请教平板平面度检验的高人

对楼上“最后一个回复”说辞的解读:所谓“最后一个”，就是当被戳到痛处后趋于∞的那个。

----------------------------------------再谈平直度检测数据处理过程中的所谓高度差概念----------------------------------

论坛中在探讨使用小角度测量仪器以“节距法”进行的平直度检测时，应该讲在部分涉及测量原理、评定方法、数据处理及基本概念等方面，出现了一些争执应该是排除了某些非正常因素后的正常现象，但这些争执持续了较长的时间而得不到观点的统一和争执的解决，则应该是一件比较遗憾的事情。毕竟不是什么高深理论及科技尖端吗，再者，“精英荟萃”且具有较好口碑的论坛竟然无力解决这样一些初级化检测理论、概念性的争执，给大家的印象也应该讲不过去的。

在问题的争执过程中，本人一直想把基础性的知识略往深处谈一下，但又顾及论坛中数学公式的书写及描点作图的极不方便（数形结合比较直观易理解），对仅靠文字描述怕讲不清楚而误导了大家，所以迟迟没有去做这方面的工作。现在，争执由于种种某些非正常因素的影响，已呈骑虎难下的“斗嘴”之势，所以自己在为广大有兴趣平直度检测的量友考虑，下决心去做一下这方面的工作，哪怕讲错了招致拍砖，毕竟也可以抛砖引玉吗。

在探讨问题之前，我和大家一起先把争执焦点简明扼要的捋一下：无非就是“节距法”检测中，⑴.检测过程中仪器直接读取的是倾角变化还是所谓的高度差；⑵.测量基准是不变的仪器主光轴，自然水平面还是不断变化的大量的所谓点；⑶.检测中，使用的主标准器是小角度测量仪器，还是被某人称作“节距法本质”的辅助工具桥板；⑷.数据处理中重要且唯一性的两端点连线公式究竟应该如何给以数学角度的分析、推导和论证；⑸.角度法定计量单位到底应该是法规性技术文件规定的rad和角秒，还是无名分的m/m、mm/m；⑹.三角函数等某些具有相同基本单位量的比值究竟是无单位的纯数字比值，还是有单位的所谓m/m、mm/m；⑺.JJG117规程中换算公式的换算系数是否有那个1000的问题；⑻........许多许多。简明扼要的捋一下，就有如此之多的争执焦点，大家可能会有说不清理还乱的畏难情绪，但个人感觉，这些争执的焦点，特别是涉及基础检测原理、理论的东西，许多应该是相通的，也就是可以做到一通百通、迎刃而解，那我们就从题目中的所谓“高度差”概念开始分析、解读及论证吧。

一、使用数学上平面直角坐标系画出直线度曲线（折线）

数学课上有一句比较形象的话语，那就是“数缺形时少直观，形离数时难入微”。此话准确的揭示了数、形结合的直观性及形象性，它对于我们今天认识平直度测量中涉及的小角度测量原理等基础性的东西将非常有帮助。

在论述使用小角度测量仪器以“节距法”进行平直度测量原理前，首先在坐标系中画出某条被测截面的误差曲线（折线）。坐标系X轴长度单位为等跨距L，坐标序号既被测截面的各被测点序号：0、1、2.....i-1、i、i+1.....n-1、n。其中0为坐标原点，也是被测截面的起始点，i为被测截面的任意一点序号， n为被测截面的末点序号（非∞），另外，X轴还表示测量基准这个仪器读数的参考基线（测量仪器的主光轴或自然水平面）；Y轴长度单位为小角度测量仪器读数的累积值（非某些人乱语的累计值），其单位可以是仪器读数的格、数、字、角度或换算为线值后的μm，这里，大家可以清楚的看到，X轴和Y轴的长度单位是不同的，其原因就是如果采用相同的长度单位，则使用的坐标图纸会是实际被测截面的几十万～数百万倍，甚至更大才可以。某些人乱讲“跨距与高度差相比，一个是微米级，一个是百毫米级，相差十万倍以上，比例关系严重扭曲”。且对他人提出的“按1:1比例作图使用的昂贵坐标图纸能否由其给以报销”的质问，不敢答复，此类“无知+浅薄”之人，根本就不清楚，这样的直线度曲线图形只有在纵、横长度单位严重扭曲（非1:1比例）的状况下，才可以做出，尽管纵、横长度单位不同，但被严重扭曲的图形各点到线或线与线间纵坐标距离仍是恒定不变的，再说，坐标系也是允许采用纵、横长度单位严重扭曲不同的。只有象驴一样蠢的笨蛋才会按1:1比例去画那个根本不可能画出的直线度曲线。

说了点题外话，继续言归正传。在坐标系中画出被测截面的误差曲线（这里及今后，非连续点的曲线均做折线理解），曲线起始点肯定在（经）坐标原点，整个曲线可能只在Ⅰ象限，也可能只在Ⅱ象限，还可能贯穿Ⅰ和Ⅱ两个象限，曲线末点为了不使评定与测量两个基准（两端点连线与仪器的主光轴或自然水平线）出现完全重合的特殊情况，我们将其落在非X轴上的Ⅰ或Ⅱ象限中。这样，特殊情况下的曲线图形将不会出现（两个基准重合），以加强问题分析、论述的通用性。

