统计测量的新概念—兼论测量的分类

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    摘要  区分测量为两类：常规测量和统计测量。给出测量分类的标准，提出统计测量这个新概念。指出国际标准化组织等七个国际组织推荐的且已风行于世的不确定度概念，仅适用于如基准测量一类的特种发散型统计测量，且应改进统计方法。对常规测量、常规统计测量、一般发散型统计测量，对基准以外的标准、测量仪器，都必须讲究准确度，而不能用不确定度。
关键词  常规测量  统计测量   不确定度  准确度
    在我国计量界，有按专业分类的传统，如长、热、力、电、时频、电子、光学、声学、化学、电离辐射等十大专业。计量是管测量的，测量也就沿循此例。这是按业务领域的一种分类方法。
本文提出另一种关于测量分类的概念。按测量本身的性质和特点，将测量区分为常规测量和统计测量；对统计测量又区分为常规统计测量和发散型统计测量；对发散型统计测量再区分为有标称值的一般型和无标称值的特殊型。提出区分的标准。说明在实际应用中，常规测量与统计测量的综合与转化。
    统计测量概念的提出，反映了现代测量技术与测量理论的发展，可以帮助人们分辨一些引起争议的概念。
1 测量与计量
    测量是人们对客观事物取得定量认识的一种手段。测量是个比较过程：将被测量同已知量相比较，以确定被测量与选定单位的比值。这个比值(数值)同单位结合在一起称量值。量值是物理量的表征。
计量是规范测量的测量。计量依法监督测量工具的准确性与测量行为的规范性。使用有溯源性的标准与测量仪器、按照规程、由资格被确认的人员进行的以判别测量器具合格性为目的的测量，是计量。建立基准，即复现单位，建立各级计量标准与量值传递网，定期检定测量工具，进行量值统一，是计量的基本业务。计量依法行事。
    测量与计量的具体工作对象不同。测量的直接目的是得到测得值。计量的目的是保证测量的准确。
    测量与计量的划分，以测量工具的作用为界。测量是用测量工具认识物理量，相信的是测量工具，目的是得到被测量的量值；计量的目的是检查测量工具的合格性，相信的是标准。简言之，相信测量工具的是测量；检查测量工具的是计量。
在计量与测量的关系上，有两点值得我们探讨。第一点：计量通常是测量的逆操作。测量是用测量工具去考察、认识未知量值，相信的是测量工具；计量是拿标准（已知的量值）来被测量工具测量，以考察测量工具是否准确，相信的是标准。例如，用卡尺量钢棍的长度
和截面直径是测量，是普通的操作；而以卡尺测量量块（长度标准），以考察卡尺的误差，则是计量，是专业人员的事。第二点：计量之所以存在，所以必要，其技术原因是通常的测量都存在系统误差。测量用工具、量具或测量仪器，需经检定，即履行计量手续，以保证其准                                       
确。测量者自身经多次测量可以发现并减小随机误差，但通常不能发现系统误差。计量中所使用标准的量值，对被检仪器来说相当于真值，有真值才能求得被检仪器的系统误差。否定真值，否定准确度，也就从根本上否定了计量存在的必要。
2 测量与统计
    典型的测量问题是这样的：客观物理量值不变，测量仪器有误差。相应的理论是误差理论。典型的统计问题是另一种情况：客观物理量的大小以一定的概率出现，而测量仪器无误差，相应的理论是统计理论。
    所谓物理量值不变或仪器无误差，都是相对的，绝对的“不变”或“无误差”都是不可能的。
    设物理量值的相对变化量为Δ物，测量仪器的相对误差为Δ测，若
        Δ物 ＜＜　Δ测                                                       (1)
即物理量值的相对变化远小于测量仪器的相对误差，这种情况称常规测量，适用理论是经典测量学。
    如果考察对象是物理量的变化，且有
