得的两个量值，只要系统误差占主导（例如仪器给出最大允许误差），就不能忽略协方差。   
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      【JJF1059.1-2012条款】
       3）独立测量的不同量的测量结果；协方差可以忽略。      
      【史评】
       此条不妥。理由同上。
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       总之，《JJF1059-2012》为宣扬GUM的“方和根法”而强调的“协方差可忽略”的三项条款，是不对的，是一种误导。
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3  “相关性”是误导
       这里强调指出：
       在讨论合成方法中，把交叉项能否忽略，说成是相关不相关，这本身就是一种误导。两个完全不相关的量，只要取这二量的和的平方，平方的展开式中，就必然有交叉项。此交叉项能不能忽略，不是二量是否相关的问题，而是必须有一个量可正可负地变化，或两个量都可正可负的变化，才能忽略交叉项。如果两个量都是常量，交叉项必定不能忽略。同号为正，而异号为负，正负号只有一种，不存在抵消的问题。不确定度论出世以来（包括1980年后的一些误差理论书籍），把交叉项同“相关性”联系起来，造成严重的误导。许多人在此误导之下，以为二量不相关就可以忽略交叉项，其实，这是错误的。
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4 “误差量不相关”说法的严重性
       认为“不相关”、假设“不相关”，对以系统误差为主的测量仪器的误差合成，包括仪器制造中的误差合成，以及实用中间接测量的误差合成，都是错误的。
       GUM等国际规范强调“不相关”，国家计量规范《JJF1059》强调“不相关”，于是，大量的书籍、文章、样板评定，到处是“不相关”的说教与应用。这是错误的。错误是广泛的、严重的。
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      李、崔二人揭示“系统误差间强相关”是重要的。老史分析以往的误解与错误，指出其来源正是把交叉矩的问题误解为相关性的问题。为了纠正已经发生、并影响广泛的错误认识，用“交叉系数”代替“相关系数”，是必要的、是必须的。下文再比较这两个系数名称的优缺点。
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1.“系统误差”不是“常量”；2.在评估“测量不确定度”阶段，“测量误差”的“均值”被认为是0，数学上常用的线性相关系数（全值相关）与皮尔荪相关系数已无差异

只要不把“系统误差”与“误差的均值（数学期望）”拉扯关系，“相关系数”的应用就不会出错。

  【李、崔二人揭示“系统误差间强相关”是重要的】……本人当初一时未能明辨“系统误差”与“常量”的本质差异！

njlyx 发表于 2016-4-13 13:25
“交叉矩（协方差）”不为零的物理实质或就是两者“相关”？？.....一个是数值表现，一个是物理含义，两 ...

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                            交叉系数与相关系数的不同
                                          —— 同njlyx先生辩论（2）
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                                                                                                   史锦顺
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【njlyx质疑】
       “任何两项系统误差的‘交叉系数’都取1”与“任何两项系统误差的‘相关系数’都取0”是同样荒唐的“方案”！
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【史辩】
       njlyx表达的观点，包括两层意思：第一点：“任何两项系统误差的‘相关系数’都是零”是错误的。
       国际规范GUM、中国规范JJF1059都说“系统误差协方差可略”（参见上文《CGM 100：2008》之F.1.2.1 b的条款）、《JJF 1059.1-2012》4.4.4.1条款），也就是两个系统误差的相关系数为零。先生的第一点判断，批驳了当今主导规范的说法，这是正确的，是我们的共识。相同的观点指明即可，就不多说了。
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       njlyx观点的第二点意思是：“任何两项系统误差的‘交叉系数’都取1”也是错误的。
       这是我们之间的分歧点。下面重点论述。
       我的观点是：误差合成公式的选取与相关性无关；因而以往关于“相关性”的说法，是不成立的。误差合成中，交叉矩的取值，是决定误差合成公式取舍的本质，因此，交叉系数的大小是误差合成理论的本质问题。
       交叉系数是决定误差合成公式的本质因素，必须抓住。
       相关性与误差合成公式无关。对误差合成来说，相关系数的概念无用。
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（一）两项系统误差的交叉系数绝对值是1，是严格数学推导的结果
       交叉系数不是设想，而是严格数学推导的结果。这些数学推导，是严格物理概念下的一些列严密的逻辑思维的产物。因而它是客观的。
       交叉系数得出的逻辑如下。
       1 误差元定义：测得值减真值
           1.1 随机误差元：重复测量中，误差元可大可小，随机变化；
           1.2 系统误差元：重复测量中，误差元是恒值：绝对值大小与正负符号不变。
       2 误差范围定义：误差元的绝对值的一定概率（99%）意义上的最大可能值。
       3 由2），误差量的两个特点：绝对性与上限性。
       4 误差合成：由误差元求误差范围。
           4.1 均方根法（对随机误差的序列测得值，平方、平均、开方）。用于单项随机误差的表达；
           4.2 方和根法（对各项随机误差元平方、求和、开方）。用于随机误差间的合成。
           4.3 “绝对和法”，取各项的绝对值之和，体现的是最大可能值。经典误差理论用于系统误差合成。方法可用，但计算值偏大，是保守的作法。
       以上是经典误差理论的作法。其缺点是，没有对随机误差与系统误差通用的方法。
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       5 误差合成的统一方法是取方根。
       史锦顺提出的统一方法是：着眼于“范围”，取方根的最大值。取方根，体现误差量的绝对性（初等数学规定，方根定义为取正值，方根就是绝对值）；取最大值，符合误差量的上限性。
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       6 随机误差取方根的结果是“均方根法”（一项随机误差的系列测得值），和“方和根法”（多项随机误差间合成），这两点与经典误差理论相同。
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       方根法的新推导结果为：
       7 随机误差与系统误差合成，交叉系数可略，“方和根法”成立。
       8 两项系统误差间合成，交叉系数为+1或-1。鉴于误差范围是误差元绝对值的最大可能值，就是体现误差量的上限性，要取交叉系数是+1。此时，合成公式是“绝对和”。
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       由上可知，两项系统误差合成要取交叉系数为+1，公式是绝对和，这是一系列逻辑思维与严格数学推导的结果。要推翻它，就必须指出哪个环节有问题。
       在具体环节上找不出问题，就说明推导是严格的，结果是正确的。
       正确的东西是不怕骂的。“荒唐”之说，不成立。
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（二）“系统误差是恒值”的相对性与正确性
       搞测量计量的人，对随机误差与系统误差的客观性是清楚的。
       系统误差是“恒值”，这是与随机误差相比较而言的。有区别，才有认识，否定随机误差与系统误差的区别，这是不确定度论的糊涂认识。

