在测量计量中怎样正确运用微分法——《史法》之应用.

史锦顺

                在测量计量中怎样正确运用微分法
                          ——《史法测量计量学》之应用
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引言
    微分法是误差理论的基本方法。不过微分法在测量计量中应该怎样用，却颇费思量。
    我于1963年夏北大毕业分配到国家计量院。测量计量的基本理论与基础工作是误差分析。看了些国内外文献资料后，产生一个疑问：为什么微分值就是误差（元）？此事在脑中存疑三十多年。想通了，做学术报告、发表文章，已经快退休了。好在“退”而未“休”，专心于研究、推广，近二十五年了。赞成者几人？我确信：能懂者不少，但不敢相信者很多——中国的一个普通研究者也能创立一种基础性很强的新学说吗？我认为，学术研究，理论基础是重要的，但更重要的是逻辑思维。就当前世界测量界的基础应用理论被不确定度体系造成的混乱来说，中国学者要挺起脊梁，建立有中国特色的新学说。

    误差是测量值同实际值之差。微分是自变量的改变量与函数改变量之间的关系。二者怎么联系起来？
    被测量的量是客观存在的量，简称被测量。人们对被测量的认知就是测量值。
    人们如何认知被测量的量值？那就要知道这个量同其他物理量的关系，就是知道与该被测量相关的物理公式。以实现被测量同已知量的比较。这就要引用或建立物理公式。

第一部分  在测量中怎样正确运用微分法

一 测量的误差分析

1 建立物理公式
    第一步，建立物理公式，是测量的基础。物理公式是实际值之间的关系式。实际值就是客观的值，在经典测量学中又被称为“真值”。
    物理公式中的值，都是实际值，都是真值。物理公式是客观物理规律的定量表达。物理公式中的量值是确定的、可知的。
    近代物理学的哲学基础是唯物论，物理量之间的关系是客观的。物理公式就是物理量之间的数学表达式。物理量的量值必然是可知的。
    将待测量表为相关量的函数，得测量计量学的物理公式。

    不确定度体系问世（1993）的理由是“真值不可知”，“误差不可求”，要“评定不确定度”。其哲学基础是不可知论。否定物理公式中的量值是可知的，不建立严格的公式，而作“模型”，不进行严格的计算，却胡乱“估计”。否定物理公式中量值的客观性、可知性，这是对近代物理学的全盘否定。这当然是错误的：被否定的只能是不确定度体系本身。

2 建立计值公式
    测量是将待测量与已知量进行比较。测量仪器必须有机内标准，能实现待测量与机内标准的比较。其比值加测量单位，就是仪器示值，就是测量值。
    物理公式中的量是客观实际值。在物理公式的量值上，加上脚标，就构成计值公式。计值公式中必有一个是认定值，就是机内标准的标称值，用脚标n来表示。标准的标称值就是标准的定义值。它是物理量的定义确定的，一般是由上一级标准传递而来的。计值公式中的其他值是测量得到的。

3 建立测量方程
    把计值公式同物理公式联立，得测量方程。
    计值公式与物理公式之比，是函数相对差的表达；计值公式与物理公式之差，是函数绝对差的表达，二者等效。依应用方便而选用。

4 建立测量值函数
     由选用的测量方程，直接解出测量值函数。

5 求测量值函数的微分；变成差分，得到误差元
    决定测量值函数的量，包含物理公式、计值公式的全部的量。重要的一步，是分辨常量与变量。由于计值公式是物理公式加脚标而来，因此，各量成对；其中一量是常量，另一量是变量。
   
    在测量中，任务是用测量仪器认知被测量的量值。计值公式的机内标准的标称值是常量，与其对应的物理公式的量是变量。此外其他的量，物理公式中的量是客观存在，是常量；而计值公式中的量是经过测量而知的各自的测量值，是变量。

    在计量中，是在有测量标准的条件下，测定被检仪器的误差范围。要测定随机误差范围3σ（精密度）；测定系统误差β；合成而为计量测得的误差范围R_计，若R_计小于仪器误差范围指标值，则被检仪器合格；否则不合格。计量中，微分法的应用，容易出错，本文第二部分专述。


二 几项测量误差分析的实例

例1  米尺测量长度
       米尺有长度刻度。米尺上的刻度是米尺长度的标称值，与米尺的实际长度有区别。
       设米尺的实际长度是D，标称长度（刻度值）是D_n；被测物的实际长度是L， L是被测量的实际值，测量值是L_测。
       长度测量的方法是对齐米尺与被测量。零点对齐，读被测量终端对应的米尺刻度，就是被测量的测量值L_测。

（一）《史法测量计量学》的分析
符号：
L——被测量长度的实际值
L_测——被测量长度的测量值
D——米尺长度的实际值
D_n——米尺长度的标称值

      物理公式
               L = D                                       （1.1）
       计值公式
               L_测 = D_n                                   （1.2）
       测量方程
               L_测 /L = D_n/D                             （1.3）
       测量值函数
                L_测 = (D_n/D)L                              （1.4）
  