        Δ测　＜＜　Δ物                                                      (2)
即测量仪器的相对误差（包括系统误差与随机误差）远小于物理量的相对变化，这类问题是统计问题。这种场合忽略测量误差。测得值的变化，反映被测量值本身的变化。
3 测量类型的区分
    从伽利略（十七世纪）到高斯、贝赛尔（十九世纪），形成经典测量理论，并一直沿用至今。
    单纯的测量是认识一个量的量值，讲究的是测准。统计是对许多值的测量，首先要各个测准，而重点是认识这些值的规律。这就是测量领域的统计，用经典统计理论。
二十世纪六十年代后，随着原子钟的出现，随着极精确的时间频率测量技术的发展，产生了经典测量理论或经典统计理论难以处理的问题，主要是发散困难（采样次数N越大，方差越大）。阿仑方差就是为克服发散困难而提出的。阿仑方差的出现，标志着新的测量学说的登台。随后，出现“不确定度”论，这套主张在国际计量会议上的争论与通过，已经突破经典测量理论与经典统计理论的框架。
    当今的不确定度论者，全面否定经典测量理论，取消真值、误差、准确度这些基本概念。近20年的历史表明，这是不应该的，也是办不到的。
笔者认为，研究问题，不能囫囵吞枣，要分清对象。既不能只看一般，忽视特殊；更不该把局部当整体，把特殊情况当作普遍情况。要弄清出现了什么新情况，经典理论在什么情况下能用，什么情况下不能用；而新理论又能不能适应一切情况，是否带来新问题等等。
    分清情况，分清对象，十分重要。
    测量分为两种情况。第一种，测量误差远大于被测量值的变化，这种情况被典型化为“量值本身不变而测量有误差”，称常规测量，其理论称经典测量理论；第二种，被测量值本身的变化远大于测量误差，这种情况被典型化为“测得值是被测量的实际值，求量值及其变化”，这种测量称为统计测量。
    当今，测量可分为四种类型：
    ① 常规测量：得到多个测得值，存在期望值，贝塞尔公式成立；用测得值的平均值代表代表真值，用平均值的标准误差（常取其3倍）表示随机误差范围；存在唯一真值，讲究准确度。
    ② 常规统计测量：测得到的多个值，每个值都是被测量的实际值；存在期望值，贝塞尔公式成立；用单个值的标准偏差；有标称值（目标值），讲究准确度。
    ③ 一般发散型统计：测得到的多个值，每个值都是真值；存在发散困难，无数学期望，贝塞尔公式不成立；有标称值（目标值），讲究准确度。
    ④ 特种发散型统计：得到的多个值，每个都是真值；存在发散困难，无数学期望，贝塞尔公式不成立；无标准，用不确定度。
    本章提出这样的观点：当今世界上的测量学理论问题，首先是分辨测量类型的问题。对不同的测量场合，要认清问题的性质，表征方法要符合实际需要。
各种测量类型的关系如下图。
      测量         常规测量   
                   统计测量          常规统计测量            
                                     发散型统计测量          一般发散型统计
                                                             特种发散型统计
4常规测量及对常规测量理论的修正意见
    常规测量的目的是求得接近真值的准确值，于是必须考究测量误差（略称误差，实际指误差范围），追求测量准确度。常规测量的特征是测量误差远大于量值本身的变化。真值、误差、准确度是常规测量及其理论经典测量学（又称计量学）的三大标志。
    常规测量的要点是：①多次测量求平均值，用平均值表征真值；② 用贝塞尔公式计算单个测得值的标准误差σ（过程量），除以    得平均值的标准误差    (表达结果用)；③综合系统误差与随机误差范围（如3     ），合理表达误差范围；用误差范围表征准确度；④正确运用有效数字。
    常规测量是往昔的基本测量，也是现在和将来的基本测量。常规测量理论是经典测量学或经典计量学。下面对经典测量理论提出一点修正意见。