       一场测量，重复测量N次，称N次测量。测得值N个，也就有N个误差元。误差元的不同，是随机误差的表现。
       有时，N个测得值是同一值，即随机误差可略。如果被测量是一个计量标准，且标准自身的误差可略，则测得值与标准值（相对真值）之差就是系统误差。系统误差不许有大的变化（在仪器寿命期内，或至少在检定周期内，变化量可略，或变化量与系统误差之和不大于仪器误差范围指标值）。系统误差的恒定性是仪器示值修正与计量检定的基本前提。
       误差合成公式推导中，系统误差一段，要用到系统误差为恒值，这个条件是满足或基本满足的。
       在研究误差合成的场合，所谓“恒值”，能恒定到“变化量不超过自身的1/10，就足够了”。
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       一说“真”，就要求绝对的真；一说“恒值”就要求是绝对的“常量”，这是不确定度论的“绝对化的”、脱离实践的空想，是十分有害的。
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       正确认识“绝对”与“相对”的关系；正确区分“近似”与错误，乃科学研究之根本。交叉系数，有近似，但它是正确的；相关系数与误差合成问题无关；用“相关性”考察问题，必然出错。
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1.技术名称的物理含义至关重要，“交叉系数”的物理含义是什么呢？——相关性！2.所谓“误差合成”，实质是“随机量合成”，人们对此“合成”的“关注点”是“变化范围”（标准偏差、不确定度之类），“相关性”决定了“范围（宽度）”的合理合成方式——由“相关系数”（-1～+1）参与的统一公式近似表述（线性合成时较精确）；3.“系统误差合成”依然是关注的“范围（宽度）”合成；5.“系统误差”之间的“相关系数”实用中不可能利用“皮尔荪公式”算出来；6.“合成”时的传递系数是有正有负的，“相关系数”（“交叉系数”？）强取+1也并不是“勇于担当”的做法。

njlyx 发表于 2016-4-17 13:51
1.技术名称的物理含义至关重要，“交叉系数”的物理含义是什么呢？——相关性！2.所谓“误差合成”，实质是 ...

补充：
4. 在“测量误差理论”中，所谓“系统误差”与“随机误差”，其本质区别是相应误差序列的“自相关性”，在实用的时间（时延）范围内，理想化“系统误差”的“自相关系数”为1，而理想化“随机误差”的“自相关系数”为0——为“白噪声”。......对于用“同一套测量系统（方案）”先后测出的两个“测量结果”，其中由“测量系统（方案）”引起的两个“测量误差”的“系统（测量）误差分量”，其实就是“该测量系统（方案）”所致“系统（测量）误差分量”序列的两个样本，它们之间的所谓“（互）相关系数”其实就是“测量系统（方案）”所致“系统（测量）误差分量”的“自相关系数”——理应取为1，无须再“论证”或找“公式”计算！

njlyx 发表于 2016-4-17 13:51
1.技术名称的物理含义至关重要，“交叉系数”的物理含义是什么呢？——相关性！2.所谓“误差合成”，实质是 ...

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                                三论交叉系数
                                            —— 同njlyx先生辩论（3）
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                                                                                                   史锦顺
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（一）为什么会有分歧？
       拙文《误差合成的新理论——交叉系数与方根法》在本栏目贴出后，得到njlyx先生的认真回应。言辞不多，涉及范围却很广。其实，有些内容，主帖已经说得很清楚，但主要观点连博导都不理解，老史就不能不认真思考一番，究竟是怎么回事。简单的学术问题，为什么会有这么大的分歧？
       可能A：不确定度论的一套（包括1980年后的大部分误差理论书籍）本来是正确的。相关系数是合成法区分的物理本质，是你史锦顺违反了物理本质，错的是老史你自己。
       不确定度论的一套是对的吗？
       不用老史讲理由，njlyx论断的本身就否定了可能A。
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       怎样判别两个误差量的相关性？当然不能凭估计，而必须用公式，没有恰当的公式可用，就得重新进行公式推导。没有数学推导的、估计的相关还是不相关，都是不足信的，甚至可能是误导。
       njlyx说：“‘系统误差’之间的‘相关系数’实用中不可能利用‘皮尔荪公式’算出来”。
       是的，只适应于随机变量理论的统计学公式——皮尔逊公式，其基本单元是统计变量与其平均值之差。两个随机变量的相关性，取决于二量各自对平均值偏差的乘积的统计平均值。
       对于系统误差，由于是恒值，各个系统误差元都等于误差元的平均值，于是误差元与误差元的平均值之差就是0。两个系统误差的情况，皮尔逊公式的分子为0，就是说皮尔逊公式对系统误差的灵敏度为零。因而皮尔逊公式对系统误差无效。
       对系统误差来说，既然皮尔逊公式无效，那就是说明以往的有关系统误差的相关性的讨论都是不对的。这不是老史的错，是不确定度论用皮尔逊公式的错。这一点，其实是我与njlyx的共识。
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       可能B，老史的推导是正确的。但njlyx囿于相关性的说教，虽然明明看到了问题，却不能承认新理论。甚至否定自己关于“系统误差之间相关系数绝对值为1”的本来正确的观点。自然科学的探讨研究，必须抓住基本点不放，才能独立地立论。任何些许犹豫，就可能否定客观，甚至否定自己。我对njlyx这样轻率地否定自己的正确观点，很遗憾。
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       我的观点，再说，自己也觉得重复。但由于不被承认；而老史又坚信自己的一套是有理有据的，是计量界所必要的，那就只好不厌其烦地多说几次。
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（二）交叉系数的本质
【njlyx质疑】
     1.技术名称的物理含义至关重要，“交叉系数”的物理含义是什么呢？——相关性！
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【史辩】
       二项和的平方，展开式中必然出现交叉项。

