夸张分辨力-评UA评定（11)

                          夸张分辨力-评UA评定（11)

                                                                              史锦顺

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不确定度评定中有一项，就是关于分辨力的评定。几乎每个评定都有此项。对分辨力的计算，GUM错算（《测量不确定度》p80），他人便跟着抄，于是千篇一律，全都错了，把分辨能力夸大到2倍，即把分辨力的数值错误地除以2。

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（一）分辨力的意义

分辨力是测量仪器的性能要素之一。现有的测量学理论，对分辨力关注甚少，以致在应用中常被误解。值得引起重视。

分辨力是测量能力的阈值。阈值就是门限、门槛，是测量仪器几项性能的限度。

1 量程最小值的限度。

2 分散性的最小限度。随机误差、复现性的最小限度。

3 不准确性的最小限度。误差元与误差范围的最小限度。

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（二）误差理论对分辨力的处理

误差理论讲到分辨力时，通常认为：若分辨力是D, 则分辨力产生的误差元的绝对值的最大值是D，也可表示为误差区间为[-D,+D]。也就是说是误差区间的半宽是D。

计数式频率计，分辨力为尾数的一个字，引进误差为加减一个字，并且有专有名称，叫“正负1误差”。例如0.1秒采样（闸门时间0.1秒），计数器尾数一个字代表10赫，因而分辨力引入的测量误差范围是±10赫。

以上误差理论对分辨力的认识，载于各种书籍，特别是载于各种计数式频率计的说明书。

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（三）不确定度论对分辨力的处理

不确定度论对分辨力处理的规范作法是：设分辨力是D，其半宽为D/2，均匀分布，除以根号3，得标准不确定度为0.29D。反过来，计算扩展不确定度，乘以2得0.58D，以此为包含区间半宽。这种计算的结果，比本来值小42%.

不确定度论的这个对分辨力认识，载于GUM等众多文献，是错误的。

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（四）分辨力计算详解

设分辨力是D，误差论认为此项误差区间是[-D,D] ，误差区间的宽度是2D，半宽度是D。

不确定度论认为：分辨力是D，不确定度区间半宽度是D/2

两种理论对分辨力的处理，差别甚大，是两倍关系。

本文论证：误差论对分辨力的认识是正确的；不确定度论对分辨力的认识是错误的。

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（接下页）

回复 1# 史锦顺

例1 电子案秤的分辨力

实验  取一台电子案秤。最低位为1克，即分辨力是1克。

我们来做分辨力实验。 用案秤测量一个10克的砝码，显示为10克。加标称值为100毫克的小砝码（以下加减小砝码，都指100毫克砝码），加一个到3个小砝码，显示都是10克；加4个小砝码，显示为11克，加5个到13个小砝码显示都是11克；加14个小砝码时显示为12克，加15个到23个小砝码，显示都是为13克。可见电子案秤的分辨力是10个100毫克的小砝码，即1克。

我们看，在10克砝码的基础上加4个小砝码（物重10.4克）时，显示为11克。再加9个砝码，显示仍为11克，就是说，在测量10.4克时，加9个小砝码，仍分辨不出。

我们从另一个观察起点看，在10克砝码的基础上加13个小砝码时（物重11.3克）时，显示为11克，减去9个砝码，显示仍为11克，减去9个小砝码仍分辨不出。

分辨不出的情况，小砝码增减的最大可能是加减9个小砝码，因此其范围是加减0.9克。下表单位是1克。

        重物          显示           重物可能值            砝码重量变化范围(偏差可能范围)

                10.4            11             10.4——11.3                   0——0.9

                10.5            11             10.4——11.3               -0.1——0.8

                10.6            11             10.4——11.3               -0.2——0.7

                10.7            11             10.4——11.3               -0.3——0.6

                10.8            11             10.4——11.3               -0.4——0.5

                10.9            11             10.4——11.3               -0.5——0.4

                11.0            11             10.4——11.3               -0.6——0.3

                11.1            11             10.4——11.3               -0.7——0.2

                11.2            11             10.4——11.3               -0.8——0.1

                11.3            11             10.4——11.3               -0.9——0

               

接 2# 史锦顺 文

此实验可以更细，增减的砝码小到10毫克或1毫克，于是相应的范围成为加减0.99克或加减0.999克。

因此，变化范围应为[-1克,+1克]。

由上，分辨力是1克的电子秤，分辨范围是加减1克。

结论：分辨力是1，则按范围写出是正负1。因此除以2是不对的。

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我们再从示值误差的角度来讨论。

示值是以克为单位的整数。而被测物的重量是有各种可能的数。整数的转换点不同，则示值误差不同。

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          转换点内区间        被测物重          示值        示值最大误差元

          10.01     10.99             10.01               11                   0.99

          10.1       11.0               10.1                 11                   0.9

          10.2       11.1               10.2                 11                   0.8

          10.3       11.2               10.3                 11                   0.7

          10.4       11.3               10.4                 11                   0.6

          10.5       11.4               10.5                 11                   0.5

          10.6       11.5               11.5                 11                    -0.5

          10.7       11.6               11.6                 11                    -0.6

          10.8       11.7               11.7                 11                    -0.7

          10.9       11.8               11.8                 11                    -0.8

          10.91     11.9               11.9                 11                    -0.9

          10.99     11.98             11.98               11                    -0.98

         10.999    11.998           11.998             11                    -0.998

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    由上，知电子案秤的分辨力形成误差区间是[-1g,+1g]，即±1g，区间半宽是1克。

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（接下页）

接 3# 史锦顺 文

例2   计数式频率计的分辨力

取一台数字式频率计。其原理是在标准的闸门时间内数被测频率的脉冲数。

被测频率1.1赫，即周期0.9秒，在1秒的闸门时间中，可能出现两个脉冲，测得值2赫，误差为0.9赫。若被测频率是0.9赫，即周期为1.1秒，一个采样时段中，可能一个脉冲都不出现，测得值0赫，误差为负0.9赫。

若被测频率是1.01赫，测得值可能为2赫，误差最大可能是0.99赫；被测频率是0.99赫，测得值可能为0赫，误差的极端值是负0.99赫。因而，当采样时间为1秒时，计数器一个字的分辨力的区间是[-1Hz；+1Hz],区间的半宽是1赫。