为了分析、推导、论述的方便，我们今天在坐标系中画出被测截面的误差曲线：其起始点在（经）坐标原点，其余各点，包括末点均缓慢、平滑的落在坐标系的Ⅰ象限中，也就是讲，直线度曲线是一条趋势变化缓慢且相对平滑的近似折线（实际上，非Ⅰ象限的各种状态的曲线分析、论述得到最后结论都是相同的，我们只是避免论坛中无法作图的不方便，可能给大家带来的空间认识的不清楚，及某些无聊人的钻空子）。

（后续）

二、坐标系中画出的被测截面曲线后，所谓测量倾斜角的仪器读取原始数据的实际与数学含义

在分析、论述之前，首先将过去上数学课时，教科书中的一句话原文抄录如下：坐标平面内，每一条直线都有唯一的倾斜角。

在坐标系中画出的被测截面曲线图形已经使用文字描述的方式画好了，我们首先看被测截面的第1点，其与坐标原点（0点）连线（测量段）与做为测量基准的X轴的正方向倾斜角为θ1（θ1为0～1点连线与X轴的夹角），此θ1即为小角度测量仪器测量倾斜角读取的原始数据（单位用格、数、字或角度表示均可）；

而后我们来看具有通用性的被测截面的任意一点第i点，此i点由于通用性的缘故，我们将其细化为两种状况来给以讨论

第一种状况：当i点对X轴的纵坐标投影≥其前一点（i-1点）对X轴的纵坐标投影时；该i-1～i点连线（测量段）的反向延长线与X轴的正方向夹角为θi，即为小角度测量仪器测量倾斜角θi读取的原始数据（单位用格、数、字或角度表示均可）。同时我们也可以经第i-1点做平行于X轴的辅助线，则与i-1～i两点连线（测量段）的夹角为其（辅助线）与X轴两平行线间的同位角，所以此夹角与θi相等，可视作小角度测量仪器测量倾斜角θi读取的原始数据（单位用格、数、字或角度表示均可）。

第二种状况：当i点在X轴的纵坐标投影≤其前一点（i-1点）对X轴的纵坐标投影时，该i-1～i点连线（测量段）的正向延长线与X轴的正方向夹角为＞Π/2的钝角（Π－θi），同时我们也可以经第i-1点做平行于X轴的辅助线，则与i-1～i点连线（测量段）的夹角为其（辅助线）与X轴两平行线间内错角的补角 ，所以此夹角就是θi，可视作小角度测量仪器测量倾斜角θi读取的原始数据（单位用格、数、字或角度表示均可）。前面谈到的（Π－θi）与此θi之间正切值关系为tan（Π－θi）＝－ tanθi。

同理，被测截面的任意一点第i点前、后各相邻点的连线（测量段）与测量基准X轴或辅助线间的倾斜角，均可按上述分析、论述的实际情况，对θ加上相应序号后给出。

通过上述分析、论述，我们结合数、形的直观与形象，可以清楚的看到使用小角度测量仪器以“节距法”进行的平直度测量，其测量阶段（初始阶段），小角度测量仪器读取的就是倾斜角的原始数据，与后期阶段经数据处理（计算或换算），所得到的高度或高度差，在初始阶段应该是毫无瓜葛的。另外我们通过上述分析、论述，结合数、形的直观与形象，还可以清楚地看到，倾斜角原始数据的仪器读取，均是相对于始终不变的表示测量基准的X轴这个参考基线进行的，所以测量基准应该也只能是仪器的主光轴或自然水平面。所谓测量基准是大量不断变化的点的说辞，在测量原理给以数、形结合的清晰事实面前，是无法站住脚的。

（后续）

三、坐标系中画出的被测截面曲线后，所谓仪器读取的是各点高度差的谬论

“高度差”做为平直度检测中的一个名词术语，应该如何来解读呢？查了几何量计量专业常用名词术语及其解释，应该没有这样一个说辞。又查了数学名词，在3个字、1个字～3个字、1个字～8个字这几个“字数范围”内的数学名词，分别对应的名词有286个、593个和929个，均没有找到“高度差”这一名词（包括类似名词）；考虑到测量的通用性，又对测绘专业专用名词术语给以查询，虽然依旧没有找到“高度差”这一名词，但找到与其类似的两个名词，这就是“高程”和“高差”。所谓“高程”，就是地面点的高程（EIevation），有绝对高程、海拔和相对高程之分。详细注释如下

高程------绝对高程、海拔或相对、假定高程。地面点到大地水准面（或假定水准面）的铅垂距离；

高差------两点间的各处之差。

通过对高程、高差两个测绘专用名词术语的解读，我们可以看到高程是地面点到大地水准面的铅垂距离，“地面点”是被测量的点，而“大地水准面”应该就是测量基面，我国规定采用青岛验潮站求得的1956年黄海平均海水面为全国统一高程基准面（通称：1956年黄海高程系统），此基面应该是恒定不变的。

通过上述分析、论述，加之无法找到第一个使用“高度差”此术语人士来进行“追溯”，个人意见：“高度差”做为平直度检测中的一个名词术语，是专用且特指的，在几何量计量专业不具有通用性，应该是由测绘界两个专用术语“高程”和“高差”延伸、衍变而来的。

