本帖最后由 史锦顺 于 2016-1-30 15:34 编辑
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关于交叉系数论
—— 答qcdc（1）
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史锦顺
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【qcdc质疑】
《费书》的例3-7是讲圆柱体体积的误差合成与分配，您可能没有看仔细，测量直径和高是用了两种不同的仪器，即分别用了2级的千分尺和分度值为0.10mm的游标卡尺，请问这两个量怎么相关？怎么用相关系数？最近您发明了“交叉系数”，等于+1或-1，似乎为您的取“绝对和法”找到了理论依据，但是，“交叉系数”理论是不存在的，请您三思！
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【史答】
《费书》例3-7的测量工具本身误差的独立性，我并未忽视。
以往的理解，受“相关性”的影响很深。来自统计理论的“相关性”，被用来考虑“协方差”（钱钟泰称“交叉矩”）是否可忽略，人们习以为常，似乎既然来自统计理论，就必定是真理，毋容置疑。其实，对系统误差（包括以系统误差为主的测量仪器的误差范围）来说，这是个历史性的错误。
原来，决定误差合成方式的依据是“交叉系数”而不是“相关系数”。人们会明白，这项揭示，对误差理论，对整个测量学理论都是重要的。
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我知道，你对“以交叉系数代替相关系数”的观点，持否定态度。没关系，可以慢慢讲道理、辩论。
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我不是一眼就看穿这个问题的，而是经过了长时间的思考。经历了几个阶段。对相关系数的求法、作用，不仅是三思，而是百思不得其解。而在追本溯源的探讨中，得知本质是交叉项的问题，可以用交叉系数来描述，此后便一顺百顺。
有一位叫physics的网友，五个月前给我写了一封信（在我不熟悉的栏目中，昨天才看到），表示愿意学习老史的理论。今天我把个人的观点与有关交叉系数的理论，较详细的写出来（大部分是复制），一方面答复qcdc,也是对physics网友的体现尊师重道精神的来信的回复。至于某些不礼貌的帖子，我不想回应，由他去吧。不正视客观规律，到头来，吃亏的是他自己。
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1 对相关系数公式的适用范围的突破
科学不能凭印象，不能凭主观估计。测量计量学是关于“量”的科学，评估不行，必须严格计算。计算依据公式。现行的相关系数公式为：
r=[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yi-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （a）
这个来自统计理论的公式（a），仅适用于随机变量。
公式（a）对系统误差的灵敏度为零。Xi加A，则X(平)也加A，Xi-X(平)必然消掉A。同样，Yi加B，则Y(平)也加B，Yi-Y(平)必然消掉B。就是说系统误差A、B不论是何值，不论A与B相关还是不相关，相关系数都是零。
因此，相关系数公式（a）不能用于对系统误差合成问题的分析。于是，只得追根溯源，从头分析。只得重新推导公式。
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2 关于费先生的实例
圆柱体的两个尺寸的测量误差，可以说没有关系，因为是不同测量工具测量出来的。也可以说有极强的关系，因为体积公式决定，直径D与高度H，必须相乘才能求得体积，高度H与直径D共同决定体积的大小。直径D的误差范围与高度H的误差范围，共同决定体积值的误差范围。微分原理决定要取两个误差元的代数和。必须放在一起计算，就不能说它们间不相关。
H与D只知道误差范围，因此有误差合成的求法问题。其实，相关还是不相关，对误差合成问题都没关系，本质是“交叉矩”能否忽略。系统误差的交叉系数是±1，仅能取+1。《费书》的例子，误差项只有两项，必须取+1，因而必须取绝对和。取方和根是错误的。
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3 要正视现实
史锦顺的关于“误差合成方式取决于交叉系数”的理论（简称“交叉系数论”）已在网上公布，这是客观事实。你可以赞成，更可以反对，但说“不存在”，是不应该的。创办《奇迹文库》的旅美博士王彦宏介绍过，国际上，凡在学术专业网上发表文章，就被认定是已经发表。不能说纸上印的才有效，那是老黄历。