A 微分法
       注意，微分是对变量微分，要区分常量与变量。
       测量值函数中，D_n是标称值，相当于定义值，是常量。尺长的实际值是变量。被测量的实际值，在讨论测量问题时是常量，而测量值L_测 是变量。
              dL_测={ ∂[(D_n/D)L]/ ∂D} dD
                  = D_nL(-1/D²) dD
              ΔL_测 = - (LD_n/D)( ΔD/D)
              ΔL_测 /(LD_n/D) = - ΔD/D
              ΔL_测 /L _测= - ΔD/D
              δL_测 = -δD                                         （1.5）

B 小量法
              L_测 = (D_n/D)L  
              L+ ΔL_测 = [D_n/(D_n+ΔD)]L  
              (L+ ΔL_测)/L = D_n/(D_n+ΔD)
              1+δL_测=1/(1+ΔD/D_n)
              1+δL_测=1-δD
              δL_测 = -δD
       微分法与小量法分析误差，结果相同。
       （1.5）式表明，米尺测量的相对误差，与尺长的相对误差成反比。例如，温度升高，米尺热膨胀，米尺的实际长度增大，于是测量值减小。
       通常，米尺热膨胀引入的误差可略。裁缝用的布质米尺，可能被拉长，那测量值就可能明显缩小。这是不当操作。
       米尺的主要误差来自制造时刻度的误差。有系统误差项，是比例值，另有分辨力。
              ΔL_刻度=kL+分辨力                             （1.6）
       用米尺测量长度，米尺的刻度就是标准值，称为标称值。在误差分析中，它是常量。在米尺的应用中，对齐的刻度值又是测量值。
       《史法》的分析与经典测量计量学是分析是一致的；只是规范些。

       《JJG4-1999钢卷尺》给出的误差计算公式为
               Ⅰ级：Δ=±(0.1+0.1L)mm
               Ⅱ级：Δ=±(0.3+0.2L)mm
       其中，L是以米为单位的长度。当长度不足米的整数倍时，取接近的最大“米”数。

（二）经典误差理论分析的缺点
       经典的误差分析，对物理公式直接微分。由于没有区分变量与常量，误差元差个正负号。由于应用的是误差范围，是对误差元取绝对值（最大可能值），符号不影响应用。因此，评价可用，但有缺点。

（三）不确定度体系无法用
       由于不确定度没有基本来源，说是“区间”，是集合的概念，却没有构成集合的元素。乃是无源之水，无本之木。
       对米尺的分析，不确定度没有那个功能。而对游标卡尺的分析，不确定度体系则全错了。没有通用的、合理的方法，出错是必然的。
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（待续）

史锦顺

（接1^#）

例2 游标卡尺测量长度
【游标卡尺设置】
       1)分辨力0.05mm
       副尺的刻度是将主尺的19mm,刻为20。副尺长刻度值20，代表1mm。则副尺每个刻度值代表0.05mm.
       2)分辨力0.02mm
       副尺的刻度是将主尺的49mm,刻为50。副尺长刻度值50，代表1mm。则副尺每个刻度值代表0.02mm.
       3)分辨力0.1mm
       副尺的刻度是将主尺的9mm,刻为10。副尺长刻度值10，代表1mm。则副尺每个刻度值代表0.1mm.

【游标卡尺读数方法】
       以最常用的分辨力0.05mm的卡尺为例。
       根据副尺零线以左的主尺上的最近刻度读出整毫米数；2）根据副尺零线以右与主尺上的刻度对准的副尺刻线数乘上0.05mm，读出小数；3）将上面整数和小数两部分加起来，即为长度测量值。

【道理理解】
       以分辨力0.05mm的游标卡尺为例。归零时，主尺0刻度对准副尺0刻度。主尺19mm对准副尺刻度20。这是整数对齐。副尺除0与20外，各刻线都不与主尺刻线对齐。副尺的刻度i与其右侧的主刻线的距离是0.05imm。被测量的物长，使副尺右移。右移0.05mm,则副尺刻度1与主尺刻线对齐；右移0.05imm后，则副尺刻度i与主尺刻度线对齐。因此，副尺的第i刻线与本在其右的主尺刻线对齐，说明物长使副尺向右移动0.05imm，这个值就是物长的值。
同理，物长的整数点可作为副尺的起算点。副尺0刻度对准主尺整刻度DO，副尺刻度20对准主尺刻度DO+19mm。这是整数对齐。副尺除0与20外，各刻线都不与主尺刻线对齐。副尺的刻度i与其右侧的主刻线的距离是0.05imm。被测量的物长从整数Do增加，使副尺右移。右移0.05mm,则副尺刻度1与主尺刻线对齐；右移0.05imm后，则副尺刻度i与主尺刻度线对齐。因此，实测中出现的副尺的第i刻线与本在其右的主尺刻线对齐，说明物长使副尺从D_o点向右移动0.05imm。这个示值D_o+0.05imm就是物长的测量值。

