测量结果的评定和不确定度

测量结果的评定和不确定度
测量的目的是不但要测量待测物理量的近似值，而且要对近似真实值的可靠性做出评定（即指出误差范围），这就要求我们还必须掌握不确定度的有关概念。下面将结合对测量结果的评定对不确定度的概念、分类、合成等问题进行讨论。
一、不确定度的含义
在物理实验中，常常要对测量的结果做出综合的评定，采用不确定度的概念。不确定度是“误差可能数值的测量程度”，表征所得测量结果代表被测量的程度。也就是因测量误差存在而对被测量不能肯定的程度，因而是测量质量的表征，用不确定度对测量数据做出比较合理的评定。对一个物理实验的具体数据来说，不确定度是指测量值（近真值）附近的一个范围，测量值与真值之差（误差）可能落于其中，不确定度小，测量结果可信赖程度高；不确定度大，测量结果可信赖程度低。在实验和测量工作中，不确定度一词近似于不确知，不明确，不可靠，有质疑，是作为估计而言的；因为误差是未知的，不可能用指出误差的方法去说明可信赖程度，而只能用误差的某种可能的数值去说明可信赖程度，所以不确定度更能表示测量结果的性质和测量的质量。用不确定度评定实验结果的误差，其中包含了各种来源不同的误差对结果的影响，而它们的计算又反映了这些误差所服从的分布规律，这是更准确地表述了测量结果的可靠程度，因而有必要采用不确定度的概念。
二、测量结果的表示和合成不确定度
在做物理实验时，要求表示出测量的最终结果。在这个结果中既要包含待测量的近似真实值 ，又要包含测量结果的不确定度σ，还要反映出物理量的单位。因此，要写成物理含意深刻的标准表达形式，即
（单位）
式中x为待测量； 是测量的近似真实值,σ是合成不确定度，一般保留一位有效数字。这种表达形式反应了三个基本要素：测量值、合成不确定度和单位。
在物理实验中，直接测量时若不需要对被测量进行系统误差的修正，一般就取多次测量的算术平均值 作为近似真实值；若在实验中有时只需测一次或只能测一次，该次测量值就为被测量的近似真实值。如果要求对被测量进行一定系统误差的修正，通常是将一定系统误差（即绝对值和符号都确定的可估计出的误差分量）从算术平均值 或一次测量值中减去，从而求得被修正后的直接测量结果的近似真实值。例如，用螺旋测微器来测量长度时，从被测量结果中减去螺旋测微器的零误差。在间接测量中,  即为被测量的计算值。
在测量结果的标准表达式中，给出了一个范围 ，它表示待测量的真值在 范围之间的概率为68.3％, 不要误认为真值一定就会落在 之间。认为误差在 之间是错误的。
在上述的标准式中，近似真实值、合成不确定度、单位三个要素缺一不可，否则就不能全面表达测量结果。同时，近似真实值 的末尾数应该与不确定度的所在位数对齐，近似真实值 与不确定度σ的数量级、单位要相同。在开始实验中，测量结果的正确表示是一个难点，要引起重视，从开始就注意纠正，培养良好的实验习惯，才能逐步克服难点，正确书写测量结果的标准形式。
在不确定度的合成问题中，主要是从系统误差和随机误差等方面进行综合考虑的，提出了统计不确定度和非统计不确定度的概念。合成不确定度σ是由不确定度的两类分量（A类和B类）求“方和根”计算而得。为使问题简化，本书只讨论简单情况下（即A类、B类分量保持各自独立变化，互不相关）的合成不确定度。
A 类不确定度（统计不确定度）用 表示，B类不确定度（非统计不确定度）用 表示，合成不确定度为
                       
三、合成不确定度的两类分量
物理实验中的不确定度，一般主要来源于测量方法、测量人员、环境波动、测量对象变化等等。计算不确定度是将可修正的系统误差修正后，将各种来源的误差按计算方法分为两类，即用统计方法计算的不确定度（A类）和非统计方法计算的不确定度（B类）。
A类  统计不确定度，是指可以采用统计方法（即具有随机误差性质）计算的不确定度，如测量读数具有分散性，测量时温度波动影响等等。这类统计不确定度通常认为它是服从正态分布规律，因此可以像计算标准偏差那样，用“贝塞尔公式”计算被测量的A类不确定度。A类不确定度 为
                       