任何理论都是人创造的。正确还是错误，取决于是否符合客观规律。先生似乎认为只有前人的、被公认的理论才算“存在”，这是阻碍科学发展的狭隘观点。
你应该对老史的“相关系数论”驳斥一番。我必定认真地思考、详细地说明、严肃地辩论。只说一个“不存在”，无效。挂在网上，大家都看得到，怎能说“不存在”？
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附言
再次感谢njlyx（李永新）、崔伟群二位先生。我从他们那里得知：系统误差的相关系数是+1或-1。这大大促进了我对交叉系数的研究。
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附录：交叉系数论（史锦顺 2015 郑州）
（一）误差合成的两种思路
经典误差理论的误差合成，随机误差自身用“均方根法”，随机误差间用“方和根法”，系统误差间用“绝对和法”。方法没能统一。
GUM为代表的不确定度理论，统一采用“方和根法”，对随机误差的处理与经典误差理论相同，没有问题；但对系统误差的处理，用“方和根法”，出现严重问题。第一，合理性问题。在系统误差合成的条件下，二量和的平方的展开式的交叉项，不能忽略，交叉系数是+1或-1，因而此时不确定度评定中的“假设不相关”是不成立的。第二，为实行“方和根法”，带来五项难题：（1）需知误差量的分布规律、（2）化系统误差为随机误差、（3）假设不相关、（4）范围与方差间的往返折算、（5）计算自由度。其中有的很难，如（1）（4）（5）；有的多数情况不对，如（3）；有的不可能，如（2）。
笔者在网上讨论的基础上，提出统一处理误差合成的“方根法”。“方根法”体现误差量的“绝对性”与“上限性”两个特点，着眼于误差范围，统筹随机误差与系统误差的处理，把系统误差元与随机误差元都变成是误差范围的直接构成单元，用取“方根”的办法实现误差的绝对值化。为此，用可正可负的恒值β代表系统误差元；用三倍的随机误差元3ξi 代表随机误差对误差范围的贡献单元。这样，系统误差β与随机误差元3ξ对误差范围的贡献权重相同，都是1。于是，公式推导与合成处理，都方便，给出的处理办法，十分简洁。
不确定度理论的思路是将众多的系统误差化向随机误差。此乃“众归一”。但系统误差多种多样，化向随机误差很难，甚至不可能。这就是不确定理论烦难乃至不成立的根源。
本文的思路是使随机误差对误差范围的权重为“1”，使其与系统误差权重相同。此乃“一从众”。达到此目的的方法极其简单，就是对随机误差元乘以3。
两种思路，导致处理方法一繁一简，难易分明。不确定度理论的烦难方法，基于不符合实际的臆想（用生产厂家不同、原理不同的多套仪器测量同一个量，系统误差有分布）；本文的方法是基于客观实际（用同一套测量仪器，重复测量中系统误差为恒值）的严格推导。是非曲直，昭然若揭。
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（二）随机误差元构成的误差范围
随机误差的处理，经典误差理论有成熟、完美的处理方法。
测量实践中，人们易于认识随机误差。对常量的重复测量中，测得值的随机变化就是随机误差。
随机误差元可大可小，可正可负。有四个特性：
（1） 单峰性：小误差概率大；大误差概率小
（2） 对称性：数值相同的正负误差概率大致相等
（3） 抵消性：求平均值时正负误差可以抵消或大部分抵消
（4） 有界性：很大的误差概率很小。（以3σ为半宽的区间，包含概率99.73）。
按统计理论，随机误差是正态分布。
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对随机误差，有如下定义与关系：
1 随机误差元等于测得值减测得值的期望值（当无系统误差时，期望值是真值）。随机误差元的期望值是零。随机误差元为：
ξi = Xi - EX （1）
2 标准误差定义为
σ =√(1/N)∑ξi
=√(1/N)∑(Xi-EX) （2）
3 贝塞尔公式用测得值的平均值代换（2）式中的期望值，得到：
σ =√{[1/(N-1)]∑[X-X(平)]^2} （3）
4 随机误差范围
R = 3σ =3√(1/N)∑ξi^2
=√(1/N)∑(3ξi)^2 （4）
5 由公式（4），有：
R=3σ(ξ)= σ(3ξ) （5）
随机误差元的3倍值（3ξ），其统计意义的方根值等于误差范围值。因此3ξ对误差范围的权重为1。因此3ξ在构成误差范围时与系统误差的权重相同。以后，我们把随机误差元对误差范围的贡献因子取为1/3，而系统误差的贡献因子取为1。
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（三）单项系统误差元构成的误差范围
系统误差元用β表示。β是可正可负的恒值。
单个系统误差构成的误差范围
R =√(1/N)∑(βi)^2
= |β| （6）
单个系统误差对误差范围的贡献是该系统误差的绝对值。