               (a+b)^2=a^2+2ab+b^2                                                    （1）

       交叉项2ab是数学关系，是平方计算的必有项。不是物理问题，不必强凑物理意义。
       数学意义是比物理意义更概括、更普适的意义。
       交叉项能不能忽略，取决于二量是随机变量，还是恒值。
       交叉项能不能忽略，与相关性无关。在误差合成的公式选取上，考究相关性是歧途。
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       交叉系数的本质是说明有没有抵消性。就是在求和统计中有没有抵消作用。
       分化为两种情况：交叉系数近于零与交叉系数近于1.
       简化为两种情况：有抵消性，交叉系数近于零，则取方和根；没有抵消性，交叉系数绝对值为1，则取绝对和。
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       微分原理决定：在小变化量的条件下，函数的改变量，等于各分项作用的代数和。
       误差量的特点是绝对性与上限性。实现取绝对性可用“方根法”（平方再开方得绝对值）；要在各种可能值中取最大值，实现误差量的上限性。
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       误差合成的新理论，要点是：
       1 着眼于“范围”（不确定度论着眼于方差），以随机误差元的3倍值为随机误差作用单元。
       2 对随机误差、系统误差统一用“方根法”以实现取绝对值。再注意选可能值的大者。这样既实现了误差表达量（误差范围）的绝对性，也实现了误差表达量的上限性。
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       二量和的平方的展开式中，必有交叉项，这是数学问题。关注点是：求统计和时，有没有抵消作用。交叉矩的大小，取决于二量的性质，就是二量是统计变量还是恒值。交叉矩的取值与二量之间是相关还是不相关，没有一 一对应关系。
       因此说“交叉系数”的物理意义是“相关性”，没道理。数的平方，就是两个数相乘，没有专门的物理意义。平方再开方，就是取绝对值，是数学，没有专门的物理意义。两个量之和的平方再开方，是纯数学处理，就是取二量和的绝对值，没有专门的物理意义。二量之和的平方展开式中的交叉项，是数学运算的产物。也没有专门的物理意义。交叉项在统计时有没有抵消作用，取决于量本身的变化特性，与二量的相关情况无关。
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       例如一个量用同一测量仪器测量。有系统误差与随机误差。二者是同一测量仪器测量的，似乎二者必然强相关。其实一个恒定的误差值乘以一个随机变化的误差值，恒定的值可以提出来，而随机误差项求和为零。交叉系数为零是本质，而分析的“相关”不能用。
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       不同量具测得的二误差量能往一起加，就说明二量必有某种相关性。两个随机变量的交叉项，求“统计和时可以抵消，甚至为零，却不能说此二量无关——无关怎能相加？
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       两项系统误差，可能完全无关。例如，用中国的卡尺测量矩形面积的宽边，长度为L，系统误差为ΔL(系)，系统误差相对值为1.0%；用美国的千分尺测量矩形的宽度，宽度为w，系统误差为Δw(系)，系统误差相对值也是1.0%。（随机误差可略。长度约为宽度的10倍）。
       此题按不确定度的分析，长度、宽度分别用中美两国的准确度等级不同的尺子测量，误差量间“不相关”，要按“方和根”计算，面积的相对误差是1.4%。注意，这个解是不对的。
       由于系统误差的交叉系数是-1或+1，按误差范围定义的要求，必须取最大可能值，因此交叉系数该取+1，于是合成公式应为“绝对和”。面积的相对误差是2.0%.这个解是对的，极易用长宽可能的极限值来进行检验。
       此题，按交叉系数计算，就对；而按“相关性”的分析，必错。
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       结论：要着眼于交叉系数；而“相关性”是误导。
       交叉系数与相关性，对不上号。不能把交叉系数说成是“相关性”！
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史锦顺 发表于 2016-4-20 18:05
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                                三论交叉系数
                                            —— 同n ...