式中i＝1 , 2 , 3 , … n , 表示测量次数。
在计算A类不确定度时，也可以用最大偏差法、极差法、最小二乘法等，本书只采用“贝塞尔公式法”，并且着重讨论读数分散对应的不确定度。用“贝塞尔公式”计算A类不确定度，可以用函数计算器直接读取，十分方便。
B类  非统计不确定度，是指用非统计方法求出或评定的不确定度，如实验室中的测量仪器不准确，量具磨损老化等等。评定B类不确定度常用估计方法，要估计适当，需要确定分布规律，同时要参照标准，更需要估计者的实践经验、学识水平等。因此，往往是意见纷纭，争论颇多。本书对B类不确定度的估计同样只作简化处理。仪器不准确的程度主要用仪器误差来表示，所以因仪器不准确对应的B类不确定度为
                             
为仪器误差或仪器的基本误差，或允许误差，或显示数值误差。一般的仪器说明书中都以某种方式注明仪器误差，是制造厂或计量检定部门给定。物理实验教学中，由实验室提供。对于单次测量的随机误差一般是以最大误差进行估计，以下分两种情况处理。
已知仪器准确度时，这时以其准确度作为误差大小。如一个量程150mA，准确度0.2级的电流表，测某一次电流，读数为131.2mA。为估计其误差，则按准确度0.2级可算出最大绝对误差为0.3mA，因而该次测量的结果可写成I＝131.2±0.3mA。又如用物理天平称量某个物体的质量，当天平平衡时砝码为P＝145.02克，让游码在天平横梁上偏离平衡位置一个刻度（相当于0.05克），天平指针偏过1.8分度，则该天平这时的灵敏度为（1.8÷0.05）分度/克，其感量为0.03克/分度，就是该天平称衡物体质量时的准确度，测量结果可写成P＝145.02±0.03克。
未知仪器准确度时，这时单次测量误差的估计，应根据所用仪器的精密度、仪器灵敏度、测试者感觉器官的分辨能力以及观测时的环境条件等因素具体考虑，以使估计误差的大小尽可能符合实际情况。一般说，最大读数误差对连续读数的仪器可取仪器最小刻度值的一半，而无法进行估计的非连续读数的仪器，如数字式仪表，则取其最末位数的一个最小单位。
四、直接测量的不确定度
在对直接测量的不确定度的合成问题中，对A类不确定度主要讨论在多次等精度测量条件下，读数分散对应的不确定度，并且用“贝塞尔公式”计算A类不确定度。对B类不确定度，主要讨论仪器不准确对应的不确定度，将测量结果写成标准形式。因此，实验结果的获得，应包括待测量近似真实值的确定，A、B两类不确定度以及合成不确定度的计算。增加重复测量次数对于减小平均值的标准误差，提高测量的精密度有利。但是注意到当次数增大时，平均值的标准误差减小渐为缓慢，当次数大于十时平均值的减小便不明显了。通常取测量次数为五至十为宜。下面通过两个例子加以说明。
例1．采用感量为0.1g的物理天平称量某物体的质量，其读数值为35.41g ,求物体质量的测量结果。
[解]：采用物理天平称物体的质量，重复测量读数值往往相同，故一般只须进行单次测量即可。单次测量的读数即为近似真实值，m＝35.41g。
物理天平的“示值误差”通常取感量的一半，并且作为仪器误差，即
                 ＝0.05（g）＝σ
测量结果为
                    m＝35.41±0.05（g）
在例1中，因为是单次测量（n＝1）,合成不确定度 中的 ＝0 ,所以σ＝ 即单次测量的合成不确定度等于非统计不确定度。但是这个结论并不表明单次测量的σ就小，因为 n ＝1时, 发散。其随机分布特征是客观存在的，测量次数n越大，置信概率就越高，因而测量的平均值就越接近真值。

例2．用螺旋测微器测量小钢球的直径，五次的测量值分别为
d（mm）＝11.922,11.923,11.922,11.922,11.922
螺旋测微器的最小分度数值为0.01mm 试写出测量结果的标准式。
[解]：（1）求直径 d 的算术平均值
               
   
（2）计算B类不确定度
螺旋测微器的仪器误差为 ＝0.005（mm）
                ＝0.005（mm）
（3）计算A类不确定度
               
      
                  
（4）合成不确定度
               
式中，由于0.0005＜ ×0.005 , 故可略去 ,于是：
             σ＝0.005（mm）
5．测量结果为
              
从上例中可以看出，当有些不确定度分量的数值很小时，相对而言可以略去不计。在计算合成不确定度中求“方和根”时，若某一平方值小于另一平方值的 ，则这一项就可以略去不计。这一结论叫做微小误差准则。在进行数据处理时，利用微小误差准则可减少不必要的计算。不确定度的计算结果，一般应保留一位有效数字，多余的位数按有效数字的修约原则进行取舍。评价测量结果，有时候需要引入相对不确定度的概念。相对不确定度定义为
              