样板评定实例（《测量不确定度评定与表示指南》P92）：频率计 0.1秒采样。即闸门时间为0.1秒。计数器每记得一个数，代表10赫。由此，区间半宽是10 赫。样板评定以10赫除以2，得5赫做为区间半宽，这是不对的。

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结论     测量仪器的分辨力是D，误差区间是[-D,+D]，包含区间的宽度2D，区间半宽度是D。数字式仪表的分辨力D是最低位的一个字，误差区间是[-1,+1]，区间的半宽是一个字所代表的量。

对分辨力的认识，误差理论是正确的；不确定度论是错误的。

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的确是误差理论对分辨力的描述更切合实际，史工果然有料。

回复 2# 史锦顺


以前看过前辈写的关于分辨力的帖子，这个帖子的例子好像是在那个帖子里粘贴过来的。看完以后还是不太理解，分辨力为D，误差范围是[-D，D]，我怎么感觉还是不对呢。前辈举的用砝码测电子天平的例子，10.4g显示是11g，11.3g显示也是11g。对10.4g而言，误差范围是0.9g，对11.3g而言，误差范围是-0.9g，但这是对两个点而言，因此认为误差范围是[-0.9g,0.9g]，我认为是不妥的。我认为分辨力的误差范围应该是对于被测仪器某一个显示值而言的。例如对于电子天平显示的11g来说，其被测物实际质量在（10.3g，11.3g）之间，小于10.3g显示10g，大于11.3g显示12g。误差范围应该是1g，即1个分辨力，半宽为分辨力的一半。

回复 6# 长度室

　　你说得对，我认为主要是术语含义还有点问题，需要搞清楚，呵呵。测量设备经常使用“分辨力”和“分度值”这两个术语，这是两个完全不同的术语。对测量设备的显示装置而言JJF1001-2011给它们的定义分别是：
　　分度值：对应两相邻标尺标记的两个值之差。
　　分辨力：引起相应示值不可检测到变化的被测量的最大变化。
　　第一，显然分度值是针对模拟式测量设备而定义的，数字式测量设备没有“标尺”，因此也就没有分度值。例如卡尺分度值0.02mm，千分尺分度值0.01mm，而数显千分尺和数显卡尺则没有分度值，只有分辨力。分辨力可以应用于模拟式测量设备和数字式测量设备，应用于所有的测量设备。
　　第二，分度值与测量设备的误差的确存在着一定的关系，若分度值是D，史老师说的分辨力（其实是分度值）产生的误差区间可以表示为[-D,+D]，也就是说是误差区间的半宽可能是D。但，这也不是绝对的。例如分度值为0.02mm的小规格卡尺产生的误差最大是±0.02mm，等于分度值。但分度值0.01mm的小规格千分尺产生的误差最大缺并不是±0.01mm，而是±0.004mm，小于分度值的大小。而分度值0.001mm的0～1mm的千分表产生的误差最大也不是0.001mm，而是0.005mm，大于分度值的大小。
　　第三，数字式测量设备的分辨力（也设为D）也会产生测量设备的误差。产生误差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的电子秤，分辨范围并不是±1g，而是±0.5g。当被测量的变化值＜0.5g时，电子秤不会有反映，当被测量的变化值达到或超过0.5g时，电子秤就会变化一个字（变化量＜-0.5g时减一个字，变化量≥+0.5g时加一个字）。
　　第四，模拟式测量设备的分辨力与其放大和读数原理有关，且与测量者的视力和经验有关。分度值0.01mm的千分尺，不同的测量者分辨力不同，最优秀的测量者的分辨力也只能达到D/10，即0.001mm。而分度值0.02mm的游标卡尺，无论测量者如何优秀也不可能分辨出分度值0.02mm的1/10（即分辨力0.002mm），甚至连1/3也做不到。
　　由以上所述，我们可以看出对于数字式测量设备而言，分辨力带来的测量误差只能是±(D/2)而不是±D。分辨力给测量结果引入的标准不确定度分量只能用D/2作为半宽除以包含因子k 获得。若按均匀分布处理，k＝√3，则D/(2√3)＝0.29D。这就是JJF1059所说“对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为δx，则由此带来的标准不确定度为u (x)=0.298δx。”的理论依据。分度值（D）带来的测量误差与测量仪器的读数放大原理和测量人员眼力及经验的不同有关，可能会等于D，也可能会大于D，或者小于D。

回复 7# 规矩湾锦苑

   

                                                                   关于分辨力的答辩

                                                                                                                                史锦顺

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【规矩湾锦苑质疑】

数字式测量设备的分辨力（设为D）会产生测量设备的误差。产生误差的大小是±(D/2)，而不是±D。分辨力是1克的电子秤，分辨范围并不是±1g，而是±0.5g。当被测量的变化值＜0.5g时，电子秤不会有反映，当被测量的变化值达到或超过0.5g时，电子秤就会变化一个字（变化量≤-0.5g时减一个字，变化量≥+0.5g时加一个字）。

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由以上所述，我们可以看出对于数字式测量设备而言，分辨力带来的测量误差只能是±(D/2)而不是±D，分辨力给测量结果引入的标准不确定度分量只能用D/2作为半宽来除以包含因子k 获得。如果按均匀分布处理，k＝√3，那么D/(2√3)＝0.29D。这就是JJF1059所说的“对于数字显示式测量仪器，如其分辨力为δx，则由此带来的标准不确定度为u (x)=0.298δx。”的理论依据。

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【史锦顺答辩】

分辨力是一克的电子秤，现在用得很多，卖肉、零售菜、零售米的电子案秤，大都是尾数为1克的电子秤。在重物一点点缓慢增加时（如攥一把米，一粒一粒往秤盘上撒），便会看到电子秤的示值1克1克地向上跳变，这就叫分辨力是1克。

先生所说的情况，是类比于人计数时，进行四舍五入后的情况。要求客观的数与人的计数值，有完全等同的起步点和严格相等的步长。但是任何测量仪器，由于误差的存在，步长不能完全相等，特别是经过不断的积累，于是数字变化的起点，示值与输入值便不能保持一致。显示数跳步一个字，即示值变化1克，标志被测量变了1克，但从多少起，却不同，即起点不同。于是产生的示值误差，极端可能值是+1g与-1g，于是分辨力引入的误差，就整个量程来说，就是±1g，而不是±0.5g.