我们再反过头来查看使用文字描述的直线度曲线，被测截面上各点的高度，均为各点到测量基准X轴的纵坐标投影，而高度差均为后、前两相邻点纵坐标投影的差值，当后点低于前点时， 差值为负。文字描述、分析、论述及图形的直观、形象，均清晰的看出，被测截面上各点的高度均是相对代表测量基准的X轴来讲的，此X轴与前面对测绘术语注释中的“大地水准面”，应该是相同物——测量基准（参考基线）。

再通过文字描述的直线度曲线来看倾斜角与高度差的数学关系，被测截面第i点相对其前一点第i-1点的高度差，在图形上直观的看出，就是i点到经i-1点所做平行于X轴辅助线的纵坐标投影，此段投影（高度差）的数学计算公式如下：

hi＝L×tanθi         或hi＝L×tan（Π－θi）＝L×（-tanθi）

同理：h1＝L×tanθ1 、h2＝L×tanθ2.....、hi-1＝L×tanθi-1、hi＝L×tanθi、hi+1＝L×tanθi+1..... hn-1＝L×tanθn-1、hn＝L×tanθn；

通过上面的分析、论述，我们清楚的看到，所谓“高度差”的数、形含义，也就不难理解，测量这个初始阶段是测量并由仪器读取的原始数据是针对“倾斜角”，而后期的数据处理，才根据“高度差”与“倾斜角”的函数关系，经计算或换算得出的“高度差”，谁前谁后，应该是一目了然，那当然“仪器直接读取的是高度差而非倾斜角”的说辞，纯属“浅薄+无知”的只知其然不知其所以然吗，故应该是完全站不住脚吧？！这也使我们大家对GB GB/T11336-2004《直线度误差检测》标准中所提到的“间接测量法”，此“间接”二字的实质性含义有了更加明确、清晰的认识；也对我们在上数学课时，老师经常提及：斜率，亦称“角系数”的教导有了更加明确、清晰的认识；当然也对我们难以全部背过的近百个三角函数公式，其实质就是四个简单的“对/斜”、“邻/斜”、“对/邻、“邻/对”，故：近百个三角函数公式均由四个“比”实质性的东西推导、变形而来，有了更加明确、清晰的认识。所以，许多表面性的事情，当其实质性的内容搞清楚了，大家也就不会为“仪器直接读取的是高度差而非倾斜角”的“歪理斜说”所忽悠和误导了。

（后续）

四、通过文字描述（直线度曲线＋“前期”倾斜角＋“后期”高度差），使平直度测量中唯一性的两端点连线计算公式的分析、推导、论证，变得非常简单

前面使用文字描述的方式，使我们对直线度曲线、测量基准，以及测量“初始阶段”的“倾斜角”及“后期”数据处理阶段的所谓“高度差”等这些归类在检测基础知识的概念，应该讲有了一个基本的了解，按说几个争执焦点的东西已经基本清晰，但考虑到，这些基本概念的了解已经非常接近两端点连线计算公式了，为了使大家对平直度测量中唯一性的数据处理公式的分析、论述、推导也能有所了解，我就在前面概念清楚的基础上，对两端点连线计算公式给以简单的分析、推导如下：

所谓两端点连线计算公式，其“后期阶段”应该就是JJG117-2005《平板》规程中的公式（8）：

δi＝∑ai（i＝1～i）－i/n∑ai（i＝1～n）        （μm）

式中：δi——被测截面任一点对两端点连线的偏差；

ai——被测截面任一点i的仪器读数值；

i ——被测截面第i点的（任一点）序号；

n ——被测截面末点第n点的序号。

我们倒过头来再看前面的直线度曲线图，连接曲线的起始点0和末点n，此0、n两点连线就是近似评定基准两端点连线（红线）。结合我们前面论述的“倾斜角”和“高度差”等基础知识的概念性东西，我们可以清楚地看清，被测截面上任意一点（i点）至测量基准X轴的纵坐标投影（高度），就应该等于包括i点及其前面的各点所谓“高度差”的累积值。而各点的“高度差”如前面谈到的下式：

h1＝L×tanθ1 、h2＝L×tanθ2.....、hi-1＝L×tanθi-1、hi＝L×tanθi、hi+1＝L×tanθi+1..... hn-1＝L×tanθn-1、hn＝L×tanθn；

则被测截面任意一点i点至测量基准X轴的纵坐标投影（高度），也就是i点到起始点（i＝1～i）各点的高度差累积值：

∑ai′（i＝1～i）＝h1+ h2.....+ hi-1 +hi

＝(L×tanθ1 )+(L×tanθ2).....+(L×tanθi-1)+(L×tanθi)

＝L(tanθ1+ tanθ2.....+ tanθi-1 +tanθi)

＝L·∑tanθi （i＝1～i）

注：tan（Π－θi）＝－ tanθi，此情况的出现，不影响求和公式（∑）的书写及推导。

（后续）

∵θ角非常小，∴tanθi≈θi（小角度测量原理)；

又∵跨距L为常数，为方便推导，在提取公因式后，暂放在一边；

∴∑tanθi （i＝1～i）＝∑θi （i＝1～i）

此∑θi （i＝1～i）就是JJG117-2005《平板》规程中的公式（8）的∑ai（i＝1～i）的“初始阶段”摸样。

同理：则被测截面末点至测量基准X轴的纵坐标投影（高度），也就是n点到起始点（i＝1～n）各点的高度差累积值：

∑tanθi （i＝1～n）＝∑θi （i＝1～n）

此∑θi （i＝1～n）就是JJG117-2005《平板》规程中的公式（8）的∑ai（i＝1～n）的“初始阶段”摸样。

JJG117-2005《平板》规程中的公式（8）中两个求和（∑），通过前面的分析、论述和推导，应该讲已经基本上说清楚了，它们分别是初始阶段的∑θi（i＝1～i）和∑θi（i＝1～n）。我们再来看前面用文字描述方式画出的直线度曲线图，被测截面上任一点i点到测量基准X轴的纵坐标投影（或称各点高度差累积值），其与两端点连线相交于i′点，则被测截面上i点到i′点的纵坐标投影，就应该是被测截面上任一点（i点）到评定基准（两端点连线）的偏差，在直线度曲线图上可以清楚的看到，此偏差为：

