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本帖最后由 史锦顺 于 2017-1-30 15:52 编辑
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测量结果的详细表达与示意图
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史锦顺
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引言 基本定义的公式表达
误差表示测得值与被测量真值的差距。依应用场合的不同，有三种含义：误差元、误差范围或泛指二者。
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误差元：测得值减真值
r = M-Z （1）
误差范围：误差元的绝对值的一定概率（99%以上）意义上的最大可能值
R =|r|max = |M-Z|max （2）
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误差范围是误差理论的基本概念，它贯通于测量仪器的研制、计量、应用测量三大场合。误差范围又称为：极限误差、准确度、准确度等级、最大允许误差等。
误差元是构成误差范围的元素。误差元是误差分析的基础。误差元的定义提示：误差分析就是求测得值函数的差分或微分。有了误差元，才能求出误差范围，并使误差范围有明确的物理意义。误差范围的定义，体现了误差量的两大特点：绝对性和上限性，也提示了推导公式的基本方法是解绝对值方程和找绝对值的最大值。
公式（1）与公式（2）是误差理论的基本公式。是测量计量理论公式化即严格化的基础。
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1 测量结果的简化表达
1.1 公式推导
从公式（2），可以方便地推导测量结果的公式。
物理公式是关于真值的关系式。表征仪器物理机制的物理公式为
Z = f (X1,X2,……XN) （1.1）
Z为被测量的真值。Xi是仪器各构成单元作用量的真值。
测量仪器的计值公式为
M = f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) （1.2）
m表测得值，o表标称值，二取其一。
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误差元为
r = M – Z
= f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN) （1.3）
误差元的绝对值的最大值为
│M-Z│max= │f(X1m/o,X2m/o,……,XNm/o) - f(X1,X2,……XN)│max （1.4）
这个“误差元绝对值的最大可能值”就是误差范围，记（1.4）式右端为误差范围R(恒正), 有
│M –Z│max= R （3）
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公式（3）是一个基本公式。本节前面的推导，是测量仪器误差范围本身的内容表达；下面由误差范围的定义，推导测量结果的公式。
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去掉（3）式最大值符号，有
│M – Z│ ≤ R （1.5）
解绝对值关系式（1.5）
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当 Z＜M时
∵ M – Z ≤ R
∴ Z ≥ M - R （1.6）
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当Z＞M时
∵ Z - M ≤ R
∴ Z ≤ M + R （1.7）
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综合（1.6）式、（1.7）式，有
M-R ≤ Z ≤ M + R （4）
（4）式简记为
Z = M ± R （5）
（5）式是测量结果的表达式。简称测量结果。
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1.2 测量仪器的误差范围指标值，就用为测量中测得值的误差范围值
测量仪器示值误差的定义：在正常工作环境下，测量仪器示值与被测量真值之差
r仪 = M-Z （2.8）
R仪= |r仪|max = |M-Z|max （2.9）
同一规格型号的仪器，标有误差范围的同一指标值，记为R仪/指标。
测量误差的定义式是（1）（2），有
R测 = R = R仪
∵R仪 ≤ R仪/指标
∴R测 ≤ R仪/指标
故可用R仪/指标表示R测，保守计算，有：
R测 = R仪/指标
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用测量仪器测量被测量，在仪器的正常工作条件下，测得值的误差范围不会超过测量仪器的误差范围指标值。因此，用测量仪器的误差范围指标值当测得值的误差范围，是冗余代换。不必另行评定，就认定：
R测 = R仪/指标（MPEV） （6）
根据公式（6），测量工作中，用测量仪器的误差范围指标值，当做测得值的误差范围.这对实际工作是十分方便的。
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2 测量结果的详细表达
着眼于全区间的简化表达式为
M-R ≤ Z ≤ M + R （4）
M是测得值，Z是被测量的真值，R是误差范围。
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2.1 R的表达
定义式
R =|r|max = |M-Z|max
r = M-Z=M平±3σ - Z
r = β±3σ （7）
（7）式之二项取方根，就是一项系统误差与一项随机误差范围的合成，为：
R =√[β2+(3σ)2] （8）
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2.2 测量结果的详细表达
系统误差β的幅度|β|是恒定值；而其符号，可能是正值，也可能是负值。这样，被测量真值存在区间的负极值为
-R= -√[(-|β|)2+(3σ)2] （9）
被测量真值存在区间的正极值为
+R= +√[(+|β|) 2+(3σ)2] （10）
关于公式（9）（10）符号的说明：在被测量真值存在区间的表达中，测得值M平是比较标准，是常量，而被测量的真值Z是变量。故下界点是-|β|，而上界点是+|β|。
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着眼于全区间的测量结果的详细表达为
M平 -√[(-|β|)2+(3σ)2] ≤ Z ≤ M平 +√[(-|β|)2+(3σ)2] （11）
（11）式是测量结果，简记为
L真= M平±√[β2+(3σ)2] （12）
与测量结果详细表达式（11）相应的被测量存在区间的表达式为：
【-√[(-|β|)2+(3σ)2] ，+√[(-|β|)2+(3σ)2]】 （13）
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2.3 测量结果的示意图
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此图有点难画。怎样才能表达清楚，请网友指教。
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3 不确定度理论图示的错误
3.1 叶德培原图
此图载于《中国计量》2013.8 《测量不确定度评定与表示》系列讲座 《第二讲 测量不确定度评定中的一些基本术语及概念(一)》。
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说明：
Yo：被测量的真值
y: 测得值
U： 扩展不确定度
y-U: 区间下界
y+U: 区间上界
Δ： 系统误差（测得值减真值）
3.2 图2的来源
此图不是叶先生的独创，其根源来自GUM（D6图解说明）。画得易懂些。本文的否定性评论，针对的是GUM，不是只限于叶先生。
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3.3 论图2
1 分散性的图解
不确定度的主定义说：不确定度是分散性。这张图体现了这一点。不确定度区间是
[y-U，y+U] （14）
这个区间的范围，仅限于随机误差。不包括被测量的真值。
2 违背VIM3的定义
图2的区间不包含真值，区间就毫无意义。这个图解，违背了VIM3的“不确定度为半宽的区间包含真值”的正确说法，因而图2 是个有根本性错误的错图。
3 正确的区间与画法
图中的U仅是扩展不确定度的一部分，要记为U(随机)，而Δ是系统误差。因系统误差仅有一个，与随机误差合成U95，用“方和根法”。有
U95 =√(U2+Δ2) （15）
这样构成的区间[y-U95，y+U95]，必然包含被测量的真值，就是有意义的区间了。
B 史锦顺改图
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附件与上面图形重复，删掉。
补充内容 (2017-1-31 07:24):
（11） 式改为： M平 -√[(-|β|)^2+(3σ)^2] ≤ Z ≤ M平 +√[(+|β|)^2+(3σ)^2] （11）
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闽公网安备 35020602000072号
发表于 2017-1-30 15:25:10
发表于 2017-2-7 08:34:35
楼主