        


（一）《史法测量计量学》的分析
       设游标卡尺的主尺实际长度是D，标称长度（刻度值）是D_n；副尺的刻度是d_n。被测物的实际长度是L， L是被测量的实际值，测量值是L_测。

       物理公式（客观实际值）
              L = D+ (0.05mmi)                                           （2.1）
       计值公式
              L_测 = D_n + (0.05mmi)_n                                   （2.2）
       测量方程
              L_测 - L = [D_n+(0.05mmi)_n] - [D+(0.05mmi)]       （2.3）
       测量值函数
              L_测 = [D_n+(0.05mmi)_n] - [D+(0.05mmi)] + L      （2.4）

       对测量值的常量变量分析。不加脚标的量都是物理公式中的量，是实际值、客观值，经典测量学叫真值（真字不必加。称实际值最好）。带有脚标n的值是定义值（由上级标准刻度机传递过来），而不带脚标的被测量是变量。
       用差分法求误差元。
               r = L_测-L
                 = D_n-D +(0.05mm i)_标称-(0.05mm i)_实长          （2.5）
       （2.5）式所示游标卡尺的误差元，由制造卡尺时刻度机的准确度水平决定。
【由误差元求误差范围】
       《史法》与经典测量理论分析结果相同，只是过程规范些。

（二）经典误差理论结果
       卡尺误差，取决于主尺刻度误差与副尺的刻度误差。卡尺国家标准（GB/T21389-2008）给出的卡尺误差范围（本例如图中红线）如表1

        

       量程150mm、分辨力0.05mm的游标卡尺的误差范围（最大允许误差）的计算公式为
              R = 40μm+0.06Lμm                               （2.6）
       其中L是量程分段的上限值。本例卡尺，L为150，代入公式计算R为49μm，这是量程内的最大点。放大规整，取为0.05mm，适用于量程各点。
       公式（2.6）的值，是加工时的刻度准确度决定的。第一项表明分辨力误差，第二项是系统线性偏移，与被测量长度成正比。      

（三）不确定度体系对卡尺性能的评定
    中国合格性评定国家认可委员会 编译《校准领域测量不确定度评估指南》（CNAS-GL09:2008）p42；倪育才：《实用不确定度评定》p150）实例 游标卡尺的校准（根据欧洲认可合作组织提供的实例改写）
    CNAS-GL09:2008）p42（倪书《实用不确定度评定》p150）摘抄
   （以下带下划线的部分是原文。）

    一、测量原理
    用一级钢量块作为工作标准校准游标卡尺。主尺的测量范围为150mm,主尺的分度间隔为1mm，游标的分度间隔为1/20mm,故读数分辨力是0.05mm.
    用标称长度在（0.5--150）内不同长度的量块作为参考标准来校准卡尺的不同测量点，例如0mm,50mm,和150mm.但所选量块长度应使它们分别对应于不同的游标刻度，例如0.0mm,0.3mm,0.6mm和0.9mm。
    本实例对用于外径测量的游标卡尺校准进行测量不确定度评定。校准点位150mm。-
    二、数学模型
    卡尺的示值误差Ex可表示为：
           Ex=Lix-Ls+δLix+δLM+温度项
式中：
    Lix——卡尺的示值
    Ls——量块的长度
    δLis——卡尺有限分辨力对测量结果的影响
    δLM——机械效应，如测量力、阿贝误差、量爪测量面的平面度和平行度误差等对测量结果的影响
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    三、输入量标准不确定度的评定和不确定度分量
    （1）测量Lix
    进行了若干次重复测量，未发现测量结果有任何发散，故读数并不引入任何有意义的不确定度分量。对于150mm量块的测量结果为150.10mm.于是其示值误差Ex以及读数引入的标准不确定度为
         Ex=150.10mm-150mm=0.10mm
         u(Lix)=0
对应的不确定度分量-
         u1(Ex)=0
    （2）工作标准Ls
    作为工作的量块长度及其扩展不确定度由校准证书给出。由于在计算中使用量块的标称长度而不是实际长度，并且量块的校准证书符合一级量块的要求，故其中心长度的偏差应在±0.8μm范围内，并假定其满足矩形分布。于是其标准不确定度为：
         u(Ls)=0.8μm / (√3)=0.462μm
灵敏度系数为1，故对应的不确定度分量为
             u2(Ex)=0.642μm
    （3）温度差（分析略）
         u3(Ex)=1.99μm
    （4）卡尺分辨力δLix
    卡尺刻度间隔为50μm,故可以假设分辨力对测量结果的影响应满足误差限为±25μm的矩形分布，灵敏度系数为1，于是对应的不确定度分量为
           u4(Ex)=25μm / (√3) = 14.4μm
    （5）机械效应δLM
    机械效应包括：测力的影响、阿贝误差        以及动尺与尺身的相互作用等，此外还有量爪测量面的平面度、平行度以及测量面相对于尺身的垂直度等。估计这些影响合计最大为±50μm并假定满足矩形分布。由于灵敏系数为1，于是对应的不确定度分量为
           u5(Ex)=50μm / (√3) = 28.9μm
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    合成标准不确定度
           uc(Ex)=√(0.462^2+1.99^2+14.4^2+28.9^2)=32.4μm
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     扩展不确定度
     由于最后的合成分布不是正态分布，而是上、下底之比为β=0.33的梯形分布，而梯形分布的包含因子k95=1.83,于是
         U95(Ex)=1.83 × 32.4μm = 0.06mm
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     CNAS(原文)：结果报告
     在150mm测量点，卡尺的示值误差是 Ex=(0.10±0.06)mm