δi＝（i点到测量基准X轴的纵坐标投影)－（i′点到测量基准X轴的纵坐标投影）

直线度曲线图的末点我们暂且用n′表示：

∵△Oii′∽△Onn′，∴△对应边成比例

故：线段ii′：∑i（i＝1～n）＝i：n

即：线段ii′＝i/n∑θi（i＝1～n） （i′点到测量基准X轴的纵坐标投影）

∴直线度测量中唯一性的两端点连线计算公式就是：被测截面任一点（i点）对评定基准两端点连线偏差，写成公式如下：

δi＝[∑θi（i＝1～i）]－[i/n∑θi（i＝1～n）]

注：上述公式中的i/n∑θi（i＝1～n）在许多参考资料中被称为“坐标转移量”。

两端点连线计算公式中的“倾斜角”，经与换算系数1000（μm），仪器分度值τ及跨距L给以线值换算后，即可写为ai（μm），也就是两端点连线计算公式的“后期阶段”，被写成与JJG117-2005《平板》规程中的公式（8）完全一模一样了：

δi＝[∑ai（i＝1～i）]－[i/n∑ai（i＝1～n）]
（μm）

（后续）

五、初等数学推导出的两端点连线计算公式与高等数学定积分间的关系

通过前面文字描述的直线度曲线（折线），以及后面陆续分析、论述到的倾斜角、高度差等基本概念及两端点连线计算公式的简单推导，大家应该能够看出，所谓使用小角度测量仪器以“节距法”进行的平直度测量，实际上是我们几何量计量专业不得已而为之的一种方法，是用被测截面的有限个点近似替代了其无数个点，是将被测截面的曲线给以折线的近似替代（折线≈曲线），应该承认，由于测量仪器的不尽完善，以及方法的“近似”，所谓““节距法”进行的平直度测量”是有着先天性不足缺陷的。所以，分析、论述、推导的内容，使我们对ISO8512-2：1990、JJG117-2005、GB/T20428-2006、GB/T22095-2008等国内外标准、规程中，将平面度分为或实质性分为“整体”与“局部”平面度的说辞，应该有了更加清楚的认识，也就是“整体包含局部，局部决定整体”的说辞是有其道理或根源的。

前面对以“节距法”进行的平直度测量唯一性的两端点连线数据处理计算公式，进行了简单的分析、论述和推导，但被测截面的近似曲线，实则折线的东西并不是我们理想化的追求，做为几何量计量专业的科研人士或计量工作者，应该追求的理想化东西是被测截面的连续点的真正曲线。起码，在现阶段，大家应该清楚所谓初等数学可以描述的“折线”是源自高等数学描述的“曲线”，也就是应该把“近似”的原理搞清楚。这些东西，那些冷嘲热讽“是把简单问题复杂化”，是所谓“忽悠论坛的广大量友们”的人士，除了表现其无知+浅薄外，应该就是非装睡状态下的真不懂吧。

假设我们理想化追求的被测截面曲线为函数f(x)，当自变量x（跨距）的增量Δx趋于0时，曲线函数f(x)应该等于在 [0，n] 闭区间无数个曲边梯形面积的定积分。

上面使用文字描述的被测截面连续点曲线函数，就是我们分析、论述、推导的两端点连线计算公式的基础数学理论根源。所以，初等数学分析、论述、推导的“折线”，其“根”或“源”的理论应该也只能来自高等数学描述的“曲线”，这连续点的“曲线”不正是我们理想化追求的东西吗？！如果没有这些基础理论的东西，莫非“近似替代”是从天而降吗？！

自己的数学基础很差，所以不会也不屑像某位人士那样高谈阔论的穷显摆：从纯数学函数谈到应用科学的函数，从理论数学谈到应用科学，什么抽象、客观、提炼......等等，但是自己清楚三角函数不可能有单位，自己会使用学过的数学工具来分析、论述、推导我们的实际检测工作，这就足够了，没必要将高等数学中的定积分向前“溯源”至“黎曼积分”（Riemann Integral）才是真才实学吧？！所以华而不实，只知其然而不知其所以然，只会让大家鄙视。

六、小结

前面分析、论述、推导的部分平直度检测的基础理论，应该讲已经超出了题目所限的内容，但为了维护论坛中良好的探讨秩序、气氛，为了使广大量友能够有所受益，自己还是尽可能克服发帖中书写公式的不便和描点作图的困难，基本把使用小角度测量仪器以“节距法”进行的平直度测量，主要基本概念和公式给出了个人理解后的分析、论述和推导，虽然这些分析、论述的东西还不足以将文章开头捋出的争执焦点问题全部给出解读，但主要概念、基础理论、测量原理等东西搞清楚了，加之数形结合的直观和形象，那么剩余的争执问题相信大家会旁融贯通、迎刃而解的。