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例1 “取整”误差（舍位误差）

一个数据，小数点以前是整数位，小数点以后是零数位。数据处理的一种办法是舍弃零数位，而只保留整数位。计算机语言，专有“取整”程序。取整产生的误差为：最小值：0；极限值：―1。

要注意，[―1,0]是个区间，但不是对称区间。如果有人认为区间半宽是0.5，0.5是最大误差，这是错误的表达。应知，最基本的定义是误差元与误差范围。在误差元的各种可能值中，标志量是误差的绝对值的最大可能值，不能解错。

误差元是测得值减真值。对现在的情况应理解为：新值减原值。如123.8取整是123，误差元为123―123.8 =―0.8。

    (接下页)

接 8# 史锦顺 文
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误差范围是误差元绝对值的最大值，显然，此值为1。这是一项误差因素，在进行误差合成时，只能以“1”来对待，而绝不能当做0.5。有人认为“取整”的误差是0.5，那就错了。对不同数据点，误差的绝对值的大值，可能是0.5、0.6、0.7、0.8、0.9，0.99，而对整个数据的各个数据点来说，误差绝对值的最大可能值是1。明明是1，却偏说是0.5，那当然是错的。

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例2  四舍五入的误差

在编计算机程序时，先令加0.5，再令取整，就对数据进行了四舍五入的处理。这时容易看出，新数据（整数）与原数据的差是―0.5到+0.5，误差区间是[-0.5,+0.5]，误差元的绝对值的最大值是0.5。此时用不确定度论的语言，表达为区间半宽，是可以的。但要注意，已进行四舍五入的数据同原来数据，有严格的关联关系：步长相同，零点及各个整数点的数值完全相同。整数加1的起跳点，是一样的；而任何测量仪器，由于系统误差、随机误差的存在，步长、起跳点，在量程内的各点不可能完全相同，而是有数倍于分辨力的变化。于是各数据点的误差区间绝大多数是非对称区间。而取区间半宽的作法，只有对对称区间才是对的。四舍五入的误差区间是对称区间，可以取区间半宽；但这仅仅是数据处理引入的误差，与分辨力引入的误差无关。

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例3 分辨力为1克的电子秤的分辨力误差范围是1克

我的文章中有两个表，出现的误差区间的大多数都是非对称区间。这些区间的可能值为：

          [0,0.9]、[-0.1,0.8]、[-0.2,0.7]、[ -0.3,0.6]、[ -0.4,0.5]、[ -0.5,0.4]、[-0.6,0.3]、[-0.7,0.2]、 [-0.8,0.1]、[-0.9,0].

在各个区间中，误差元的绝对值的最大值为0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

实验的分度再细一位，最大值为：0.99、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

实验的分度细到极限，最大值为：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整个量程来说，误差元的绝对值的最大可能值为1克，即分辨力为1克时，误差范围为1克（或称极限误差是1克、最大允许误差是1克）。

结论：分辨力是D，则引入测量误差范围是D；说是D/2，是错误的。

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如果反对例3 的分析，应该拿出一个不可能出现的实例来；如果拿不出反例，就该承认这个分析是正确的。要具体地算实例，不能凭想象。

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  （接下页）


   

接 9# 史锦顺 文

下边我指出先生分析的错误之处。若不同意，请说明理由。

1 说每加0.5克跳一次数，不对；那样就成为分辨力是0.5克了，而不是分辨力为1克了

2 不是对称的区间，就不能用区间半宽来代表误差元的绝对值的最大可能值。例如当区间为[0,0.9]时，最大误差元已是0.9，而去取半宽0.45，则是错误的。

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例4 数字式频率计的正负1误差

我退休前的业务工作，主要是搞频率测量与计量。数字式频率计，几乎每天都离不开。通用计数式频率计的原理就是在闸门时间（采样时间）内，数脉冲数。

脉冲数字技术，其本质特点是只有“0”“1”两个态。现代高速计算机，不管处理的信息量有多大，而归根结底只有0、1两个态。只是0与1 的不同组合，而构成海量信息。

数字式频率计的输入端，有放大整形器，使被测信号变成脉冲信号。严格地将信号的一个周期变成一个脉冲。若周期是10秒，每个脉冲代表周期10秒，即频率0.1赫。周期为1微秒，表示1微秒有1个脉冲，则1秒有1兆个脉冲，频率为1兆赫。

数字式频率计，利用本身自带的频标（晶振），产生标准时段，称采样时间，又叫闸门时间。闸门开的时段内，计进入闸门的脉冲数。通用计数式频率计只有计数功能，而没有计算功能。由于闸门时间是10进位的10秒/1秒/0.1秒/10 ms/1ms，示值上以kHz为单位，用小数点移位的方式来对应闸门时间的转换，即实现除以10或乘以10的操作。

通用计数式频率计 计数的最小单元是1个脉冲。此脉冲在1秒采样时，表1赫，10秒采样时，1个脉冲代表0.1赫；0.1秒采样时，1个脉冲代表10赫，10ms采样时1个脉冲代表100赫，1ms采样时1个脉冲代表1千赫。

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接 10# 史锦顺  文
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通用计数式频率计的分辨力是一个脉冲，简称±1误差。（频率计说明书上有。）

闸门的开启时刻与被测脉冲到来的时刻各自独立。

闸门时间是1秒时，倘被测频率为1.25Hz，周期为0.8秒，1个闸门时间内，可能出现一个脉冲，也可能出现2个脉冲，即示值为1Hz或2Hz，误差区间为[-0.25Hz,0.75Hz]，倘被测频率为1.01Hz，周期为0.99秒，1个闸门时间内，可能出现一个脉冲，也可能出现2个脉冲，即示值为1Hz或2Hz，误差区间为[0.01Hz,0.99Hz]；若被测频率是0.8Hz，周期是1.25秒，1秒采样时间内，可能出现1个脉冲，也可能是0个脉冲。即测得值是1Hz或0Hz，则误差区间是[-0.8Hz,0.2Hz]。倘被测频率是0.99赫时，测得值是1赫或0赫，则误差区间是[-0.99Hz,0.01Hz].