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（四）误差合成的理论基础
函数的改变量，等于函数对各个自变量偏微分的和。就是泰勒展开的一级近似。
f(x,y) = f(xo,yo)+ (∂f/∂x) (x-xo)+ (∂f/∂y) (y-yo) （7）
f(x,y) - f(xo,yo) =(∂f/∂x) Δx+ (∂f/∂y) Δy （8）
Δf =(∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy （9）
公式（9）是偏差关系的普遍形式。对所研究的特定函数来说，∂f/∂x、∂f/∂y是常数。
偏差关系用于测量计量领域，x是测得值，xo是真值, Δx是测得值x的误差元；y是测得值，yo是真值，Δy是测得值y的误差元；f(x,y)是代表被测量的函数值， f(xo,yo) 是函数的真值，Δf= f(x,y)-f(xo,yo) 是函数值的误差元。
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（五）交叉系数的一般表达
设函数的误差由两项误差Δx、Δy引起。由此，函数的两项误差元为：
Δf(x) = (∂f/∂x) Δx
Δf(y) = (∂f/∂y) Δy
把分项误差作用的灵敏系数与该项误差归并，记为：
Δf(x) =ΔX
Δf(y) = ΔY
函数的误差元式（9）变为：
Δf=ΔX +ΔY （10）
对（10）式两边平方并求和、平均：
(1/N)∑Δf^2=(1/N)∑(ΔX +ΔY)^2
=(1/N)∑ΔX^2 + 2(1/N)∑ΔXΔY+(1/N)∑ΔY^2 （11）
（11）式右边的第一项为σ(X)^2，第三项为σ(Y)^2; （11）式右边的第二项是交叉项，是我们研究的重点对象。交叉项 为
2(1/N)∑ΔXΔY =2【(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}】
×{√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]}
= 2J√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2] （12）
（12）式中的J为：
J =(1/N)(∑ΔXΔY) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （13）
称J为交叉系数。
（注：J在此前记为r，称为相关系数。这和统计理论的相关系数，物理意义不一致。为澄清已有的混淆，本文称J为交叉系数。）
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（六）随机误差间合成的交叉系数
对随机误差的合成，ΔX是ξx, 代换为[X-X(平)]；ΔY是ξy，代换为[Y-Y(平)]，有：
J =[1/(N-1)][∑[Xi-X(平)][(Yj-Y(平))] / [σ(X) σ(Y)] （14）
由于ξx、ξy是随机误差，可正可负，可大可小，有对称性与有界性，多次测量，是大量的，因此，随机误差间的合成的交叉系数为零（或可以忽略）。（14）式是当前不确定度论引用的统计理论的相关系数公式。
随机误差合成，“方和根法”成立，有
σ(f) =√[σ(X)^2+ σ(Y)^2] （15）
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（七）随机误差与系统误差合成的交叉系数
两个分项误差，一个是随机的，记为ξ，考虑到对误差范围的权重，取单元量为3ξ（ΔX）；一个是系统的（重复测量中不变），记为β（ΔY）。
代入公式（13），有
J =(1/N)(∑3ξiβ) / [σ(X) σ(Y)] （16）
系统误差元是常数可以提出来，有
J =(1/N) (3β∑ξi) / {√[(1/N)∑ΔX^2]√[(1/N)∑ΔY^2]} （17）
大量重复测量（例如N=20，N不得小于10）中，（17）式的∑ξi等于零或可以忽略，因此J近似为0，可以忽略。“方和根法”成立。
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（八）系统误差与系统误差合成的交叉系数
设（13）式中ΔX为系统误差βx ，ΔY为系统误差βy，有
√[(1/N)∑ΔX^2]= |βx| （18）
√[(1/N)∑ΔY^2]= |βy| （19）
则系统误差的交叉系数为
J =(1/N)(∑βxβy) / [|βx| |βy|] （20）
=(1/N) (∑βxβy) / [ |βx| |βy| ]
=±1
即有
|J|=1 （21）
当βx与βy同号时，系统误差的交叉系数为+1；当βx与βy异号时，系统误差的交叉系数为-1.