【二项和的平方，展开式中必然出现交叉项。
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2   （1）
交叉项2ab是数学关系，是平方计算的必有项。不是物理问题，不必强凑物理意义。
数学意义是比物理意义更概括、更普适的意义。
交叉项能不能忽略，取决于二量是随机变量，还是恒值。
交叉项能不能忽略，与相关性无关。在误差合成的公式选取上，考究相关性是歧途。

交叉系数的本质是说明有没有抵消性。就是在求和统计中有没有抵消作用。
分化为两种情况：交叉系数近于零与交叉系数近于1.
简化为两种情况：有抵消性，交叉系数近于零，则取方和根；没有抵消性，交叉系数绝对值为1，则取绝对和。】

“‘交叉系数’的本质是说明有没有抵消性。就是在求和统计中有没有抵消作用。”，“抵消”也是有“缘由”的——
考虑两个“随机量”（总体）A、B，各自的“样本”分别为
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
两个“随机量”A、B之和A+B的“样本”将为
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足够大”的“样本数”;
g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定义“交叉系数”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常数C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A与B“完全正相关”，则
r=1——g[A+B]=| g[A] + g[B] |
（2） 如果能找到任意常数C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A与B“完全负相关”，则
r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常数C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某个非零的常数D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取极小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A与B“部分相关”，则
-1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取极小的常数D=0——A与B“完全无关”，则
r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)


补充内容 (2016-4-22 13:14):
补充说明： 请忽略此楼，其内容已由18#覆盖（略有修缮）。

njlyx说：“‘系统误差’之间的‘相关系数’实用中不可能利用‘皮尔荪公式’算出来”。……是因为实用中得不到所谓“系统误差‘’的充分样本，并非说那公式有什么错误！

‘’对于系统误差，由于是恒值，各个系统误差元都等于误差元的平均值，‘’………将“系统误差”当做“恒量”还有什么“范围”可言呢？

史先生论断--
【两项系统误差，可能完全无关。例如，用中国的卡尺测量矩形面积的宽边，长度为L，系统误差为ΔL(系)，系统误差相对值为1.0%；用美国的千分尺测量矩形的宽度，宽度为w，系统误差为Δw(系)，系统误差相对值也是1.0%。（随机误差可略。长度约为宽度的10倍）。
       此题按不确定度的分析，长度、宽度分别用中美两国的准确度等级不同的尺子测量，误差量间“不相关”，要按“方和根”计算，面积的相对误差是1.4%。注意，这个解是不对的。
       由于系统误差的交叉系数是-1或+1，按误差范围定义的要求，必须取最大可能值，因此交叉系数该取+1，于是合成公式应为“绝对和”。面积的相对误差是2.0%.这个解是对的，极易用长宽可能的极限值来进行检验。】

njlyx疑问——
1. 【 按“方和根”计算，面积的相对误差是1.4%。注意，这个解是不对的。】的依据是什么呢？....无论是中国卡尺测量长度的系统误差ΔL(系)=1.0%，还是美国卡尺测量宽度的系统误差ΔW(系)=1.0%，它们都只是实际系统误差δL(系)、δW(系)之绝对值一个可能最大值吧？δL(系)可能是1.0%、0.5%、-0.9%、-0.3%、0.01%、...，δW(系)亦如此。倘若知道δL(系)、δW(系)，那面积的实际系统误差δS(系)便没什么问题了，就等于δL(系)+δW(系)，只可惜没有人能确定它们究竟是多少？于是才要由ΔL(系)、ΔW(系)来“合成”δS(系)之绝对值的可能最大值ΔS(系)！而ΔS(系)究竟是按“平方和根”取为1.4%较合理？还是按“绝对和”取为2.0%较合理？甚至是按照一个较可靠的“负相关系数”取为0.8%更合理(并非绝无可能，“误差补偿”就是这么成立的)？需要进行较大量的“实验校核”——用精度已知更高的“方法”测量面积S的“（相对）真值”、考察δS(系)究竟落在什么范围内。没有人能凭空断定的。
2. 【面积的相对误差是2.0%.这个解是对的，极易用长宽可能的极限值来进行检验。】？ 若按照此逻辑，所谓“随机误差”的“合成”也只能用“绝对和”才“对”？

史锦顺 发表于 2016-4-20 18:05
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                                三论交叉系数
                                            —— 同n ...

【‘交叉系数’的本质是说明有没有抵消性。就是在求和统计中有没有抵消作用。】——“抵消性”的“缘由”正是“相关性”——

考虑两个“随机量”（总体）A、B，各自的“样本”分别为
A：a1,a2,a3,……;  B：b1,b2,b3,……;
两个“随机量”A、B之和A+B的“样本”将为
A+B：a1+ b1,a2+ b2,a3+ b3,……
A+B的“均方根值”
g[A+B]= √(｛（a1+ b1）^2+（a2+ b2）^2+（a3+ b3）^2+….+（aN+ bN）^2｝/N)
=√(g[A]^2+｛2a1* b1+2a2* b2+2a3* b3+….+2aN*bN｝/N+ g[B] ^2)
其中N是“足够大”的“样本数”;
      g[A]= √(｛a1^2+a2^2+a3^2+….+ aN^2｝/N)，是A的“均方根值”
      g[B]= √(｛b1^2 + b2^2 + b3^2+….+ bN^2｝/N)，是B的“均方根值”
定义“交叉系数”r=（｛a1* b1+a2* b2+a3* b3+….+aN*bN｝/N）/ ( g[A] g[B])
便有         g[A+B]= √(g[A]^2+ 2 r*g[A] g[B])+ g[B]^2)
（1） 如果能找到任意常数C >0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A与B“完全正相关”，则
          r=1——g[A+B]= g[A] + g[B]
（2） 如果能找到任意常数C <0,使得 bk≡C*ak,k=1~N——A与B“完全负相关”，则
          r=-1——g[A+B]=| g[A] - g[B] |
（3） 如果找不到任何常数C,使得 bk≡C*ak,k=1~N；但能找到某个非零的常数D,使得 ∑（bk-D*ak）^2取极小(其值小于∑（bk）^2),即bk≈D*ak,k=1~N——A与B“部分相关”，则
        -1<r<1
（4） 如果使∑（bk-D*ak）^2取极小的常数D=0——A与B“完全无关”，则
          r=0——g[A+B]= √(g[A]^2+ g[B]^2)

另，如果是已知A、B的“标准偏差”σ[A]、σ[B]，要求A+B的“标准偏差”σ[A+B]，那么，相应的所谓“交叉系数”便是“皮尔荪相关系数”。{注： g[A]^2= E[A]^2+σ[A]^2，其中E[A]为A的均值。 }

史锦顺 发表于 2016-4-20 18:05
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                                三论交叉系数
                                            —— 同n ...