如上，对各种被测频率值，一秒采样时，分辨力的误差区间是[-1Hz,1Hz]。

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闸门时间为0.1秒时，一个脉冲代表10Hz。倘被测频率为12.5Hz，周期为0.08秒，1个闸门时间内，可能出现一个脉冲，也可能出现2个脉冲，即示值为10Hz或20Hz，误差区间为[-2.5Hz,7.5Hz]，倘被测频率为11Hz，周期为0.9秒，1个闸门时间内，可能出现一个脉冲，也可能出现2个脉冲，即示值为10Hz或20Hz，误差区间为[-1Hz,9Hz]；若被测频率是8Hz，周期是0.125秒，0.1秒采样时间内，可能出现1个脉冲，也可能是0个脉冲。即测得值是10Hz或0Hz，则误差区间是[-8Hz,-2Hz]。倘被测频率是9.9Hz时，测得值是10Hz或0Hz，则误差区间是[-9.9Hz,0.1Hz].

如上，对各种被测频率值，1秒采样时，分辨力为1Hz，误差区间是[-1Hz,1Hz]；而0.1秒采样，分辨力是10Hz，误差区间是[-10Hz,10Hz]。

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（接下页）

接 11# 史锦顺  文
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综上所述，通用数字式频率计的分辨力是一个脉冲所代表的频率值。闸门时间记为τ，分辨力记为D。有τ=10s，D=0.1Hz；τ=1s，D=1Hz；τ=0.1s，D=10Hz；τ=10ms，D=0.1 kHz；τ=1ms，D=1kHz

设标准的频率是fo（相对真值），则频率计的测量结果为

              Fm = fo±D

用频率计测量被测频率f，则测得值表征的量值群为：

              f = fm±D

请注意，不论从误差范围的角度，还是从量值范围的角度，都要取D，而不是D/2。

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分辨力是误差理论分析的一件小事，却是一件基本功。讨论清楚是必要的。

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不确定度论弄错许多事，分辨力也是一条。请网友细想一想，到底怎样处理正确。这也是对思想方法、研究方法的一次考验与锻炼。经过认真思考的学问才是真学问，人云亦云，就得不到锻炼。在科学理论上识错、纠错是大学问，很难。事情总得有人去做，我很希望我国的年轻一代，能在世界科技界争得话语权。误差理论与不确定度论的大论战，就是一个广阔的天地。

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我越来越觉得，所谓的“区间半宽”的提法，是不可取的。过些日子写成文章再和大家交流。我这里先点出问题，请网友独立地想一想，看看我们能不能得出同样的结论。不同意也好，辩论才有意思，才能提高。

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就十进制而言，以3位数显为例，
“数字测量设备”，如果显示驱动是模拟量放大方式的，那么数值3.9999999和3.9901234567，送显示都是显示3.99
“数字测量设备”，如果是智能系统，如果不做特别要求，那么电子工程师，是不会对计算的测值做四舍五入等等处理的

为什么微系统编程的常规作法是不做四舍五入呢？
因为，就“数字测量”而言，一是显示屏仅是输出接口之一，还有通讯输出方式，还有数模转换等等方式 。。。

　　非常高兴和史老师一起讨论问题，也非常感谢史老师给我的回复。史老师在8楼和9楼都是讨论的数字式测量设备的分辨力问题，如果放弃模拟式测量设备的“分度值”不谈，仅讨论数字式测量设备的“分辨力”带来的测量误差，我有以下看法，缪误之处请指正：
　　1.赞同史老师所说的例1“取整”误差（舍位误差）是数据处理的一种办法，是舍弃零数位，而只保留整数位。“取整产生的误差为：最小值：0；极限值：―1。”是一个非对称区间[―1，0]。
　　2.赞同史老师所说的例2四舍五入的误差的设法，即四舍五入的“误差区间是[-0.5，+0.5]　”。
　　就例1和例2来看，非对称区间 [-1，0] 和对称区间 [-0.5，+0.5] 的全宽都是1，半宽都是1/2，即半宽都是D/2。
　　3.史老师的例3是电子秤的例子，我也赞成“分辨力为1克的电子秤的分辨力误差范围是1克”，但决不是“±1克”。分辨力的“误差范围”是1克意味着最大与最小误差的差是1克，即全宽是1克，半宽仍然是D/2＝0.5克。
　　在例3中老师说有两个表，出现的误差区间的大多数都是非对称区间。这些区间的可能值为：[0，0.9]、[-0.1，0.8]、[-0.2，0.7]、[ -0.3，0.6]、[ -0.4，0.5]、[ -0.5，0.4]、[-0.6，0.3]、[-0.7，0.2]、 [-0.8，0.1]、[-0.9，0]。从这些区间的数据可以看出，不管出现哪一种区间，其区间的全宽都是0.9，半宽都是0.45。我觉得每个区间的后一个量值都应该增加0.1，所以全宽D＝1.0，半宽是D/2＝0.5。
　　4.对于老师说的例4，因为我不是搞时间频率计量工作的，恕我无能，不好乱说，就不说什么了。我觉得用史老师上述三个例子，就都已经都可以得出同一个结论了，即：设数字式测量仪分辨力是D，则分辨力带来的测量误差范围全宽是D；其半宽是D/2。既然测量范围的全宽是D，就不能再加符号“±”变成±D，±D的全宽就是2D了。至于误差相对于真值是否对称并不重要，重要的是全宽和半宽。不确定度评定中的标准不确定度分量评估必须使用的是半宽，因此必须是分辨力D的一半，即D/2。

回复 9# 史锦顺


史老师还是认为分辨力为D，误差范围是[-D，D]，我和规矩湾锦苑老师的观点是一样的，您举得那几个区间全宽均为0.9，不能以两头的[-0.9,0]和[0，0.9]认为误差范围是[-0.9，0.9]。还是那句话，这分别是两个点的误差范围，不能认为是一个点的误差范围。还是比如电子秤显示的11g这一点，如果认为其分辨力误差范围是[-1，1]，那么被测物的实际质量范围将是[10g，12g]，然而10g和12g时电子秤会显示11g么，应该是不会的。对于电子秤现实的其他点，如12g、13g。。。。。。也是一样的。