    经典测量理论通常讲：“当系统误差不存在时，平均值的数学期望是真值”。经典测量学适用的范围内，主要是系统误差，但经典测量学理论一开头就假定系统误差不存在。这种讲法不好。基本表达式没留系统误差的位置。
经典讲法有客观原因：随机误差理论是通论，系统误差理论是个论，系统误差的内容对各种仪器、各种测量都各不相同，不好讲。但是，毕竟系统误差十分重要，系统误差的消除或减小是仪器设计或测量方案制定的基本任务，任何一种新的消除或减小系统误差的方法都是一项发明。系统误差决不可忽视。测量理论的研究与发展，最大的工作量是对系统误差的研究。随机误差理论之花开在系统误差的枝干上，才能灿烂；否定系统误差，测量理论就失去根基了。
    通用测量理论重点讲随机误差，但不能削弱系统误差的重要性，建议按如下方式处理。
    设物理量的真值为A，测得值为X1，X2，… XN，测得值的平均值为    ，    的数学期望是E 。E称期望值，期望值E与真值A之差是系统误差。常规测量以期望值的近似值即平均值    来表征真值。多次测量取平均值所接近的是期望值，而不是真值，要接近真值，必须讲究系统误差。测得值的“分散性”只说明测得值对期望值的离散性，不能说明测得值对真值的偏差即准确性。
    有期望值概念后，推导贝塞尔公式时用期望值，而不用真值。讲随机误差理论只涉及期望值，而不必再做“系统误差不存在”这种通常既达不到又易产生误解的假定。明确期望值与真值有差，这就为系统误差预留了空间，既可以克服经典测量理论表达上的缺点，也可以纠正滥用“不确定度”的弊病。
5 常规统计测量的表征  
    测量，人们熟悉；统计，人们也熟悉。说统计测量，有人可能觉得新颖，其实，人们遇到并处理得最多的，就是统计测量。为什么最常见反觉得不熟悉呢？主要是过去没在理论上明确测量与统计的区分标准，没讲明二者的分化、转化与综合。近代机械与自动化技术大发展，批量生产、市场经济、规模经济大发展，原来以手工生产为出发点的思考，在许多场合，不适应了。
    人们在生产、生活中都需要测量，而应用得最多的是商业上的称量。买米买面买菜要称重，买布要测长度，看病要量体温。机加工工人随时要量机械零件尺寸。粗看起来，这都是常规测量，细一想，竟多数是统计测量。
    比如量面粉，是称重，很易看作是常规测量。从前确是这样。张三要卖一袋面，李四愿买，王五用台秤给称一下。这是常规测量。这袋面的重量是客观存在，称得准不准是秤的问题。以往的测量理论，考虑的是这样的问题。是手工业时代的思路。
    现代人们食用的面粉是工厂生产的袋装面。一袋面标称值25kg，偏差不超过0.2kg。称重操作是在面粉厂生产车间封袋前完成的。各袋有各袋的量值，实际的量值不再是量值的中心了。量值的中心是标称值25kg，偏差范围是0.2kg。这是统计测量。
    若买25kg面粉一袋，到公平秤上称得24.9kg，这符合偏差范围，莫怨商店缺斤短两。
    机械化自动化生产，基本上是统计测量。例如车工加工100根轴，图纸标度的尺寸为：
        10mm±0.1mm
车床上有尺寸控制标度；操作手用螺旋测微器测量车出的轴，以确保轴径合格。这是统计测量问题。所用测量工具的误差必须远小于偏差范围（0.1mm），以使每根轴的轴径测得值都是实际值（即真值）；各轴的值对标称值（10mm）都有些偏差，但最大不能超过（0.1mm – e）,e是测量仪器的误差范围。在此问题中，测量仪器的误差是可略的，每个轴的测得值即其实际值（真值），共100个值。此100个值的平均值近似为期望值，平均值与标称值（目标值）的偏差是系统偏差，各值与期望值的偏差是随机偏差。表明随机特性的值是单个值的标准偏差σ，而不是平均值的标准偏差    。操作工人（或检查工）测量过每个零件的尺寸，符合标称尺寸及允差范围即可，至于整套统计计算，只在考核机床性能及操作工水平时进行，平时不必。