【不同量具测得的二误差量能往一起加，就说明二量必有某种相关性。两个随机变量的交叉项，求“统计和时可以抵消，甚至为零，却不能说此二量无关——无关怎能相加？】——

此“相关性”非彼“相关性”。两个随机变量“合成”时，合成量之“标准偏差”计算公式中的“相关系数”（皮尔逊相关系数）考虑的是“两个随机变量的对应样本值与各自均值之间的‘差值’是否存在一致的线性比例关系？ 即，两个对应‘差值’样本是否按某个一致的比例跟随变化？”

14#与18#重复了，请版主删除14#。（因为14#发后被“审查”久未现，故稍加修缮后发了18#）

njlyx 发表于 2016-4-21 08:32
史先生论断--
【两项系统误差，可能完全无关。例如，用中国的卡尺测量矩形面积的宽边，长度为L，系统误差为 ...

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                                  误差合成计算例1
                                             —— 同njlyx先生辩论（4）
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                                                                                                     史锦顺
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       在测量计量界，通常使用的“误差”一词，有三层意思：误差元、误差范围或泛指二者。在特定的语言环境下，区分三层意思是可以的，但有时也产生误解。所以我专门提出关于误差元、误差范围的概念，用来明确含义，以避免误解。有了这个基础性的准备，话就可以说得更明确些。
       我先把我那按通常习惯的说法，重述一遍，大概可以消除由于“词义”问题产生的误会。本来是随便说个例子，既然njlyx认真对待这个例子（我很赞成注意实例）那我就把问题改得更符合实际些。以便较深入地讨论。
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       问题的本质是对“测量本身能干什么、不能干什么、通常的要求是什么”的不同理解。不能回避的问题是：在实际工作中，应该怎样处理？
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（一）史文题目的重新表达
       例1
       求面积测量的误差范围。用中国的卡尺测量矩形钢板条的长度，长度L的测得值为400.00mm,卡尺误差范围指标是R(L)=0.04mm (测得值重复性0.01mm,可略)；用美国的千分尺测量矩形的宽度，宽度w的测得值为 40.000mm(测得值重复性0.001mm,可略)，误差范围指标是R(w)=0.004mm.
       两项误差范围，完全无关。是取“方和根”，还是取“绝对和”？
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（二）两种分析计算
       （1）按相关系数分析
       按现行的不确定度的分析，长度、宽度分别用中美两国的准确度等级不同的尺子测量，误差量间“不相关”，按“方和根”计算，面积的相对误差范围是0.014%.
       按GUM的F.1.2.1条款或按《JJF1059.1-2012》4.4.4.1条款1）：xi和xj中任意一个量可作为常数处理；协方差可以忽略。于是按“方和根”计算，面积的相对误差范围是0.014%.
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       （2）按“交叉系数”分析
       要处理的是求间接测量的误差范围。而分项误差是测量仪器的误差指标值（通常要处理的间接测量的误差合成，大体就是这样）。
       测量仪器给出的是误差范围（最大允许误差、准确度）。通常测量仪器的误差以系统误差为主。求合成误差，就是求函数的误差范围，即合成误差绝对值的最大可能值。测量者根据说明书（检定证书）知道的是仪器的误差范围，只能从大估计，认为所用仪器的系统误差的最大值就是仪器误差范围指标值（这是保险的估计，因为测量者没有标准，也只能这样认为）。测量者进行多次测量，可以知道随机误差情况，但却不能得知系统误差的具体值，因为测量现场没有计量标准。合成误差范围的计算，条件就是这样。
       由上，该面积的长边系统误差相对值为0.010%（为结合实际，按国家标准修改原假设，道理相通），而测量窄边的系统误差相对值也是0.010%.
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       合成法选取的依据是交叉系数。二系统误差的交叉系数是-1或+1.误差范围的定义是误差绝对值的最大可能值，因此只能取+1，就是该取绝对和。就是说面积的误差范围的相对值应为0.020%.
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（三）间接测量关于误差合成的要求
       取“绝对和”，得到0.020%的面积测量的误差范围相对值，这不是“凭空断定”，是根据测量仪器指标（又必须有计量部门的公证）的科学计算。不承认这一点，就否定了误差合成的基本理论。算出0.020%，是对的；不确定度论算出的0.014%，就是错的。注意到误差范围是误差绝对值的最大可能值，分辨哪个计算结果正确，是容易的。用可能的极端尺寸，算一下面积就知道了。如果这也要争论，那就否定了数学证明的作用。
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       在测量场合，进行一项间接测量，就要求动用标准或更高级的测量仪器去敲定这一次测量的准确的误差值，是严重脱离实际的空想。现实能做到的、也必须知道的，是已知分项的测量仪器误差指标，就该会算间接测量的误差范围；由此，也才能根据间接测量结果的误差范围要求，来选取分项测量该选用的仪器的规格。这就是实践的要求。误差合成的应用场合主要有二：第一是研制场合，那是限制分项误差的范围，以保证总误差范围。第二种场合就是在进行间接测量时，要根据分项误差范围，计算函数的误差范围。而分项误差范围，就是每项直接测量所用仪器的误差范围指标值。把分项测量的仪器误差指标值，视为系统误差，是误差合成处理的要点。
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       至于随机误差，精密测量，绝不能只测量一个数（如果数据重复，说明随机误差很小，那是另一回事，那时可以忽略随机误差），精密测量通常要测量20次以上（不能少于10次），对数据进行统计处理，或取3σ(平)作为函数误差的随机误差范围，或取各分项随机误差范围的方和根都是可以的。
       经过多次测量，经过统计处理，系统误差与测量次数无关，两个系统误差间不存在抵消作用，所以大系统误差间合成才取最大值，交叉系数 取“+”，合成方法取“绝对和”。而对随机误差来说，统计中随机误差间有抵消作用，当然就不必取“绝对和”，因为交叉项的统计和（交叉矩）近似为零。
-
       就单项随机误差来说，误差范围是什么？不是哪个具体值，而是3σ，它以99%以上的概率大于任何一个随机误差值。
       一项系统误差与随机误差3σ合成，取绝对和，也是可以的，因为它包容了一切可能的合成误差值，是符合“误差范围”的定义的。在多次测量、随机误差可大可小、可正可负、有抵消作用的条件下，在取“方根”时，交叉因子近于零，交叉项可略，于是可取“方和根”。“方和根”，也满足误差范围“绝对性”“上限性”的两大特点，是符合要求的。这种计算，比取“绝对和”值小，更接近实际，这是误差理论分析得到的好处。其条件有二：必须有随机误差存在；第二测量时必须进行多次测量。有随机误差，才有抵消的可能，而只有多次测量取平均，才能使交叉项之“统计均值”近于零。
        而对两项系统误差合成，情况却不同。在多次测量中，系统误差为恒值，系统误差的符号与量值不变，没有抵消作用，交叉系数只能是+1或-1.因为测量场合没有计量标准，也没有更高档的测量仪器，确定不了分项系统误差的具体符号，也不知道分项系统误差的具体量值，只知道分项系统误差的绝对值的上限值，那就是仪器的误差范围指标值。这就是通常的测量场合。而又必须合成误差，那两项系统误差合成就只能取“绝对和”。根据“不相关”取“方和根”是错误的，因为其不包括有50%概率出现的交叉系数为+1的情况，不是误差绝对值的最大可能值，不符合误差范围的定义。就是说，你用“方和根”算出的误差范围是1.0%，而实际的误差是1.5%，那就绝对不允许。但如果你用“绝对和”算出的是2.0%，而实际的误差是1.5%，甚至是0.5%，都是可以的。任何测量仪器的出厂误差范围指标值，都是有余量的。厂家越有名，这种余量越大。误差量的特点是“绝对性”与“上限性”；而一般量的特点是“准确性”，这是误差量与一般量的根本不同。这一点，该提醒研究测量计量的学者们注意！
-
      至于对误差进行高档次的测定，那就必须有计量标准及高档的测量仪器。第一，测量现场没有，这些事不能做。第二，如果有高档的测量仪器，原测量也就作废了。计算也没用了。
      几项系统误差一经认定其符号与量值，那就是代数计算了，不是通常误差合成理论研究的对象。所谓的误差合成，其条件都是仅知道：1、误差的性质（随机的还是系统的）；2、分项误差范围指标值是多少。误差合成理论，不能脱离这个基本条件。
-