回复
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                            【史锦顺答辩（2）】

谢谢规矩湾锦苑、长度室二位的发言。

不确定度论宣贯以来，已造成很多不良影响。而其中最重要的是不确定度论引起的学习方法、研究方法、思想方法的混乱。我们讨论，可能是很具体的特定问题，但其根源则是“怎样思考问题”“怎样判断是非”这类问题。人的正确的思想方法，不是生来就有的，而是长期、反复实践的结果。弄清一个问题，应该知道为什么对了；弄错一个问题，要总结错是怎样产生的。

我们这些学自然科学的，学技术的，从中学、大学的课本，到工作中用遇到的文献、规程规范、参考书，应该说基本上或绝大多数都是正确的，于是就容易形成“已有的理论都是正确的”这样一种观点。于是就容易形成对不同观点的反感情绪。我说这些，不是怕你们反对我，我只是说：要仔细想清楚老史的“异论”有没有道理。争论是有意义的，但前提是互相尊重。对对方的尊重，不是说要无原则地同意对方意见，而是要认真思考对方的观点。好了，我们谈具体问题。

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1 误差区间必须适应整个量程

分析测量仪器的误差，不能只考虑某个量值点的问题，要考虑整个量程，或者说全部有效量程。模拟量仪表的量程的小端（0到1/5）不该用（相对误差大），可以不考虑，但从1/5量程到满量程必须全盘考虑。

误差分析，不能只限于某些测量点，而要考虑量程的整体。

如例3，当实验很细（所加物的单元极小）时，各测量点的误差区间为(单位克)：

        [0,1]、[-0.1,0.9]、[-0.2,0.8]、[ -0.3,0.7]、[ -0.4，0.6]、[ -0.5，0.5]、[-0.6，0.4]、[-0.7，0.3]、 [-0.8，0.2]、[-0.9，0.1]、[-1,0]。

各区间中的误差绝对值的最大值为：1.0、0.9、0.8、0.7、0.6、0.5

而就整个量程来说，误差元的绝对值的最大可能值为1克，即分辨力为1克时，误差范围为1克（或称极限误差是1克、最大允许误差是1克）。

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分辨力对各个点引入的误差的最大可能值，是不同的。怎样概括全量程的分辨力的误差范围呢？只有区间[-1g,1g]能包容出现的的各种可能的区间。要注意，最基本的定义是误差元与误差范围。误差元是测得值减真值（或称表征值减实际值），而误差范围是“误差元绝对值的最大可能值”。总观全量程各点，“误差元绝对值的最大可能值”是1g，因此1克是误差范围，表成区间是[-1g,1g].

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如果把区间看作是[-0.5g,0.5g],那样误差元绝对值的最大可能值就是0.5g,这显然是不对的。[0,1g]与[-0.5g,0,5g]这两个区间的宽度一样大，但前者的最大误差是1g,而后者的最大误差是0.5g,在误差的表达上，二者不是相等，而是两倍关系。

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（接下页）

接16# 史锦顺  文

2 区间必须包含真值

真值就是客观值、实际值，讨论误差问题，不考虑真值是不行的。抛开真值，就无法谈误差，也就谈不清任何问题。不确定度论的最大误区，就是刚出世时严格地回避真值，结果不行，说不清自己的物理意义是什么。到VIM第3版（2008版）才说不确定度是包含真值的区间的半宽。这是一大进步，但由于不确定度概念没有基本单元的定义，因此说不清真值是怎样包含的。

不确定度论既已说明不确定度是包含真值的区间，这就没有回头路，就不能再回避真值（不谈真值的不确定度毫无意义，号称过“不可信性”，但那是无解的废话），而必须在自己所指的区间中包含真值。

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说分辨力1g的区间是[-0.5g,0.5g],这只对极个别的测量点是对的，而对大多数量值点是不对的。以测得值为中心的[-0.5g,0.5g]区间将可能不包含真值。区间必须包含真值，不包含真值的区间，毫无意义。论及区间，而又说与真值无关，这不仅仅违反误差理论，也是不确定度论不能允许的，VIM第三版已明确：不确定度是包含真值的区间的半宽，不包含真值，就谈不上是不确定度，就是错误的区间。

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3 只有对称区间，“区间半宽”才有物理意义

通过讨论所列举之分辨力区间的实例，对各测量点来说，分辨力误差区间的绝大部分是非对称的；而只要不对称，最大误差就必然大于0.5。宽度为1的严格的对称区间，上下限必须是一半，这个“一半”稍不足，例如0.4999,或稍过一点，例如0.5001，都是不对称区间。因此，严格的对称区间的概率极小，各点的区间几乎都是不对称区间，而总宽度为1的不对称区间的半宽必然小于误差绝对值的较大的值。因此，“区间半宽”不足以表达误差绝对值的最大值。有时是2倍关系。因此取区间半宽的作法本身，是不妥当的。我认为，“区间半宽”的说法与取法，貌似简要明确，其实是违反“误差绝对值的最大值”是误差范围这个根本点的，因而是错误的。也就是说“区间半宽”是存在的，但在一般的情况下，普遍地以区间半宽来表达误差，来圈定真值，那是错误的。-

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区间半宽的说法，在某些特殊情况下成立。如先定下最大允许误差的绝对值为W，然后，取正负W为区间，即[-W,W],这时，必是对称区间，区间半宽又必然等于误差绝对值的最大值。这样的分析程序，在不确定度的分析中一直在用，那就是得到扩展不确定度U之后，以“测得值±U”来表达测量结果，这实际上就是给出以测得值为中心的对称区间[-U,U],这时是对称区间，说区间半宽，就是说误差绝对值的最大值，又是以测得值为中心的，于是自然就包括了真值。

由上可知：按“先确定最大误差，再确定对称区间”的顺序办，区间半宽与最大误差是统一的，“区间半宽”的提法可用。

把区间半宽的提法用在分辨力误差的分析上，正确的作法是：第一步，综观各个测量点，分辨力为D时，分辨力的误差绝对值的最大可能值是D；第二步由最大误差绝对值D,确定误差区间是[-D,D],可表为±D。D是区间半宽，分辨力引入的误差是D.

