从不确定度到关于有效数字定义的探讨

从不确定度到关于有效数字定义的探讨

山东电力研究院计量检测中心  范巧成  汪东军

发布时间：2008-5-7

　　有效数字的概念是计量学里的一个基本概念，它对规范数据记录及测量结果的表达起着重要作用。但随着误差理论的发展，特别是《测量不确定度表示指南》和JJF1059-1999《测量不确定度的评定与表示》的实施，原来有效数字的定义对数据的表达已不适应，为此笔者愿与大家就有效数字的定义作一探讨。

　　一、关于有效数字的定义或解释
　　有效数字是对近似数而言的，其定义在《误差理论与数据处理》和《计量学概论》等资料中有时会看到不同的说法，例如:①如果近似数Z的误差限是某一位上的半个单位，则从这一位起直到Z的第一个非零数字均为有效数字。②如果计量结果L的极限误差不大于某一位上的半个单位，我们就说该位就是有效数字的末位，并且如果该位到L的左起第一个非零数字一共有几位，就说L有几位有效数字。③若数据的最末一位有半个单位以内的误差，而其它数据都是准确的，则各位数字都是“有效数字”。④在《中国实验室注册评审员培训教程》中给出的有效数字的概念为:当该近似数的绝对误差的模小于0.5(末)时，从左边的第一个非零数字算起，直到最末一位数字为止的所有数字。所谓(末)，指的是任何一个数最末一位数字所对应的单位量值，如19.8m的(末)为0.1m。这些定义说法虽然不同，但表达的意思是类似的，即都提到了误差或极限误差，且其数值不大于某一位上的半个单位，该数位为最小的有效数位，左起第一个非零数字为最大的有效数位。
　　在GB8170-1987《数值修约规则》中对术语“有效位数”的解释是:对没有小数且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数；对其它十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。该解释中没有提及误差或极限误差。

　　二、在测量不确定度的评定与表示中对有效数字的理解
　　JJF1059-1999 《测量不确定度的评定与表示》中没有给出有效数字的定义，但使用了有效数字的概念，如8.13款:估计值的数值y和它的标准不确定度Uc(y)或扩展不确定度U的数值都不应该给出过多的位数。通常Uc(y)和U[以及输入估计值xi的标准不确度度U(xi)]最多为两位有效数字。输入和输出的估计值，应修约到与他们不确定度的位数一致。例如:如果y=10.057 62Ω其Uc(y)=27mΩ，则y应进位到10.058 Ω。
　　也就是说当不确定度取两位有效数字时，输出的估计值修约到与他们扩展不确定度的位数相一致后，其最后两位均会是不确定的，但他们同样是有效数字，这样上面的10.058 Ω就是5位有效数字。如果按照前面4个有效数字的定义来判断 10.058 Ω的有效数字的位数，由于Uc(y)=27 mΩ，则其最多为4位有效数字。

　　三、关于有效数字定义的探讨
　　从4个有效数字的定义来看，有效数字都与过去所定义的极限误差有关，且其数值不大于某一位上的半个单位。从前面2个定义看这个“某一位”不一定是数值的最后1位，在某书中给出这样的例子:“4876±3和18765±12都是4位有效数字”。实际上这也不符合定义，因为对于4876±3来说误差限为3，这里的“某一位”是个位，其半个单位是0.5，即极限误差大于某一位上的半个单位，不符合极限误差不大于某一位上的半个单位，严格按定义来讲4876±3只有3位有效数字即487。同样，18765±12说它是4位有效数字也不符合定义，因为假设是4位，这里的“某一位”是十数位，其半个单位是5，而极限误差是12，即极限误差大于某一位上的半个单位，与定义不符。
　　从后面2个定义看也有问题。它是将近似数修约为其绝对误差的模小于最末一位的半个单位或小于0.5(末)，也就是说当我们给出一个报告值后，从其保留的位数就可知道其绝对误差的模的极限。《中国实验室注册评审员培训教程》中给出了这样的例子:“测量结果的数字，其有效位数代表结果的不确定度，例如，某长度测量值为19.80mm，有效数字为3位；若是19.8mm，有效数字为4位。它们的绝对误差的模分别小于0.5(末)，即分别小于0.05mm和0.005mm。”这种数据的给出与JJF1059-1999《测量不确定度的评定与表示》不符。因为，从这个例子可以获知这两个数的极限误差分别为0.05mm和0.005mm，也就是其扩展不确定度分别为0.05mm和0.005mm，按照JJF1059-1999这样的测量结果应修约到与他们不确定度的位数一致，即应为19.80mm和19.800mm。
　　综合上述情况，笔者认为对于近似数应继续使用有效数字的概念，但其定义应作一变化，否则无法与JJF1059-1999《测量不确定度的评定与表示》中规定的标准不确定度的有效数字位数以及输出量的估计值的有效数字位数相适应。有效数字应当是给出的有用的数字，它与显示装置的分辨力、数据处理者的需要或不确定度的数值等有关，因此，对有效数字是否可给出这样的定义:有效数字是观测者或数据处理者根据显示装置的分辨力、数据处理的需要或不确定度的数值等对一个近似数所保留的位数，它是从保留的末位直到左边的第一个非零数字的所有数字。关于有效位数的确定方法与GB8170-1987《数值修约规则》相同，即:对没有小数且以若干个零结尾的数值，从非零数字最左一位向右数得到的位数减去无效零(即仅为定位用的零)的个数；对其它十进位数，从非零数字最左一位向右数而得到的位数，就是有效位数。
　　这里“根据显示装置的分辨力”是指所读取和记录的数值应当是显示装置的分辨力的整数倍，此时所获得的数据位数是恰当的；“根据数据处理的需要”是指例如:将无限不循环小数π=3.14159…根据数据处理的需要截取到百分位可得近似数3.14，此近似数为3位有效数字，如根据需要截取到千分位可得近似数3.142，此近似数为4位有效数字。“根据不确定度的数值”是指符合JJF1059-1999的要求，例如某测量结果为L=10.1245 m，经测量不确定度评定其扩展不确定度为U=0.10m，k=2，则报告值应为L=10.12 m，为4位有效数字，如果其扩展不确定度为U=0.010 m，k=2，则报告值应为L=10.124m，为5位有效数字。另外，对于一个位数很多的计算结果，在没有按规定修约之前最好不要说它有几位有效数字，而只说它是几位数。
　　这样，有效数字的定义就与JJF1059-1999《测量不确定度的评定与表示》基本一致，也符合习惯，即按规定给出的位数都应当是有效的位数，无效的位数也就没有给出的必要。