史锦顺 发表于 2016-4-22 09:27
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                                  误差合成计算例1
                                              ...

【取“绝对和”，得到0.020%的面积测量的误差范围相对值，这不是“凭空断定”，是根据测量仪器指标（又必须有计量部门的公证）的科学计算。不承认这一点，就否定了误差合成的基本理论。算出0.020%，是对的；不确定度论算出的0.014%，就是错的。注意到误差范围是误差绝对值的最大可能值，分辨哪个计算结果正确，是容易的。用可能的极端尺寸，算一下面积就知道了。如果这也要争论，那就否定了数学证明的作用。】————？？？.......... 这似乎只是在“系统误差的“合成”必须取“绝对和””的前提下的“推论”吧？ 此“前提”正是本人疑问的焦点。

对于处理同一套测量仪器(方案)进行多次测量的误差“合成”问题，所谓“系统误差”分量的“合成”采用“绝对和”（确切说应该是按‘传递系数’加权和取绝对值——即，按相关系数取1用"合成公式"），因为这各次测量的“系统误差”分量显然是“正相关”的——就是同一套测量仪器(方案)的所谓“系统误差”分量的一系列“样本”。所谓“系统误差”，正是从其样本序列的自相关系数近似为1（变化缓慢、在一定间隔内前后取值基本一致）而“立身”的。

例如，假定某磅秤测量50kg~100kg范围内人体重的“系统测量误差分量”为Δ0=10g、“随机测量误差分量”为δ0=20g{具体数值是随意给定，无“规标”及任何经验依据}，用它先后测量A、B两人的体重（质量）分别为： mA=67.52kg、mB=65.35kg——
         A、B两人的体重（质量）之和 m1=mA+mB=132.87kg；
         A、B两人的体重（质量）之差 m2=mA-mB=2.17kg.

那么，m1的“系统测量误差分量”Δ1、“随机测量误差分量”δ1，m2的“系统测量误差分量”Δ2、“随机测量误差分量”δ2应该各为多少呢？？

“正确”的答案或许应该为：
                                         Δ1=10g+10g=20g.......确实是"绝对和"；
                                         Δ2≈10g-10g=0...........................................！！！
                                         δ1=δ2=√（20^2+20^2)=28.3g。

但是，对于处理不同测量仪器(方案)的测量误差“合成”问题，其所谓“系统误差”分量的“合成”好像没有哪个“经典误差理论” 指示应该照此（取“绝对和”）办理 。                             

史锦顺 发表于 2016-4-22 09:27
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                                  误差合成计算例1
                                              ...