【史锦顺对此评定的评论】
    这个评定样板，是欧洲合格性合作组织给出的，又经中国国家合格性认可委员会的推荐为“指南”，因此，权威性很高。倪育才的书也全文引用。吹得很高，实际是个全盘错误、根本错误。方法本身就不对；实际的评定更错。
    1 胡乱估计
    测量、计量是实验技术。测量靠仪器，计量靠标准。一切凭实测数据说话。计量是保证测量准确的社会行为，计量权威的基础，是实验事实、是测量结果。计量是社会公证：第一符合实际，第二符合法律，第三对用户负责，不把不合格的仪器误判成合格，第四对生产厂家负责，不把合格仪器误判为不合格。
    中国合格性评定国家认可委员会所引用的欧洲合格性合作组织的样板评定，即倪书所引的不确定度评定的上述过程，主要部分δLM，纯属胡乱估计，是瞎编。
   2 离奇的结果
    本评定的最后结果是被检游标卡尺的示值误差为(0.10±0.06)mm，就是说，此游标卡尺的示值误差的可能值是0.04mm到0.16mm。也就是说，此卡尺示值误差的最大可能值为0.16mm。而我国的国家标准规定，此类卡尺的允许误差是±0.05mm。
    卡尺国标与卡尺检定规程，都规定量程150毫米、分辨力0.05毫米的卡尺，最大允许误差是0.05毫米。而此例的评定结果却是示值误差最大可能为0.16毫米。竟相差3倍多。是产品真的不好，还是评定方法不对？我看是：1 瞎编数据；2 不确定度评定方法错误。根本就不能进行此种评定；照此评定法，就不会有任何一把卡尺合格。计量本身的不确定度已是0.06mm,而其误差最大允许值是0.05mm，二者之差已是负值，已没有合格的通道。
    3 要害问题是抛开实测
    此不确定度评定中，影响最大的项是第5项即机械效应项。
    为什么估计量是±50μm？为什么不估计为10μm？又为什么不估计为100μm？大了小了，都是没有根据的废话。计量工作，居然编造数据，不仅无理，而且荒唐。如此荒唐的编造，竟成为中国国家合格性认可委员会的标准文件的样板，真让人没法说话……。

    没有基于物理公式的计算，抛开实测而搞评估，是不确定度评定弊病的根源，是根本性的错误。不确定度评定是评估，是脱离实际、否定个性的作法。既不能根据物理公式进行计算，又不实际测量，却凭空搞估计，是思想路线的错误，是计量历史的一次大倒退。
    这个评定错误不是中国人的错，评定者是欧洲合格性组织。这是不确定度论本身的错。国家合格性认可委员会不该把它当成好东西向读者推荐，更不该当作“指南”。
    “游标卡尺的不确定度评定”这个例子说明：不确定度体系是伪科学，必须废弃！

（待续）

史锦顺

例3  杆秤测量重量
1 杆秤的物理公式
       杆秤是称重仪器。重量是质量的俗称。
       杆秤、台秤都利用杠杆原理。用杠杆称重量，平衡靠重力，粗看起来，测得值似乎是重力。其实不然。在称重的平衡条件中，重力加速度g被消掉，因此，称重就是质量测量。
1.1 杆秤原理示意图
       图1  杆秤原理示意图                 
               
       图1为杆秤原理示意图。物体的质量为m_重，砣的质量为m_砣，重物臂长L_重，平衡时砣臂长（示值臂长）为L_示。平衡时力矩相等，有
              F_重L_重 = F_砣L_示
              m_重 g L_重 = m_砣 g L_示
              m_重 = (L_示/L_重)m_砣                                    （3.1）
       m_砣、L_重为已定常数，故可由L_示确定物体的质量m_重。注意，秤砣是质量标准，常用秤砣是5等砝码（老制）。实际杆秤与理想杆秤的差别，仅L_示的起算点不同。
       杆秤称出的是质量m_重，我们通常称它为重量，可见重量就是质量。