写上述东西应该讲并没有多高的水平，但可以断言，某位只是一知半解、只知其然而不知其所以然、态度不端、学风歪劣、装腔作势、哗众取宠的人士，是绝不可能也绝不会去做这些深究技术工作的。所以，个人还是非常欣赏本论坛量友深圳渔民帖子的一段话，那就是“建议大家有时间的话练习一下手算，权当是做个游戏，有助于对测量方法的理解”。这些是高手对平直度检测中规程、标准的真正理解，而不是鹦鹉学舌般的死记硬背。

还需要说清楚一点，不希望断章取意、无事生非、胡搅蛮缠的钻空子，某些看似“空子”，实则“套子”，钻进去，很难“全身而退”的。

好了，就此结束吧。欢迎大家提出意见，包括拍砖，咱们共同探讨，共同受益和提高。

（全文结束）

回复 186# xqbljc


    老师您辛苦了！感谢！

　　终于等到了xqbljc老师大作，老师并没有食言，对此我非常感谢。对老师克服了种种困难的辛苦劳动和认真精神我也由衷地钦佩，这就是计量人的精神，这种精神值得本人学习。177楼的帖子没有技术价值就不回复了，对老师的178至186连续9个楼层的帖子我认真地进行了拜读，下面是我读后感想和意见。我声明，下面的意见纯属技术上的观点，不管相同还是不相同的看法，绝无任何丝毫对老师的不尊重，也绝无任何个人情感方面的只言片语夹杂其中。
　　1.老师关于引用的“平面角及其计量器具”的基本知识和后面关于小角度的测量原理，我持完全相同的意见，在平面角、角度测量设备工作原理、小角度检测原理等方面，这都是成熟的理论和成熟的技术，我们没有意见分歧。
　　2.把直线度检测等形位误差的检测看作为小角度的检测，无论多么权威的引用，我还是不能认同。首先直线度和角度本身就完全不是同种量，连同类量也不是，甚至连量纲都不相同。两个完全不同种、不同类、甚至不同量纲的量的检测不能相互“看作是”一回事。形位误差的计量单位是m，量纲是L的一次方。角度的计量单位是rad，量纲是1，或者称为无量纲单位。好比是测量重量看作是测量长度，它们的测量怎么能够看作是相同，打比喻可以，看作是相同则是可笑的，不可以的。
　　3.老师的公式推导过程是正确的，但那是小角度测量仪的原理推导过程。在直线度检测中，不需要检测角度，需要检测的只是“高度”。把你184楼的公式“被测截面任意一点i点……（高度），也就是i点到起始点（i＝1～i）各点的高度差累积值：∑ai′(i＝1～i)＝h1+ h2.....+ hi-1 +hi。”直接拿出来就行了，没必要在这之前和之后废那么多话。
　　4.接下来只要说明公式∑ai′(i＝1～i)＝h1+ h2.....+ hi-1 +hi 中h1、 h2、.....、hi 是怎么得到的就行了。怎么得到的呢？和在一般测量设备上读取测得值没有任何区别，就是在“桥板＋小角度仪”构成的测量系统上直接读取就行，即格数n乘以分度值K：hi＝n·K＝n·(τ·L) ( μm )。式中：n为格数；K=τ·L ( μm )为测量系统的分度值；n为格数；τ为小角度仪分度值（对水平仪单位为mm/m）；L为桥板跨距（单位为mm）。
　　以上3和4，我想没有人会不明白，185楼的话以及184楼多余的话就没有必要去说了。
　　5.关于186楼积分的问题，我以前的帖子说过了，节距法检测直线度误差与直接测量法不同，直接测量法的受检点是连续的，而节距法是对有限个点的检测。若按老师181楼的图示，Y轴表示的是连续的，不间断的值；X轴则表示正整数，正整数之间在数轴上是间断的点，众所周知间断的变量如何能够积分？“假设……被测截面曲线为函数f(x)，当自变量x（跨距）的增量Δx趋于0时”，这个假设“自变量x（跨距）的增量Δx趋于0”是完全不存在的假设。谁都知道跨距至少大于数十毫米。假设既然不存在，“曲线函数f(x)……的定积分”如何进行？因此没有必要去套高等数学的定积分，套定积分反而会把检测人员吓唬住，简简单单的高度累加和坐标变换知识足以说明问题了。因此我认为老师的推导虽然没有问题，但是却把非常简单的问题复杂化了，完全没有这个必要。
　　6.由于181楼图示中X坐标轴和Y坐标轴的放大比严重失调，两个坐标轴单位坐标值相比至少达数万倍，因此当X坐标轴绕坐标系原点旋转时，Y轴可以原地不动。X轴旋转至与评定基准重合（或平行）时，181楼图示中X轴旋转至与红线重合时，旧坐标系X-0-Y就变成了新的坐标系n′-0-Y。最高点和最低点在新坐标系中Y轴的坐标值相减就是以两端点连线为评定基准时得到的直线度误差，即 f＝∣Ymax－Ymin∣。

规版量纲=1之解说总是让我感到很郁闷！
我不由得联想：
∵ 1m/1m=1，1kg/1kg=1，1sec/1sec=1，
∴1m/1m=1kg/1kg=1sec/1sec
这都哪跟哪儿啊！