当系统误差的交叉系数为+1时，（11）式为：
| Δf | =|βx^2|+2|βx||βy| +|βy|^2
即有
| Δf | =|βx|+|βy| （22）
（22）式就是绝对值合成公式。
当系统误差的交叉系数为-1时，（22）式变为二量差的公式。因为通常只是知道系统误差之误差范围，又鉴于误差量“上限性”的特点，二量差的公式不能用。
测量仪器的性能指标，给出的都是误差范围。
单值量具，如果上级计量已给出修正值（不是一般的测得值，必须是给出的带有修正误差的修正值），并且已按修正值使用，则该量具的随机误差与修正前相同；而修正后的系统误差等于修正值的误差[(标准的系统误差与随机误差)+被检仪器的随机误差]。
测量仪器，通常有几千到几十万个测量点。上级计量部门通常只能给出十几个到几十个校准点的修正值。只有这些点（或很接近的点）能修正；杯水车薪，测量仪器的绝大部分的测量点是不能修正的。就是修正过的点，也还是有系统误差的（等于校准时标准的系统误差与随机误差，再加上被校仪器的随机误差）。由于被检仪器的随机误差，经修正操作后转化为被检仪器的系统误差，因此修正并不一定好。除单值量具外，通常，测量仪器是不修正的。
通常，测量仪器的误差范围指标值由生产厂家给出，由计量部门公证，测量者按仪器指标应用。直接测量，测量仪器的指标，就可看作是测量的误差范围（只要符合仪器使用条件，环境等的影响，已包含在仪器的指标中）。间接测量，要按间接测量的函数关系进行误差合成。测量仪器的误差范围指标值因以系统误差为主，要视其为系统误差值，按系统误差处理。
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（九）关于合成方法的主张
误差合成，统一按“方根法”。对特定的误差种类，“方根法”分化为“均方根法”、“方和根法”、“绝对和法”、“混合法”。
通常，测量仪器以系统误差为主。不能无视系统误差的存在。考虑到系统误差、随机误差都是客观存在，提出如下主张：
（1）随机误差序列，用“均方根法”，随机误差范围之间，用“方和根法”；
（2）随机误差范围与系统误差范围之间，用“方和根法”；
（3）有多项中小系统误差项，仅有一项大系统误差（或没有大系统误差），它们之间的交叉系数，可能是+1，也可能是-1，有相互抵消、或部分抵消的作用，这样，可以用“方和根法”。
（4）直接测量仅有两三项系统误差，要用“绝对和法”（适用于研制中确定仪器指标）；
（5）间接测量，仅有两三项测量仪器的误差范围，要用“绝对和法”；
（6）有多项误差，在两项或三项大系统误差之间用“绝对和法”，其余的各种处理，用“方和根法”。总称谓是“混合法”。
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补充内容 (2016-1-30 16:55):
你应该对老史的“相关系数论”驳斥一番，改为 你应该对老史的“交叉系数论”驳斥一番。 |
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