1.2 杆秤的零点平衡
       图1理想杆秤忽略了支点左右秤杆的质量和秤盘的质量。
       设秤盘（秤钩）的质量为m_盘，处在A点。以支点C为界，右杆质量为m_右，质心在B点；左杆质量为m_左，质心在D点。空载定零点：设秤砣置O点时秤平衡，O点称零点。                                                         
       图2  杆秤零点平衡
                                             
       杆秤零点平衡条件为：
              F_盘AC + F_右BC +F_砣OC = F_左CD                     （3.2）

1.3 杆秤的称重平衡
       图3  杆秤称重平衡
                               
       秤盘上加重物后，设砣移至X点时秤平衡。
       称重平衡条件为：
                F_重AC + F_盘AC + F_右BC = F_左CD + F_砣CX         （3.3）
       （3）式左边减（2）式左边等于（3）式右边减（2）式右边，有：
               F_重AC – F_砣OC = F_砣CX
               F_重AC = F_砣CX + F_砣OC        
               F_重AC = F_砣OX
               m_重gAC = m_砣gOX
       OX记为L_示
              m_重 = (m_砣/L_重)L_示                                        （3.4）
       比较（3.4）式与（3.1）式可知，实际杆秤与理想杆秤的平衡条件仅砣臂的起算点不同。
       物体重量由从零点计起的砣臂长度示出。以上便是实际杆秤的测量原理。公式（3.4）是杆秤的物理公式。

2 杆秤的设计与制作要点
       我读初中时，在辽宁连山。在市场旁，见过卖杆秤的个体手工业者现场制作杆秤。那时所见及现在的理解，大致说一下杆秤的设计与制作。
（1）明确杆秤的量程，选择秤砣（外购，有标称值与误差范围指标值）。
（2）制作硬木秤杆，选取支点位置，使坨臂与重臂的比例约为称重上限（量程）与砣重之比。
（3）确定杆秤零点（O点）。
（4）用杆秤称一砝码，确定定标点X_O。那点表示所用砝码的重量。这样，特定长度OX_O的刻度值就表示所称砝码的重量。长度的刻度，就成了被测量重量的示值。定标一点，就确定了（4）式的比例系数。公式（4）表明物重与坨臂长有线性关系，因此，可以倍增OX_O与均分OX_O.在各点上，打小孔，插入铜丝，锉平，便有了表示重量示值的“秤星”。

3 计值公式
       对（4）式进行简化，W —物重；m —砣重，l —重臂，L —砣臂
              W = (m/l)L                                               （3.5）
       对物理公式（3.5）加脚标，得计值公式
              W_测 = (m_n /l_定)L_示                                    （3.6）
       m_n是秤砣的标称质量； l_定是确定零点、定标时的重臂长度，L_示是坨臂长度的显示值。

4 测量方程
       测量方程的相对值形式
              W_测 / W = (m_n /m)( l_定/ l)(L_示/L)                  （3.7）

5 测量值函数
       测量值函数为
              W_测 = (m_n /m)( l_定/ l)(L_示/L)W                     （ 3.8）
       误差（元）函数为
              r = W_测- W = (m_n /l_定)L_示  = (m/l)L
                =(m_n /l_定)L_示 -(m/l)L                                  （3.9）
       误差范围为
              R = │W_测- W│_max
                = │(m_n /l_定)L_示 -(m/l)L│_max                       （3.10）

-
6 误差分析
6.1 常量与变量识别
W_测——被测物体的重量测量值——变量
W ——被测物体的重量实际值——常量
m ——秤砣的质量（重量）实际值——变量
m_n ——秤砣的质量（重量）标称值——常量
l —— 测量时重臂长度——变量
l定 —— 定标时重臂长度——常量

6.2 微分法
      测量值函数为
              W_测 = (m_n /m)( l_定/ l)(L_示/L)W
      测量值函数的全微分
             dW_测 = (∂W_测/∂m)dm+(∂W_测 /∂l)d l +(∂W_测 /∂L_示)dL_示
                     = W m_n ( l_定/ l)(L_示/L)W（-1/m²）dm
                       + W(m_n /m)(L_示/L)W l_定(-1/l²)d l
                       + W(m_n /m)( l_定/ l)(1/L)dL_示
             dW_测 = -W_测(1/m)dm - W_测(1/l)dl+ W_测(1/L_示)dL_示
       写成相对值的形式：      
             dW_测/W_测= - (1/m)dm - (1/l)dl+ (1/L_示)dL_示
             δW_测 = δL_示 – δm  - δl                                 （3.11）