请恕我愚笨，在我计量的的项目里从来不用这玩意儿！
我所计量的项目都有单位，如果单位和量纲在概念上是对立的，那么我宁愿只用单位，而不去用哪种古里古怪的=1的量纲，也省得把我们这里的年轻人都给教晕了。

计量单位的概念很实用，在我们这里只要能把计量的活干好就行，我们的客户也从来不认所谓“量纲=1”这种事。

回复 187# 星空漫步


     没什么辛苦，轻车熟路的事，当年在南戴河全国宣贯会上也是这样讲的。
     至于感谢，首先要感谢论坛中对平直度检测有兴趣的量友们，是他们让自己在比较“困难”的情况下去“深究”的，也可以讲是对论坛量友们的一个回报，他们不用再听“天书”或被误导了。

188楼的“大作”之说，应该讲其“酸溜溜”的滋味大家都感受到了，至于什么“钦佩”、“精神”、“学习”等等说辞，给人一种非常不舒服的感觉，楼上某位腹中空空如也，就剩两片嘴了，且不知嘴中“笑掉大牙”几颗？我多次断言：大作谈不上，但浅薄+无知的那位，肯定写不出这样的东西。但楼上在众目睽睽之下总算变的明智些了，当初在谈弧度与角秒的换算系数ρ时，其还大言不惭的讲什么“我的换算正是基于这个换算系数”，但现在其终于没敢讲出“我论述、分析、推导的东西正是基于这样一个思路”的话。应该是摄于论坛中广大量友都有明亮的双眼和敏锐的识别能力吧？！实际上，已经丢够丑了，横下心来，丢到家算完，本来也不值钱吗！话是这样说，但微小的进步还是应当鼓励的。至于“绝无任何丝毫对老师的不尊重，也绝无任何个人情感方面的只言片语夹杂其中”，只能是“此地无银三百两或贼喊捉贼”吧。奉劝楼上某位留着“废那么多话”这样的尊重话语，私下里去自尊自重吧，其太缺乏也太需要自尊自重了。
　　①.“把直线度检测等形位误差的检测看作为小角度的检测”，这是实际情况，所以应该是非常正确的事情。楼上大谈、乱谈什么同种量、同类量、量纲或无量纲单位，弱弱的问一句，这些东西你懂吗？大家知道，西安“国测一大队”是全国测绘界的一面旗帜，为了测量珠穆朗玛峰的高程，多位测绘工作者付出了自己的生命，受到了党和国家领导人的嘉奖。他们使用全部为瑞士莱卡提供的GPS、全站仪等测量设备，在测量珠峰高程时，应该讲就是使用了最基本的测距、测角等而计算得出了珠峰高程啊。楼上无知的某位是否敢以角度与高程不为同种量歪理，而去否定他们的辉煌成果呢？
　　②.楼上首先不得不承认“公式推导过程是正确的”，然后就话题一转“但那是小角度测量仪的原理推导过程”。这就让人奇怪了，有肯定之肯定，也有否定之否定，那来的肯定之否定呢？再说，小角度测量仪器的工作原理，也就是光学成像、机械或光电瞄准读数等这些工作原理，大家应该比我还清楚，书本上也介绍的很多，还用的着我来分析、论述、推导吗？！再说，这些工作原理也不是小幅面帖子能够说清楚的。楼上的某位不要胡搅蛮缠了，什么“直接拿出来就行了”？你倒是拿出来或写出来给大家看看啊！只怕腹中空空如也，只是会复制+粘贴，可能还有那么一点点“剽窃”，怕大家耻笑吧！
　　③.“185楼的话以及184楼多余的话就没有必要去说了”，楼上某位痴人乱语讲的不少了，应该让别人来讲话，来消除你歪理斜说给论坛量友可能带来的忽悠和误导了，否则，有必要心虚吗？
      ④.定积分描述连续点曲线函数的问题，我是不想再讲什么了，因为论坛中比我数学基础好的量友应该很多很多，他们会看清楚的，也会懂得什么叫理想化的东西，这潭水，没人可以搅浑的。只有楼上某位才习惯性的把简单问题复杂化，用初等数学中简单的相似三角形对应边成比例就可以解决的所谓坐标转移量问题，非要让人家去旋转X轴，还什么“Y轴可以原地不动”，莫非，此人弱智？！还自称“老计量”，还是有点谱吧。



附：国测一大队
　　国测一大队事迹简介
　　国家测绘局第一大地测量队是全国测绘战线上一支思想作风好、技术业务精、艰苦奋斗、敢打硬仗、不怕牺牲、功绩卓著、无私奉献的英雄测绘大队。
　　国测一大队自1954年建队以来，先后完成和参与完成了全国大地测量控制网布测，中蒙、中苏、中尼边境联测，京、津、唐、张地震水准会战，2000国家重力基本网的布测，全国天文主点联测，珠穆朗玛峰高程测量，南极中山站建站和第21次南极科考测量，国家GPS A、B级网、国家高程控制网、中国公路网GPS测绘工程、中华人民共和国大地原点的建设、施测和管理等国家重点测绘项目，为国家的经济建设提供了有力的测绘保障。
　　量天测地50余载，大队为祖国的测绘事业做出了贡献，争得了荣誉，1991年国务院通令嘉奖，授予大队“功绩卓著，无私奉献的英雄测绘大队”荣誉称号。大队先后26次受到国家、省、部级表彰，有25人获得国家、省和市级各种荣誉称号，2005珠峰复测有4人荣立一等功，12人荣立二等功，9人荣立三等功