【 在测量场合，进行一项间接测量，就要求动用标准或更高级的测量仪器去敲定这一次测量的准确的误差值，是严重脱离实际的空想。现实能做到的、也必须知道的，是已知分项的测量仪器误差指标，就该会算间接测量的误差范围；由此，也才能根据间接测量结果的误差范围要求，来选取分项测量该选用的仪器的规格。这就是实践的要求。误差合成的应用场合主要有二：第一是研制场合，那是限制分项误差的范围，以保证总误差范围。第二种场合就是在进行间接测量时，要根据分项误差范围，计算函数的误差范围。而分项误差范围，就是每项直接测量所用仪器的误差范围指标值。把分项测量的仪器误差指标值，视为系统误差，是误差合成处理的要点。】—— 没有人“质疑”这些专业常识。但 “误差合成”方案应该是个位在纲上、影响深远的大事，若要推广，“验证”它的“合理性”则是必要前提。况且也不是让大家去“验证”，推广者加以“验证”，让大家信服就好。


对于您例中的那两把中、美卡尺，其“系统测量误差”之间“合成”究竟取什么“相关系数”才“合理”？ 与具体情况密切相关！  倘若两者原理结构及用材相仿，又用同一套系统加以“校准”，那便应该取“相关系数”=1，即“绝对和”“合成”； 倘若两者原理结构及用材全然不同，“校准”也是各行其是，那取“相关系数”=0或许比1更“合理”？.....“相关系数”的取值是个绕不开的“难题”，可能需要“专家”根据实际情况把关。

njlyx 发表于 2016-4-22 14:22
【 在测量场合，进行一项间接测量，就要求动用标准或更高级的测量仪器去敲定这一次测量的准确的误差值， ...