6.3 小量法
       用（3.6）式
              W_测 / W = (m_n /m)( l_定/ l)(L_示/L)   
              (W +ΔW_测) / W = [m_n /(m_n+Δm)][ l_定/(l_定+Δl)][(L+ ΔL_示)/L]
              (1+δW_测)= [1 /(1+δm)] [ 1/(1+δl)] [1+ δL_示]
              (1+δW_测)= [1-δm]] [ 1-δl]] [1+ δL_示]
              (1+δW测)= (1-δm-δl+δL示)
              δW_测  = δL_示 – δm  - δl                              （3.12）
       （3.12）式与（3.11）式相同。可见，小量法与微分法等效。

6.4 误差因素分析
       砣臂长约1米，砣重500克，重量量程10千克。以下分析，针对量程最大刻度点（FS）。此点的绝对误差是引用误差，适用于量程各点，代表全量程的准确程度。

A）杆秤刻度的相对偏差与测得值的相对偏差成正比
A₁) 零点定位偏差上限0.5mm。杆长1米，引入误差范围5×10^-3。相当于重量刻度5克。
A₂) 示值点误差上限0.5mm。引入误差范围5×10^-3。相当重量刻度5克。
A₃) 温度影响10^-5量级，可略

B) 测量值的相对偏差量与砝码的相对量偏差成反比
       如果秤砣的质量比标称值小，则重量测得值比实际值偏大。如果商家把秤砣挖掉1/20，称秤显示的10公斤大米，实际上只有约9.5公斤。如果秤砣上沾有1/20砣重的泥巴，砣大，则示值偏小，示值为10公斤的大米，实际重量就约为10.5公斤了。
       秤砣相当最低档的砝码。M3等级的500克砝码，误差范围为0.25克，相对误差范围是0.5×10-3

C）坨臂变化，即定标时与应用时的差别，主要是温度影响，约10^-5量级，可略。

D) 分辨力0. 2mm,相当于重量刻度2克。

7 杆秤误差范围指标：准确度
       综合上述分析与计算，按“绝对和”合成，满度点的误差范围为17克。
       给定此秤的误差范围指标值为20克。就是准确度为20克。

       市场管理，对商品零售时称重的要求
表1
粮食、蔬菜、水果或不高于6元/kg的食品


        m≤1kg               20g
        1kg<m≤2kg        40g
        2kg<m≤4kg        80g
        4kg<m≤25kg     100g

表2
肉、蛋、禽、海（水）产品、糕点、糖果、调味品或高于6元/kg，但不高于30元/kg 的食品


        m≤2.5kg                  5g
        2.5kg<m≤10kg        10g
        10kg<m≤15kg         15g


       由表1可知，以上杆秤，各点的绝对误差范围是20克，满足所列各项交易的称重准确度要求。此秤可以用于表1所列各项交易。
       由表2可知，以上杆秤，各点的绝对误差范围是20克，不满足表2所列各项交易的称重准确度要求。就是说，此秤不能用于表2所列各项交易。      

       思考题1  设计一杆秤，满足表2的要求



（待续）

史锦顺

例4  计数式频率计的误差分析

【史锦顺提示】以下是对计数式频率计的分析。请注意，这套误差分析总结出测量仪器误差的共同规律——偏倚正态分布。这在测量计量领域是十分重要的。这可以深化人们对测量仪器误差分布规律的认识，简化多种工作。
-
1 晶振频率分布图——偏倚正态分布

2 数字式频率计的误差分布——偏倚正态分布
2.1 数字式频率计的误差与机内晶振频率偏差的关系
2.2 数字式频率计的误差分布——偏倚正态分布
2.3 数字频率计的测量结果
。
3 偏倚正态分布是通常测量仪器的普遍规律

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     关于计数式频率计的误差分析，请见本栏目《 测量仪器误差的共同规律
——偏倚正态分布》一文
http://www.gfjl.org/forum.php?mod=viewthread&tid=223208&extra=page%3D2
-
（以下图删掉）
（待续）

史锦顺

例5  测速误差分析
引言

一 多普勒测速公式的推导


二 求多卜勒测速误差的准备程序
1 多卜勒测速的物理公式
2 多卜勒测速的计值公式
3 测量方程
4 测量值函数

三 基于测量值函数的误差分析
1 求误差元
2 求误差范围

    自变偏差统计的定义与公式
    定义1 自变偏差元
    定义2 自変偏差范围   

【表征精密度的标准偏差】

【 阿仑方差的扬弃】

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      这部分内容详见本栏目“速度测量的误差分析—《史法测量计量学》应用1 ”一文
http://www.gfjl.org/forum.php?mod=viewthread&tid=224372&extra=page%3D1

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（待续）

kongshuqin

这才是真正有用的东西，感谢分享！

史锦顺

（上接5^#）

第二部分 在计量中怎样正确运用微分法
    测量计量是普通而又古老的学科。
    测量要求测量仪器准确。测量仪器的准确由计量来监督保证。
    测量是认识、确定量值。计量是认识、确定测量仪器的误差。