     

回复 189# 星空漫步

　　呵呵，对量纲和量纲为一的量还不习惯没关系，在日常计量工作中慢慢会习惯的。其实关于“量纲”和“量纲一的量”的定义早在JJF1001-1998就已经有了：
　　3.5 量纲dimension of a quantity
　　以给定量制中基本量的幂的乘积表示某量的表达式。
　　例：若国际单位制中7个基本量的量纲分别用L，M，T，I，Θ，N和J表示，则某量A 的量纲的表达式为dimA＝L^αM^βT^γI^δΘ^εN^ζJ^η。如力的量纲dimF＝LMT^-2， 电阻的量纲dimR =L^2MT^-3I^-2。
　　3.6 量纲一的量quantity of dimension one
　　　　无量纲量 dimensionless quantity
　　在量纲表达式中，其基本量量纲的全部指数均为零的量。
　　例：线应变、摩擦因数、马赫数、折射率、摩尔分数(物质的量分数)、质量分数
　　注：在国际单位制中，任何量纲一的量其一贯单位(参见3.10)都是一，符号是1。
　　在新版JJF1001-2011中，量纲和量纲为一的量定义得更加明确：
　　3.6 量纲dimension of a quantity [VIM1.7]
　　给定量与量制中各基本量的一种依从关系，它用与基本量相应的因子的幂的乘积去掉所有数字因子后的部分表示。
　　注：
　　1 因子的幂是指带有指数（方次）的因子。每个因子是一个基本量的量纲。
　　4 在给定量制中，
　　——同类量具有相同的量纲；
　　——不同量纲的量通常不是同类量；
　　——具有相同量纲的量不一定是同类量。
　　5 在国际量制(ISQ)中，基本量的量纲符号见表2。（本处表2略）
　　由此，量Q的量纲为dimQ＝L^αM^βT^γI^δΘ^εN^ζJ^η，其中的指数称为量纲的指数，可以是正数、负数或零。
　　3.7 量纲一的量quantity of dimension one [VIM1.8]
　　　　又称无量纲量 dimensionless quantity
　　在其量纲表达式中，与基本量相对应的因子的指数均为零的量。
　　注：
　　1 术语“无量纲量”使用广泛，……。
　　2 量纲为一的量的测量单位和值均是数，但是这样的量比一个数表达了更多的信息。
　　3 某些量纲为一的量是以两个同类量之比定义的。
　　例：平面角、立体角、折射率、相对渗透率、质量分数、摩擦系数、马赫数。
　　由此可见，量纲为一的量广泛存在在我们四周，人们无论如何也没办法回避，我们不必为它而郁闷，在老兄的计量项目里也一定会遇到和用到这玩意儿。1m/1m=1，1kg/1kg=1，1sec/1sec=1是对的，但是这个量1比一个数1“表达了更多的信息”，它们的量纲相同却不是同类量，因此不能由此推论出∴1m/1m=1kg/1kg=1sec/1sec。

回复 191# xqbljc

　　我再次强调，我绝不会像老师那样纠缠于无聊的讽刺挖苦与谩骂语言之中。谁仍然处在其中，我相信量友们有目共睹，我只关注老师在技术上的实质性说法，只回复技术上的实质性内容。下面是对老师191楼帖子中尚存的一丝技术上实质性的内容的回复：
　　①.“把直线度检测等形位误差的检测看作为小角度的检测”，这的确是当前实际情况，但并不是“非常正确的事情”。直线度和角度不是同种量，连同类量都不是。测量直线度的最终量值（测量结果）的计量单位是m，具体说是m的十进分数单位μm，并不是角度。我们在节距法中可以直接读取μm值，为什么非要绕个大圈子去测量角度，再通过正切函数或者斜率去求取μm值？难道非得这样绕圈子才显示出自己有水平吗？计量技术博大精深，我承认我有很多很多的地方不懂，甚至一无所知。但对于同种量、同类量、量纲或无量纲单位，我深信我是对的，不是同类量是不能画等号的，是不能相比较的，甚至虽是同类量而不是同种量都无法比大小。如果直线度测量可看作是角度测量，无异于电压测量、重量测量等都可看作是直线度测量。
　　②.我承认“公式推导过程是正确的”，就是基于众所周知的“那是小角度测量仪的原理推导过程”，这就是肯定之肯定。我的否定就是现在讨论的不是角度测量而是直线度测量，只要在测量系统上直接读取受检点相当于其前一个受检点的高度之差μm值，把受检点的高度公式∑ai′(i＝1～i)＝h1+ h2.....+ hi-1 +hi “直接拿出来就行了”。老师让我拿出来给大家看看，其实老师只要返回去看看我发过的帖子恐怕早在很久以前的帖子我就说过了，直至当今，我仍然强调的是通过“累计的方法”获得受检点相对于起始点的高度差，这就是老师推导了半天而根本用不着推导的这个公式，所以我说，没必要把简单的问题复杂化，“直接拿出来就行了”。
　　④.请恕我对③就不回复了。关于定积分问题，把实际问题理想化解决是应该的，但是前提条件是理想化的假设必须可能存在。桥板的跨距相对于直线度误差是个大数，夸张一点可以说是天文数字。请问老师，你都把桥板跨距趋近于零了，直线度误差还存在吗？用一个根本不存在的假设推论的任何一个理论如何让人相信？再好的数学基础也会越看越感到有故意忽悠之嫌，这潭水就不知道是谁在搅浑了。
　　老师既然赞同我关于复杂的问题要尽量简单化，不知道坐标变换的知识是否比定积分知识更复杂、更高深？老师非常推崇直线度检测的评定过程使用旋转法，请问老师，一根坐标轴的旋转难道不是旋转法的理论依据吗？为什么X轴旋转时Y轴静止原地不动，我在188楼应该是说明白了，是由于181楼图示中X坐标轴和Y坐标轴的放大比严重失调，相比至少达数万倍（这也是不能用定积分解释的根本原因）。181楼图示中的直线度误差用最高点的Y坐标值（i 受检点平行于Y轴作平行线到红色新X轴的距离）减去最低点0或n受检点的Y轴坐标值（图中到新X轴的距离为0）来获得。顺便建议某些“弱智”之类用语，老师尽量在技术讨论中禁用，否则最后真的是自己很难收拾。