的结果一般应取2位有效数字。此外，有时候还需要将测量结果的近似真实值 与公认值 进行比较，得到测量结果的百分偏差B。百分偏差定义为
            
百分偏差其结果一般应取2位有效数字。
测量不确定度表达涉及到深广的知识领域和误差理论问题，大大超出了本课程的教学范围。同时，有关它的概念、理论和应用规范还在不断地发展和完善。因此，我们在教学中也在进行摸索，以期在保证科学性的前提下，尽量把方法简化，为初学者易于接受。教学重点放在建立必要的概念，有一个初步的基础。以后在工作需要时，可以参考有关文献继续深入学习。
五、间接测量结果的合成不确定度
间接测量的近似真实值和合成不确定度是由直接测量结果通过函数式计算出来的，既然直接测量有误差，那么间接测量也必有误差，这就是误差的传递。由直接测量值及其误差来计算间接测量值的误差之间的关系式称为误差的传递公式。设间接测量的函数式为
            N＝F（x , y , z , …）
N为间接测量的量，它有K个直接测量的物理量x , y , z , … ，各直接观测量的测量结果分别为




（1）若将各个直接测量量的近似真实值 代入函数表达式中，即可得到间接测量的近似真实值。
               
（2）求间接测量的合成不确定度，由于不确定度均为微小量，相似于数学中的微小增量，对函数式N＝F（x , y , z , …）求全微分，即得
              
式中dN , dx , dy , dz , … 均为微小量，代表各变量的微小变化，dN 的变化由各自变量的变化决定, 为函数对自变量的偏导数,记为 。将上面全微分式中的微分符号d改写为不确定度符号σ，并将微分式中的各项求“方和根”，即为间接测量的合成不确定度
                   （4）
K为直接测量量的个数，A代表 x , y , z , … 各个自变量（直接观测量）。
上式表明，间接测量的函数式确定后，测出它所包含的直接观测量的结果，将各个直接观测量的不确定度 乘以函数对各变量（直测量）的偏导数 ，求“方和根”，即 就是间接测量结果的不确定度。
当间接测量的函数表达式为积和商（或含和差的积商形式）的形式时，为了使运算简便起见，可以先将函数式两边同时取自然对数，然后再求全微分。即
            
同样改写微分符号为不确定度符号，再求其“方和根”，即为间接测量的相对不确定度 ，即
            
                                              （5）
已知 、 ，由（5）式可以求出合成不确定度
                                                     （6）
这样计算间接测量的统计不确定度时，特别对函数表达式很复杂的情况，尤其显示出它的优越性。今后在计算间接测量的不确定度时，对函数表达式仅为“和差”形式，可以直接利用（4）式，求出间接测量的合成不确定度 ，若函数表达式为积和商（或积商和差混合）等较为复杂的形式，可直接采用（5）式，先求出相对不确定度，再求出合成不确定度 。
例1．已知电阻 ＝50.2±0.5（Ω）,  ＝149.8±0.5（Ω）, 求它们串联的电阻R和合成不确定度 。
[解]：串联电阻的阻值为
R＝ ＋ ＝50.2＋149.8＝200.0（Ω）
合成不确定度
               
                  
相对不确定度
               
测量结果为
               R＝200.0±0.7（Ω）
在例1中，由于  R的总合成不确定度为各个直接观测量的不确定度平方求和后再开方。
间接测量的不确定度计算结果一般应保留一位有效数字，相对不确定度一般应保留2 位有效数字。
例2．测量金属环的内径 ＝2.880±0.004（cm），外径 ＝3.600±0.004（cm）, 厚度 h＝2.575±0.004（cm）。试求环的体积V和测量结果。
[解]：环体积公式为
               
（1）环体积的近似真实值为
               
      
（2）首先将环体积公式两边同时取自然对数后，再求全微分
               
               
则相对不确定度为
               
                  
  
（3）总合成不确定度为

（4）环体积的测量结果为
                 V＝9.44 0.08
V的标准式中， 应与不确定度的位数取齐，因此将小数点后的第三位数6，按照数字修约原则进到百分位，故为9.44 。                                   
间接测量结果的误差，常用两种方法来估计：算术合成（最大误差法）和几何合成（标准误差）。误差的算术合成将各误差取绝对值相加，是从最不利的情况考虑，误差合成的结果是间接测量的最大误差，因此是比较粗略的，但计算较为简单，它常用于误差分析、实验设计或粗略的误差计算中；上面例子采用几何合成的方法，计算较麻烦，但误差的几何合成较为合理。

:$ 有没有电子天平的啊？写个上来看看撒

请多来点实例分析，便于实际操作。

计算B类不确定度分量是直接引用仪器的误差吗？不确定度的计算结果，一般应保留1至2位有效数字。

hao 我很赞同

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-3-3 20:22 编辑 ]