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结论：分辨力是D，则引入测量误差范围是D；说是D/2，是错误的。

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                                    史锦顺答辩(3)

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【规矩湾锦苑质疑】

.非常赞成史老师所说对一台测量设备而言“误差区间必须适应整个量程”的观点，但是此处的“误差区间”实际上是“示值误差”的变化区间，是示值误差范围，不是“分辨力”的区间。老师本帖子主题是“夸张的分辨力”，是仅就分辨力是否被夸张来讨论的。史老师在“板凳”楼层帖子中的第1条偏离了分析“分辨力”的主题，而是在分析“示值误差范围”了。数字式测量设备的“分辨力”，说白了就是末位数跳一个字所代表的被测量的量值D。≥D/2时数显窗就会跳一个字，显示数字增加一个D；＜D/2时，数显窗的显示将纹丝不动，仍然显示原来的数字。术语“分辨力”和“示值误差”有着严格的区别。
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【史辩】

  史文的题目确实是“夸张分辨力”，内容讲的就是分辨力引入的示值误差的大小，抛开“误差”，谈分辨力就没有意义。全文也都是谈“分辨力是D时，引入误差是D还是D/2”这个问题。题目总要简要，本来无歧义，不必浪费笔墨去说明。数字式仪表的分辨力就是尾数一个字，误差理论（如频率界）就直呼正负1误差。在这里，区分分辨力与示值误差，既不必要，也不应该。分辨力是该项示值误差值的“因”，该示值误差是分辨力不高的“果”，要讨论的正是这个因果关系，二者怎么分？怎能分？

数显测量仪器分辨力为D，就是输入量变化为D时，测量仪器数显才有变化，这本无争议。奇怪的是您的帖中却出现如下表述： 数字式测量设备的“分辨力”，说白了就是末位数跳一个字所代表的被测量的量值D。≥D/2时数显窗就会跳一个字，显示数字增加一个D；＜D/2时，数显窗的显示将纹丝不动。 第一句是对的，此后不对。第100次跳字（此前为量程低端，一般不好用）到101次跳字，间隔是D, 没办法找半个字的对应点。你能把输入之标准值改变D/2,数显窗却反应不出来。设第一次跳数，标准值与刚刚跳的数显值的差值是A,这个差值是系统误差（作此实验时，随机误差必须可略）引入；将标准值逐步增加，直到增加D-Δ, Δ足够小，数显窗将要变而尚未变，这时被测标准量已改变D(Δ足够小,忽略)，则数显值与标准值之差为A-D。其中的-D是示值误差的改变量，也就是说，-D是分辨力引入的误差。

我们把输入标准值的顺序改为从大到小。在第501次（从1到满度数）跳变刚刚跳过时，跳过的数显值与标准值之差为B，减小标准值，数显因分辨力低而保持不变。标准值减小（D-Δ）Δ足够小，数显窗将要变而尚未变，这时被测标准量已减小D(Δ足够小,忽略)，则数显值与标准值之差为B+D。其中的+D是示值误差的改变量，也就是说，+D是分辨力引入的误差。综合这两处，仅仅由分辨力引入的误差区间是[-D,D].

接 18# 史锦顺  文

以上情况，数显值跳变发生在数显值的数与标准值的整数恰好对齐的时候。即A、B是D的整倍数的时候。当A是D/2的奇倍数时，跳变的发生点位移D/2。设跳变点的系统误差A为-D/2。若第100跳变点发生时A=-D/2,此时数显的误差就是-D/2。被测标准增加D，将发生第101次跳变。我们把实验控制在增加量为D-Δ,此时跳变将要发生，而尚未发生。这时的示值误差为A+D(Δ很小，可略，A已设是-D/2)，即为D/2，误差区间为[-D/2,D/2].

由上说明，可能出现误差区间是[-D/2,D/2]的情况，但要注意，1 此时的误差是系统误差与分辨力误差的综合结果，并非分辨力单独引入。 2 在全部量程中，此种情况出现的概率极小。而绝大部分区间的误差绝对值的最大值是0.5D多一点到1.0D之间，这样，就全量程来说。误差绝对值的最大值就是D,因此，误差区间是[-D,D],而不可能是[-D/2,D/2].

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在此，我提供另一种考虑分辨力引入误差大小的思路。先考虑分辨力极小即D为零时的情况，再考虑分辨力D为某值时的情况，然后考虑两种情况的区别。

数显的分辨力越高，即D值越小。用一台可细变输出值的标准，被要研究的数显测量仪器测量。标准应有很高的标准量值的细分能力。

情况A    被检测量仪器的D值小于标准的D值，标准的量值变化，完全被数显测量仪器反映出来，此时无分辨力误差。

情况B   标准的量值与数显测量仪器之间无误差，既无系统误差也无随机误差。而标准的细分力高于测量仪器的分辨力。研究分辨力，就需要这种情况。这种情况是可以实现的。我在1990年前后，为配合本所程控交换机项目，研制过两台异值频率比对器，鉴定时，必须严格测量分辨力误差。我用HP8662A频率合成器做标准信号源，而用通用计数式频率计做数显。信号源、比对器标准端、频率计三者共源，以实现无系统误差与随机误差（秒采样，在1E-13内）。测量结果：秒采样，在1E-12内，频率计显示的改变量的计算值与标准输出的改变量一致。理论被证实，仪器性能满足指标要求。

在情况B的条件下，研究分辨力，做分辨力的实验，是最有说服力的。简化上述装置，HP8662A为标准源，输出直接接数字式频率计。二者共源。

由于系统各种误差都很小，可以凸显分辨力的作用。由此可专门研究分辨力问题。

（接下页）

接 19# 史锦顺 文

我们的思辨开始。如果频率计的分辨力很高，则数显频率值（测得值）应与标准源标准值完全一样。测量1234500.0Hz附近的标准源的频率（可看做真值），观察标准源频率与频率计的示值（测得值）二者的差别，这个差别是由频率计分辨力引入的，是分辨力误差。