1 计量的误差分析
    A 差分法
    必须认清：求什么，用什么，靠什么，得什么。要明确：分析计量的误差，是分析计量活动的影响，自变量必须是计量的因素，而被测量的测量值函数在计量中是常量。
    测量是用测量仪器测量被测量，以求得被测量的值。而检定是用被检仪器来测量已知量值的标准，以求得测量仪器的误差，看是否合格。检定是测量的逆操作。测量仪器的误差，是检定的认识对象。检定的目的是求得仪器的误差，而得到的是仪器示值与标准标称值之差；对计量本身的误差分析，就是求这二者的差别。
    记测量值为M，计量标准的标称值为B，标准的实际值为S；仪器的误差元（以实际值为参考）为r_仪，检定得到的仪器测量值与标准的标称值之差值为r_视，标准的偏差元为r_标。
    1）被检测量仪器的误差元（定义值）为：
             r_仪 = M – S                                                                （1.1）
    2）检定得到仪器的视在误差元（以计量标准的标称值为参考）：
             r_视 = M – B                                                                （1.2）
    3）标准的偏差元为                     
             r_标 = S - B
    4）（1.2）与（1.1）之差是计量误差元：
             r_计 = r_视 – r_仪 =（M-B）-（M-S）
                  = S–B
                  = r_标                                                                       （1.3）
    误差范围是误差元的绝对值的最大可能值。误差范围关系为：
             |r_计|_max = |r_标|_max
即有
             R_计 = R_标                                                                   （1.4）
    小r表示误差元，大R表示误差范围。（1.4）式是计量误差的基本关系式，计量误差由标准的误差决定。计量误差与被检仪器的误差因素无关。

   B 微分法  
    注意：测量的认识对象是被测量；而计量的认识对象是被检仪器的误差。微分必须对应因果关系：自变量的变化引起函数的变化，这个变化必须是“着眼点”的因果关系。

    1）计量中的物理公式
               r_仪 = M – S                                                          （1.5）

    2）计量中的计值公式
               r_视 = M – B                                                          （1.6）

    3）计量中的测量方程         
               r_视 –r_仪 = S - B                                                                   （1.7）

    4）计量中的测量值函数
               r_视 = S – B + r_仪                                                  （1.8）

   5）计量中的微分
    请注意，B是计量标准的标称值，是常量。S是计量标准的实际值，是变量。r_仪是仪器误差的定义值，是常量。（r_视是r_仪的测量值。r_视是测量值，是变量；与其对应的r_仪是常量）。        
               dr_视 = dS      
               Δr_视 = ΔS                                                                （1.9）               

    比较一下即知，（1.9）式就是（1.3）式：
                r_视–r_仪 = S–B

    6）计量的误差范围
                R_计 = |Δr_视|_max
                    = |ΔS|_max
                    = |S - B|_max
                    = R_标                                                              （1.10）

    7）计量的合格性判别公式为
                |Δ|_max ≤ R_仪指标 - R_标                                             （1.11）



2 不确定的度体系在对计量的分析中，微分错误
    不确定度体系的基本模型不当，混淆对象与手段的关系，得出的计量误差公式错误，导致计量的合格性判别公式错误。这关系到计量界每时每刻的具体业务工作；应尽快更正。“合格性判别公式”的正误，是计量界必须弄清楚的。

2.1 不确定度体系的计量的误差公式错误
    不确定度体系的基本模型不当，微分看错变量，导致计量误差公式错误。
    计量中，不确定度评定的测量模型是
           EM= M―B                                                                            （2.1）
    M是测量值，B是标准的标称值。EM是误差元。对（2.1）式微分，或做泰勒展开，用大写字母表示偏微商与自变量的乘积，有
           EM_o+ ΔEM= M_o + ΔM_分辨+ ΔM_重复+ΔM_温度+ΔM_其他―(B_o+ΔB_标)
           ΔEM =ΔM_分辨+ ΔM_重复+ΔM_温度+ ΔM_其他―ΔB_标                        （2.2）
    （2.2）中各项表成标准不确定度形式，认为各项不相关，取“方和根”
           u_C =√ (u_分辨²+ u_重复²+u_温度²+ u_其他² + u_标准² )                 
    扩展不确定度U₉₅为：
           U₉₅ = 2u_C = 2 √ (u_分辨²+ u_重复²+u_温度²+ u_其他² + u_标准² )      （2.3）
    （2.3）式是当前不确定度评定最基本的公式。u_分辨表示被检仪器分辨力的作用（包括了偏微商因子，下同），u_重复表示“用测量仪器测量计量标准”时读数的重复性，u_温度是环境温度的影响，u_其他是其他因素的影响；u_标是标准的误差范围化成的不确定度。
    依据（2.3）式进行不确定度评定，是当前计量不确定度评定的常规。中国的评定如此，欧洲的评定也是如此。又称GUM的泰勒展开法。
    公式（2.3）是错误的。分析如下。