经典的测量理论，主要考虑测得值与实际值（真值）的接近程度，那是有前提的，即物理量的量值有唯一的真值，这等于说物理量是恒定不变的。在测量水平不高的时代，这样讲对大多数情况是对的。也有不妥，例如量体温。水银体温计的稳定性，远比人体温的稳定性高。用此温度计测人的体温，设测10次。示值的不同，表明的是人体温的变化。这类问题用原有的测量理论即常规测量理论是无法解的。
    随着机械化、自动化大生产的发展，随着测量仪器水平的提高与大量精密测量仪器的普及，使得许多原来的常规测量，变成统计测量。也就是说，主要的矛盾是量值本身的变化而不再是仪器误差；当然，仪器误差可略，是前提条件。
    统计测量与常规测量的主要不同点在于：被测量变还是不变；被测量的变化与仪器误差哪个是主要矛盾；表明随机变化范围的是3σ，还是3 。  
    如前图，统计测量还要细分为几种。先讲常规统计测量的表征。
    常规统计测量的目的是通过多次测量求得被测量值的期望值和偏差特性。常规统计测量领域的偏差包括单个量值对期望值的偏差和期望值对目标值的偏差。这类问题承认数学期望存在、方差存在。要点是：①多次测量求平均值，用平均值表征量值的期望值；② 用贝塞尔公式计算单个测得值的标准偏差σ，用σ表示标准偏差或用σ的几倍表达随机偏差范围。注意，这是统计测量与常规测量显著不同的地方：常规测量用平均值来代表数学期望以表达真值，故用平均值的标准偏差；统计测量中每个值都是真值，用单个值的标准偏差，来表达单个值对期望值的分散性。常规统计测量有标称值（如源类），或有目标值（如机加工），因而讲究准确度。单个值对期望值的偏差是随机偏差，期望值对目标值的偏差是系统偏差。系统偏差与随机偏差范围（如3σ）的综合称偏差范围。用偏差范围来表征准确度。
6 对发散型统计理论的修正意见
    随着科学技术的发展，测量技术不断发展，出现了经典测量学难以处理的新情况。测量深入到接近原子大小的层次，几何量便出现不确定性。频率测量达到约10-12量级，统计频率量值时便出现发散困难。在这个背景下，出现发散型统计理论。一般发散型统计还有标称值或目标值，也还要讲究准确度，而特种发散型统计则既无数学期望也无目标值，不讲准确度，而用“不确定度”。
笔者认为真值是客观存在。由于在特种发散型统计中，测量精度极高，测得值个个是真值，这相当于(2)式表达的一般统计时的条件。“不确定度”学说不承认真值的存在，——在测量的角度上不承认真值，弄清它原来是统计后，便知它实际是否定数学期望的存在。联系阿仑方差提出的发散困难，对某些特定情况，“不存在数学期望”是有实验基础的。
“不确定度”学说不承认标准。只讲测量结果的‘分散性’，而不讲正确性，准确性，可见，目中无标准。其实，基准之上无标准，对基准不讲准确性，只讲对分散性的统计，倒也难怪。‘不确定度’表征的是量值本身的变化范围或人类在一定历史时期的认识水平。由上，可以承认一种新的测量类型，本文称其为特种发散型统计，但应严格限制其范围，它仅适用于基准，或者极个别的已完全消除系统误差的、无标称值的赋值测量。
    发散型统计不同于常规统计。常规统计有数学期望，有方差，从而有贝塞尔公式。而发散型统计无数学期望，无数学期望就没有贝塞尔公式。这样，特种发散型统计用贝塞尔公式计算不确定度，就失去了前提。
    笔者对发散型统计的修正意见（部分是说法）如下。
    A 由于测量水平很高，测量误差远小于量值的变化量，处理的问题属于统计问题。这里包括承认真值的客观存在，且每个测得值都是真值，真值就是实际量值。
    B 测得值的微小变化主要是量值本身的变化。由于发散困难的存在，测得值无数学期望。
    C 对一般发散型统计测量如对晶振频率的测量，有标称值，要讲准确度。
    D 在特种发散型统计测量中（例如对基准的测量），由于没有更高的比较标准，无从谈论准确度，可便用‘分散性’，即“不确定度”。