表1    频率计10秒采样，分辨力0.1Hz。表中单位Hz。

     标准源          频率计

1234499.9       1234499.9

1234500.0       1234500.0

1234500.1       1234500.1

1234500.2       1234500.2

1234500.3       1234500.3

1234500.4       1234500.4

1234500.5       1234500.5

1234500.6       1234500.6

1234500.7       1234500.7

1234500.8       1234500.8

1234500.9       1234500.9

1234501.0       1234501.0

1234501.1       1234501.1

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表2 频率计秒采样，分辨力1Hz。表中单位Hz。

   标准源         频率计

1234499.9        1234499

1234500.0        1234500

1234500.1        1234500

1234500.2        1234500

1234500.3        1234500

1234500.4        1234500

1234500.5        1234500

1234500.6        1234500

1234500.7        1234500

1234500.8        1234500

1234500.9        1234500

1234501.0        1234501

1234501.1        1234501

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表3 频率计0.1秒采样，分辨力10Hz。

  标准源(Hz)    频率计(kHz)

1234499.0        1234.49

1234500.0        1234.50

1234500.1        1234.50

1234501.2        1234.50

1234502.3        1234.50

1234503.4        1234.50

1234504.5        1234.50

1234505.6        1234.50

1234506.7        1234.50

1234507.8        1234.50

1234509.0        1234.50

1234510.0        1234.51

1234511.0        1234.51

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表4 频率计10ms采样，分辨力100Hz。

  标准源(Hz)        频率计(kHz)

1234490.0           1234.4

1234500.0           1234.5

1234510.1           1234.5

1234521.2           1234.5

1234532.3           1234.5

1234543.4           1234.5

1234554.5           1234.5

1234565.6           1234.5

1234576.7           1234.5

1234587.8           1234.5

1234599.9           1234.5

1234600.0           1234.6

1234610.0           1234.6

（接下页）

接 20# 史锦顺  文

        由以上四表可以看出，通用计数式频率计，10秒采样时，分辨力是0.1Hz,测得值与标准值完全一样，不存在分辨力误差。（标准的细分度也是0.1Hz）,这就是说，当标准值的变化时，测量仪器示值有同样的变化，分辨力无误差。

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    表2 一秒采样，频率计分辨力1Hz，凡整数频率，频率计跳数，示值与标准值一致，无误差。标准源频率的小于1Hz的变化，频率计反映不出来，形成示值误差，从-0.1到-0.9。易见误差绝对值的最大值是1Hz。用不确定度的语言，U等于1Hz，则不确定度区间为±1Hz。大量样板评定都是这样先找U，而后以±U来表示包含区间。

表3是 0.1秒采样，分辨力为10Hz。凡10 的整数倍的频率，频率计尾数跳数字，频率计示值与标准频率一致。而标准源的小于10Hz的变化，频率计反映不出来，形成示值误差，从-1Hz到-9.9Hz。易见误差绝对值的最大值是10Hz。用不确定度的语言，U等于10Hz，则不确定度区间为±10Hz。大量样板评定都是先找U，而后以±U来表示包含区间。不是吗？

表4是 10ms采样，分辨力为100Hz。凡100的整数倍的频率，频率计尾数跳数字，频率计示值与标准频率一致。而标准源的小于100Hz的变化，频率计反映不出来，形成示值误差，从-10Hz到-99Hz。易见误差绝对值的最大值是100Hz。用不确定度的语言，U等于100Hz，则不确定度区间为±100Hz。大量样板评定都是先找U，而后以±U来表示包含区间。难道不是吗？这里有什么错？

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（接下页）

接 21# 史锦顺 文
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【规矩湾锦苑质疑】

不确定度的大小是凭重复性试验或者所掌握的信息来评估真值可能存在于多大的范围内。不确定度仅仅是一个区域宽度，至于区域的对称中心在哪里（真值的大小），给出测量结果的测量者是不知的，需要通过另一个比他的准确度更高的测量过程测量才能得到，测量者只要给出测量结果和测量结果的可信性（不确定度）就可以了，给不出也没有必要给出被测量真值。

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【史辩】

不确定度论回避真值而讲可信性，这样，不确定度就毫无意义。连距真值多远都不知道，可信性就是一句废话。如果不知道测得值与真值之差，此测得值就不可信。

不确定度论又表明，“不确定度是包含区间的半宽”，那么，真值就必须在区间中，且必须是区间的中心。说“给不出也没有必要给出被测量真值”，这不仅达不到测量的目的，也不符合不确定度论本身对不确定度的意义的说明。

不确定度论本身矛盾重重，用不确定度论说事，神人也说不清。

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而从误差理论看问题，就非常明确，实用。测得值减真值（用误差可略的标准值代表真值）是误差元，误差元的绝对值的最大值是误差范围.

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（接下页）

接 22# 史锦顺 文

   1 测得值范围

设真值为Z，测得值为M，误差元为r,误差元绝对值的最大值为R。计量时，真值唯一，而测得值是个变量。

    R=│r│max=│M-Z│max                （1）

解绝对值方程（1）

当M＞Z，有

    R=(M–Z)(大)=M(大)-Z

    M(大)=Z+R                             (2)

当M＜Z，有

    R=(Z-M)(大)=Z-M(小)                  

   M(小)=Z-R                             (3)

由（2）（3）式，得到测得值M的范围是

    [Z-R,Z+R]                             (4)

测得值范围又可表示为

    Z±R                                  (5)

（4）（5）式是以真值为中心的测得值的区间的表达式。

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2 真值范围

测量时，得到确定的测得值，是唯一值。而真值有多种可能，从可能值Z(小)到可能值Z(大)。

解绝对值方程（1）

当Z＞M，有

    R=(Z-M)(大)=Z(大)-M

    Z(大)=M+R                             (6)

当Z＜M，有

    R=(M-Z)(大)=M-Z(小)

    Z(小)=M-R                             (7)

由（6）（7）式，得到真值的范围是

    [M-R,M+R]                            （8）

真值范围又可表示为

    M±R                                  (9)