1）混淆对象与手段
    计量场合，对象是测量仪器。对象的变化，是它自身的性能，必然体现在测量值中，应该当作对象的问题处理，不能把它混入手段的性能中。

2）混淆对象的自变量与手段的自变量
    对测量值M微分，错误；根源是混淆了两类不同的自变量。
    被测仪器的误差因素，包括ΔM分辨，ΔM重复，ΔM温度，ΔM其他都是对象的自变量，必然体现在测量仪器的示值M与标准的标称值B的差值之中。再微分是重计、多计。

3）混淆对象的层次
    （2.2）式等式左端的Δ是差值再求差，是测量值的二级差；等式右端的前四个Δ都是对测量值的求差，是一级差，与等式左端的求差是不搭配的。（如果是一级差之差，那就相当于二级差，是可以的；但这里是一级差的各项叠加。）

4）错误地拆分测得值函数
    在测量计量理论中，测量仪器的测量值函数，是非常重要的。测量值函数的最主要的应用场合是测量仪器的研究与制造。研制测量仪器，必须依据并给出测量值函数；制造测量仪器，必须对测量值函数作泰勒展开，知道各项误差因素，以便在生产中控制，以达到总指标的要求，生产出合格的产品来。除极个别测量仪器给出分项指标外，一般测量仪器都以总指标作为性能的标志。
    测量仪器一经成为产品后，其标志性能就是其误差范围指标值。计量中，计量人员检验、公证测量仪器误差范围指标；测量中，测量人员相信误差范围指标，根据指标选用测量仪器，根据测量仪器指标，分析与给出测量值的误差范围。
在测量仪器的计量与测量应用中，没必要、一般也不可能拆分测得值函数。
    应用电压表测量，要选用性能指标合乎要求的仪器，要知道使用方法，要满足其应用条件；而无论测量与计量，着眼点都是其整体指标，没必要对其测量值函数作泰勒展开。
    测量仪器的误差因素的作用，体现于其总指标中，总体计量不该拆分测量值函数。如果测量仪器的指标是分项给出的（数量极少，如波导测量线），计量可按分项指标，做分项计量。分项指标的“分项”与大小，是生产厂按国家技术规范标志的，指标的规定与给出，不是计量人员的职权。计量的职责是用实测判别各分项误差性能是否符合指标。而凡标有总指标的测量仪器，必须用计量标准进行整体计量。
    不确定度论普遍地拆分测量值函数，结果是形成多种错误。
    这里要重点说明一点，测量仪器（包括计量标准），都是给人用的，其指标都是正常工作条件下的性能指标。“正常工作条件”，有国家标准或行业标准，也有国际规范。例如工作温度，上世纪通用仪器是20℃±20℃（如今，空调、暖气普及，也有规定为20℃±10℃的），例如，著名的铯原子频标5061A，其标准管的准确度指标是1×10-11，而其工作温度条件是0℃到40℃。就是说，在0℃到40℃的环境温度下，都保证指标。现在的不确定度评定，在室内应用，要加温度效应量，那是画蛇添足，是错误的。

2.2 不确定度体系合格性判别公式错误
    经典测量学给出：计量的误差范围等于所用计量标准的误差范围。
            R_计 = R_标                                                                   （1.4）
    在不确定度体系中，所谓计量的不确定度U₉₅，就是指计量的误差范围。由于混淆对象和手段，错把被检仪器的部分性能纳入U₉₅中。于是由此而确定的待定区半宽以及合格性判别公式，就都错了。
    将（2.3）式与（1.4）式相比较，得知不确定度评定重计（多计）了有关被检仪器的四项误差。这括号中的前四项，属于被检仪器的性能，已体现在仪器的示值中。这四项是对象的问题，算在手段上，是错误的。
    合格性判别公式的正确式为
            |Δ|_max ≤ R_仪指标 - R_标                                                   （1.11）
    在不确定度体系中，合格性判别公式（例如JJF1094-2002）为
            |Δ|_max ≤ R_仪指标 – U₉₅                                                   （2.4）
    U₉₅的内容，包含被检仪器的部分性能。这部分内容是对象的性能，已体现在|Δ|_max中。U₉₅取代R标是错误的。U₉₅部分乃至全部堵塞合格性通道，是不确定度体系的一项严重错误。
    欧洲合格性组织对游标卡尺的不确定度评定（我国CNAS引为标准之实例），结果竟是：误差范围指标0.05mm的卡尺，用一等量块校准，校准之不确定度是0.06mm，如是，合格性通道被堵死，则全世界的此类卡尺都不合格。多么荒唐！


【测量仪器误差分布的一般规律】

    笔者最近发现：单个应用、单个计量的精密测量仪器（包括通用测量仪器），仪器的误差分布都是偏倚正态分布。
    此点很重要，值得深入研究。笔者年老体衰，仅此寄希望于后来者。

（全文完。欢迎批评）-