    E 表征测量结果的计算方法不能用贝塞尔公式，而要用自差统计法。须知，经典测量理论中用贝塞尔公式，是因为承认有唯一的真值，在假定不存在系统误差的条件下，用平均值代替真值，才得出贝塞尔公式；常规统计中用贝塞尔公式，前提是承认有数学期望，有方差，用平均值代替数学期望才得出贝塞尔公式。特种发散型统计，由于测量误差远小于物理量本身的变化量，它是统计，但存在发散困难（测量次数N越大，σ越大），没有数学期望，于是就得不出贝塞尔公式。阿仑方差原本是为此而提出的，只是它有错。
    符合发散型统计理论逻辑一贯性的统计方法是自差统计。自差统计法详见上篇（方差的新概念—兼论阿仑方差）。
7 常规测量与统计测量的交叉情况
    物理量的变化远小于测量仪器误差时，是常规测量，测量误差范围由测量仪器误差决定；测量仪器误差远小于物理量的变化时，是统计测量，偏差范围由物理量的变化决定。随着测量仪器精度的提高，统计测量越来越多。
    还有一种情况是界于二者之间，物理量的变化与测量仪器的误差相差不多，属同一量级，该如何处理？ 1980年，当我提出关于测量与统计的观点时，曾有人提出这个问题，我当时回答说，我只能处理二者区分的情况，至于如何处理综合情况，留给别人吧，我解决不了。当时确实认为自己解决不了，一放竟过了20多年。今天九九重阳节（2004年10月22日），却突然想起可以用类似偏微分的方法处理。
写在这里，算是庆祝老人节吧。
设物理量为L，物理量的变化为ΔL变，测量仪器的绝对误差为Δ测，相对误差为δ测，测得值为L测 ，测得值总偏差为ΔL总 ，
          L测 =  L（1+δ测）
          L测 = （Lo+ΔL变）（1+δ测）
          L o+ ΔL总 = Lo + ΔL变 + Lδ测 +ΔLδ测
          L o+ ΔL总 = Lo + ΔL变+ L（Δ测/L） +ΔLδ测
          ΔL总 = ΔL + Δ测                                          
    注意到误差与变化量都是可正可负的，这样，其范围是
          +│ΔL总 │= +（│ΔL变 │+ │Δ测│）
          -│ΔL总 │= -（│ΔL变│+ │Δ测│）
简写为
          ΔL总 =±（│ΔL变│+ │Δ测│）
都表为相对误差形式，并视为绝对值，有
          δL总 = δL变 + δ测                                         （3）
    常规测量，物理量变化δL变可略，总偏差范围δL总等于测量误差范围δ测；统计测量，测量误差范围δ测可略，总偏差范围δL总等于统计偏差范围δL变 。常规测量与统计测量临界的情况，总偏差范围由测量误差范围与量值变化范围合成。
8 测量与计量的不同要求
    测量的目的是认识被测量的量值，因此要求测量仪器的误差尽可能小。小到什么程度？小到可略。设仪器的测量误差范围是δ测，是而物理量的变化范围为δ变，对物理量的精度要求是δ精 ，测量仪器的选择标准为：
            δ测 << δ精                                                （4）
例如称带装大米，标称值为25kg 允差范围0.2kg，用台秤。台秤的准确度约千分之一，在此量程上误差范围大致为0.05kg。称10克上下的金戒指，要求称准到千分之一，是10mg，
得用天平，砝码用4等（误差1mg）以上。
计量的目的是判别测量仪器的合格性，即测量仪器的误差是否符合指标。计量工作者知道，计量只判断该仪器的误差是否在指定的误差范围内，并不给出该仪器测量误差的具体数值，因为计量是统计的抽样，不可能保证所有情况下都是这样。
检定测量仪器的具体做法是用一个量值标准被测量仪器测。量值标准的偏差远小于被检测量仪器的误差范围，测得值与量值标准的标称值之差，就是测量仪器的测量仪器的测量误差。
史锦顺

[ 本帖最后由 duomeiti 于 2007-7-25 22:26 编辑 ]