（8）（9）式是以测得值为中心的真值范围的表达式。

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由上，误差理论给出两个区间，一个是以真值为中心的测得值区间，一个是以测得值为中心的量值群（真值群）的区间。真值与测得值之间的联系纽带是误差范围（即误差元绝对值的最大值），测得值与真值二者，知道一个，就可知道并表达另一个。这对测量与计量工作，是很重要的，也是很实用的。

误差理论是严密的、实用的；不确定度论表达不了任何问题：讲可信性而回避真值，则无可信性；说是包含真值的区间半宽，却没有联系测得值与真值的纽带，于是也就无法包含真值。

讲可信而不可信；说包含真值而无法包含。不确定度论，算什么东西？

（接下页）

接 23# 史锦顺 文
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【规矩湾锦苑质疑】

对于“只有对称区间，‘区间半宽’才有物理意义”我持有异议。区间讲的是一个范围。范围只有宽度而无正负号，至于是不是对称区间，则是人为设定的。例如对于误差区间[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它们的真值分别是9.5、9、8.5，三个区间的物理意义完全相同。它们的区间宽度都是D＝1，半宽都是D/2＝0.5，怎么能够说区间半宽就没有物理意义呢。　  分辨力的定义是“引起相应示值不可检测到变化的被测量的最大变化”，分辨力属于“区间”的概念，区间宽度就是分辨力自己D，分辨力引入的误差半宽只能是D/2。

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【史辩】

误差区间是[-1,0]表示的是：区间下限：M-Z=-1，区间上限M-Z=0。就是说，当已知测得值是10时，则真值下限是9，上限是10，区间半宽是0.5。说区间半宽是不确定度U, 那样包含区间就应该是[-0.5,0.5],这就与原表达完全不同。原来表达最大误差值是1，而新表达最大误差是0.5。也就是说，不对称的区间，不可用区间半宽说事，也就是说区间半宽不是最大误差，因此不对称区间也就没有“区间半宽是最大误差”这个物理意义，而“区间半宽是最大误差”这一点，又最常用，而不对称区间不符合此条，必须排除在外，因此才说“只有对称区间，‘区间半宽’才有物理意义”这句话。这句话乃至理之言，先生认为它错，不应该。先生把不对称区间与对称区间混淆了，该考虑考虑二者的原则区别。很明显，区间[-1,0]的最大误差范围是1，测得值比真值从小1到测得值与真值相等；区间[0,1]的最大误差范围是1，从测得值与真值相等到测得值比真值大1；区间[-0.5,0.5]的最大误差范围是0.5，从测得值比真值小0.5到测得值比真值大0.5。三个区间的意义本质不同，怎能说三者一样？只有对称区间[-0.5,0.5]的区间半宽才有“区间半宽是最大误差”这个物理意义，而区间[-1,0]与区间[0,1]虽然半宽都是0.5，但0.5却都不是最大误差。三个区间区别这样大，怎能说它们一样？

分辨力是D，引入的示值误差的绝对值的最大值是D,这相当于U等于D,因而区间是±U即±D。说“分辨力引入的误差是D/2”是不对的。

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　　史老师非常耐心地对我的回复给予了答复，我再次表示衷心感谢。史老师分成了“答辩（2）”和“答辩（3）”两部分给我做了耐心讲解，其中答辩（3）是对我回复答辩（2）时的解答。虽然答辩（3）中引用了我的主要想法，为了方便量友们参与我和史老师的讨论，现将我对史老师给我的答辩（2）的观点转抄如下：
　　1.非常赞成史老师所说对一台测量设备而言“误差区间必须适应整个量程”的观点，但是此处的“误差区间”实际上是“示值误差”的变化区间，是示值误差范围，不是“分辨力”的区间。老师本帖子主题是“夸张的分辨力”，是仅就分辨力是否被夸张来讨论的。史老师在9楼帖子中的第1条偏离了分析“分辨力”的主题，而是在分析“示值误差范围”了。数字式测量设备的“分辨力”，说白了就是末位数跳一个字所代表的被测量的量值D。≥D/2时数显窗就会跳一个字，显示数字增加一个D；＜D/2时，数显窗的显示将纹丝不动，仍然显示原来的数字。术语“分辨力”和“示值误差”有着严格的区别。
　　2.也非常赞同“区间必须包含真值”的说法。但是“误差”和“真值”的关系与“不确定度”和“真值”的关系完全不同，“误差范围”的区间和“不确定度”的区间也不能画等号。其区别界限在于：
　　误差是测量结果与真值的差，定量表征测量结果的准确性。因此“误差范围”就应该是测量结果偏离真值的范围。要知道误差大小就必须先知道被测量的真值和测量结果。被测量真值是未知的，如果已经知道也就用不着测量了。因此，对于检定/校准而言，真值是用计量标准的输入量“约定”的，然后用被检测量设备输出值去和约定真值相比较。
　　不确定度是表征测量结果可靠性（可疑度）的范围，其大小用被测量真值可能处于的区间宽度（半宽）来表示。因为被测量的“真值”是未知的，测量者想用测量结果代表被测量的真值，除了有准确与否的问题外，还有一个值不值得令人相信的问题。换句话说，用测量结果代表真值是值得令人怀疑的，怀疑程度的大小就是不确定度。不确定度的大小是凭重复性试验或者所掌握的信息来评估真值可能存在于多大的范围内。不确定度仅仅是一个区域宽度，至于区域的对称中心在哪里（真值的大小），给出测量结果的测量者是不知的，需要通过另一个比他的准确度更高的测量过程测量才能得到，测量者只要给出测量结果和测量结果的可信性（不确定度）就可以了，给不出也没有必要给出被测量真值。
　　3.对于“只有对称区间，‘区间半宽’才有物理意义”我持有异议。区间讲的是一个范围。范围只有宽度而无正负号，至于是不是对称区间，则是人为设定的。例如对于误差区间[-1，0]、[-0.5，+0.5]、[0，+1] ，如果它们的真值分别是9.5、9、8.5，三个区间的物理意义完全相同。它们的区间宽度都是D＝1，半宽都是D/2＝0.5，怎么能够说区间半宽就没有物理意义呢。
　　分辨力的定义是“引起相应示值不可检测到变化的被测量的最大变化”，分辨力属于“区间”的概念，区间宽度就是分辨力自己D，分辨力引入的误差半宽只能是D/2。