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                                  要交叉系数，不要相关系数
                                                   —— 同njlyx先生辩论（5）
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                                                                                                        史锦顺
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（一）两项系统误差合成该取“绝对和”的鉴别
       两项系统误差的合成，取公式“绝对和”还是取“方和根”，哪个对，要实验鉴别，当然不能有“系统误差的合成必须取绝对和”这个前提。
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       但是，鉴别又必须有鉴别的前提。就是什么是“正”“误”的标准。
       误差合成公式正误的标准，有些特殊。就是必须符合误差量的两大特点：绝对性和上限性。
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       一般的情况是，公式计算的结果符合实际量，则公式正确；不符合则公式不对。
       但有时客观值本身是多值的。此时就要看不同的客观要求。符合大多数，是最容易被接受的观点。但有时不行。例如，一座桥，垮塌的重量是100吨到120吨。那必须限制过桥的车小于100吨。
       误差量的特点是绝对值的上限性。第一要讲绝对值，第二要讲绝对值的最大可能值（误差理论讲究99%概率意义上的最大可能值）。
       例如，仪器的随机误差可大可小，可正可负。在千万个可能值中，其单值的σ，最科学，最代表大多数（或然误差为0.6745σ），但是误差理论的着眼点是随机误差范围，是3σ。因为误差概念的本质是满足要求、合格、保险。因此误差的核心观念不是误差量本身的“准确”，而是误差量的范围，就是误差绝对值的最大值。随机误差的基本量值是3σ.随机误差的误差范围是3σ，计算是它，应用是它。
-
       一般量要求“准确”，不要大，也不要小。人们的取法就是取中心。考察公式，就是看公式的计算结果是否符合大多数。误差量的特点，是“绝对值的上限性”，关于误差的公式，着眼点在绝对值的最大可能值。公式的计算结果等于最大可能值最好，大一些也可以；但如果计算结果小于最大可能值，就不好；如果小得多，那就是不能允许的错误。
-
       主帖已证明，随机误差与系统误差合成，该用“方和根”，但有人用“绝对和”，数字大些，但不违反“上限性”这个基本点，不能算错。
       主帖已证明，两项系统误差合成，该用“绝对和”，但有人用“方和根”，数字小得多，违反“上限性”这个基本点，那就错了。
-
       话回合成公式正误的鉴别。
       先要抛开“绝对和”与“方和根”这两个公式，而用最原始的计算方法，求出具体问题的函数值（面积）的最大最小值来，以确定函数误差量绝对值的上限值R(S)。哪个公式的计算结果符合R(S),则公式正确；如果计算结果小于R(S)很多，那个公式就是错误的。
-
       原题 例1
       用中国的卡尺测量矩形钢板面积的宽边，长度测得值L为400.00mm,卡尺误差范围指标是R(L)=0.04mm (测得值重复性0.01mm,可略)；用美国的千分尺测量矩形的宽度，宽度测得值W为 40.000mm(测得值重复性0.001mm,可略)，误差范围指标是R(W)=0.004mm.
       两项误差范围，完全无关。是取“方和根”，还是取“绝对和”？
-
       如题，长度的测量结果为:
              L = 400.00mm±0.04mm
       宽度的测量结果为:
              W = 40.000mm±0.004mm
-
       A 可能的最大长度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大宽度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面积
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
-
       D 可能的最小长度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小宽度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面积
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
-
       G 面积测得值为：
              S(测)= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面积测得值的误差为
              Δ(+)= S(测)-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(测)-S(大)= -3.2mm^2
       I 面积测得值的误差范围，即误差绝对值的最大可能值为：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的计算结果，是抛开误差合成公式，而直接按部就班计算的结果，是误差范围的实际值。
        甲 【史氏新理论】：系统误差合成，交叉系数绝对值为1，用“绝对和法”，算出误差范围相对值0.020%，与实际情况（1）相符合。合成公式鉴别结论：正确。
        乙 【不确定度论与80年后的部分误差理论书籍】：系统误差合成，二系统误差不相关，均方合成，算出误差范围相对值0.014%，比实际值0.020%小约30%，与（1）式不符合。合成公式鉴别结论：错误。
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       如上可知，按交叉系数的分析，取“绝对和法”，计算结果正确；而按相关性分析，取“方和根法”，计算结果错误。
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（二）系统误差合成，与相关性无关
【njlyx观点】
       倘若两者原理结构及用材相仿，又用同一套系统加以“校准”，那便应该取“相关系数”=1，即“绝对和”“合成”； 倘若两者原理结构及用材全然不同，“校准”也是各行其是，那取“相关系数”=0或许比1更“合理”？.....“相关系数”的取值是个绕不开的“难题”，可能需要“专家”根据实际情况把关。
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【史辩】
       先生对老史提出的“交叉系数”的概念，并未认真思考。
       老史对“交叉系数”已有详尽的说明，对“相关性”的无效性也有不少分析。
       可惜的是，对这些，先生并不认真思考。先生仍是在“相关”“不相关”中转来转去，这是自讨苦吃。
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       微分原理决定了函数的误差等于自变量误差（包含传递系数）之和。误差范围定义为误差量绝对值的最大可能值。求函数误差（误差合成）就要实现两点：绝对值化、最大化。实现绝对值化的方法之一是取“方根”。即平方再开方。精密测量要进行多次测量，数据处理就要统计平均。
       二量和平方的展开式中必有交叉项，交叉项能否忽略，决定该取那种合成法。
       二项合成，交叉项能忽略的条件是必须分项误差间有抵消作用。随机误差可正可负，有抵消作用，可取“方和根”；而两项系统误差合成，这两项误差的符号是确定的，量值是恒定的，对N次测量的统计平均，仍是二者乘积的原值、原符号，没有抵消作用，推导不出“方和根”来。直接推导结果只有“绝对和”与“绝对差”两种，可能性各占50%. 鉴于误差范围的定义是最大可能值，因此只能取“绝对和”。这就是两项大系统误差间必须取“绝对和”的道理。这里与“相关性”无关；“相关性”不是不能绕开，而是必须避开。没用的东西，不理它就是了，何必作茧自缚？
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       如果系统误差项很多，有N项，则交叉项有N(N-1)/2项。N=5,交叉项10个；N=10，交叉项45个。考虑到交叉系数有正有负（是+1或是-1，概率各占50%），在N较大时，可以认为交叉项大部分抵消，因而可以用“方和根”。但对仅有两项系统误差的情况，或对多项误差中的两项大系统误差，则不能按“方和根”合成。否则就出错。
       以上讨论仅仅涉及误差的性质（系统误差还是随机误差），误差大小（是不是大系统误差），系统误差项目多少；而不涉及系统误差间是否相关。
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       结论：误差合成法的选取，决定于“交叉系数”而与“相关系数”无关！
       要交叉系数，不要相关系数！
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  【原题 例1
       用中国的卡尺测量矩形钢板面积的宽边，长度测得值L为400.00mm,卡尺误差范围指标是R(L)=0.04mm (测得值重复性0.01mm,可略)；用美国的千分尺测量矩形的宽度，宽度测得值W为 40.000mm(测得值重复性0.001mm,可略)，误差范围指标是R(W)=0.004mm.
       两项误差范围，完全无关。是取“方和根”，还是取“绝对和”？
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       如题，长度的测量结果为:
              L = 400.00mm±0.04mm
       宽度的测量结果为:
              W = 40.000mm±0.004mm
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       A 可能的最大长度
              L(大)=400.04mm
       B 可能的最大宽度
              W(大)=40.004mm
       C 可能的最大面积
              S(大)= 400.04mm×40.004mm   
                   = 16003.2 mm^2
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       D 可能的最小长度
              L(小)=399.96mm
       E 可能的最小宽度
              W(小)=39.996mm
       F 可能的最小面积
              S(小)= 399.96mm×39.996mm   
                   = 15996.8 mm^2
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       G 面积测得值为：
              S(测)= 400.00mm×40.000mm
                   = 16000.0 mm
       H 面积测得值的误差为
              Δ(+)= S(测)-S(小)= 3.2mm^2
              Δ(-)= S(测)-S(大)= -3.2mm^2
       I 面积测得值的误差范围，即误差绝对值的最大可能值为：
               R=|Δ|max
                = 3.2 mm^2
               R/S = 0.020%                                                                       （1）
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        如上的计算结果，是抛开误差合成公式，而直接按部就班计算的结果，是误差范围的实际值。
        甲 【史氏新理论】：系统误差合成，交叉系数绝对值为1，用“绝对和法”，算出误差范围相对值0.020%，与实际情况（1）相符合。合成公式鉴别结论：正确。
        乙 【不确定度论与80年后的部分误差理论书籍】：系统误差合成，二系统误差不相关，均方合成，算出误差范围相对值0.014%，比实际值0.020%小约30%，与（1）式不符合。合成公式鉴别结论：错误。
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       如上可知，按交叉系数的分析，取“绝对和法”，计算结果正确；而按相关性分析，取“方和根法”，计算结果错误。】？？？？

       按这种“证明”方法，所有的“误差合成”都应该取“绝对和”？！所谓“随机误差”的“合成”也逃不过您的“法条”？！多次重复测量取平均值能改善“精度”的事实也将被您的“上限论”颠覆！

      既然讨论“随机量”的问题，成熟、基本的“统计理论”还是应该用的，要在约定的包含概率下说事，95%、99%、99.73%、...，无论（规矩）定什么，都要有个“准数”，笼统的"上限论"是个无边无际的概念！ 即便是99.73%对应的“正态分布的3σ区间”，与99.9%、99.99%对应的“区间”也有明显（甚至成倍）的差异！

     对您用“交叉系数”取代“相关系数”进行“误差合成”的方案不能赞同。