回复 192# 规矩湾锦苑


      我记得版主曾经把“1rad＝1m/m＝1”做过拆解，我不过是把都等于1的东东做了个合并，反正都等于1吗，为什么允许你拆，就不许我并呢？

      1m/1m 、 1kg/1kg 、1sec/1sec   
      分子和分母一约分，不就成了没有单位的纯数字了吗？纯数字怎么算不行啊？
      你可千万别告诉我因为他们是不同的，所以分子分母在此不能约分！不约分可不是你的一贯态度哦。

因为我无法依照版主对量纲的理解去认识问题，所以我以后就避谈量纲了，谁让咱这么笨的呢，高深的理解不了，还是捡那简单的用吧。

长度的单位有米、毫米等；平面角的单位有60进制角度制的度分秒，弧度制的弧度等；质量的单位有千克等；......

至于折射率、相对渗透率、质量分数、摩擦系数、马赫数____本人涉猎范围有限，这些通通没研究过，我只知道那些相对值就是个数，所以没有单位。

回复 194# 星空漫步

　　你的拆解我并不反对，拆解符合逻辑，并没有错，错在后面的逻辑推导。我说过，因为1rad＝1m/m＝1，就可以拆解为三个等式1rad＝1m/m、1rad＝1、1m/m＝1。但是反过来，因为1rad＝1，1m/m＝1，1kg/kg＝1，就推导出1rad＝1m/m＝1kg/kg，那就大错特错了。即便推导出1rad＝1m/m，也应看清楚1m/m是不是角度值，如果是别的什么量值，也不能由1rad＝1、1rad＝1，而推导出1rad＝1m/m。两个量是不是可画等号，一定要识别它们是不是同种量，不是同种量即便是同类量也是不能画等号的。
　　1m/1m＝1 ； 1kg/1kg＝1；1sec/1sec＝1，都是正确的，无懈可击。可是JJF1001-2011的3.7条注2说的非常清楚，“量纲为一的量的测量单位和值均是数，但是这样的量比一个数表达了更多的信息”。不能因为它们“均是数”就认为相同的数（你的案例都是数1）相等。你的案例中的数１并不是“纯数字”，它们除了是数以外，更重要的还是“量值”。量值1“表达了更多的信息”，因此不能因为都是1，就推导出1m/1m＝1kg/1kg＝1sec/1sec。
　　即便是相同的1m/m，当它分别是角度值、斜度值和正弦函数值时，表达的信息含义也不相同，不能画等号。1m/m是角度值时，来自于弧长除以半径，国际计量大会给它了专有名词弧度，因此角度值1m/m＝1rad。当1m/m是斜度值时来自于对边除以邻边，国际计量大会没有给斜度值以专有名词，此时1m/m表达的信息就是对边和邻边相等的斜度，这个1m/m斜度值并不表示其斜度值等于45°，斜度和角度不是同类量，更不是同种量，该斜度值对应的夹角才是45°。如果1m/m是正弦函数值，表达的信息就又是另一番景象了。
　　JJF1001-2011的3.7条注3给出了七个例子“平面角、立体角、折射率、相对渗透率、质量分数、摩擦系数、马赫数”，其实我们身边存在的量纲为一的量还有许许多多，包括我说过的斜度、酒精度等等，它们都可能存在着量值1。但我们决不能因为它们都等于1的时候就说：平面角1＝立体角1＝折射率1＝……＝斜度1。它们不是“同种量”，甚至可能连“同类量”都不是，不能相互比大小，怎么可能存在画等号的情况呢。
　　可以画等号的两个量前提条件它们必须是可以相互比大小的“同种量”。如果把同种量比作一个“区”，就可以把同类量比作“市”，同量纲的量比作“省”。同一个区，同一个市的地域肯定可以断定处于同一个省的区域，但同一个省的地域内的两个区域绝不能断然确认它们就一定处于同一个市，甚至处于同一个区。

回复 195# 规矩湾锦苑


    请不要把“1m/1m＝1kg/1kg＝1sec/1sec”解说成“平面角1＝立体角1＝折射率1＝……＝斜度1”，我从来就没那么理解过，也不至于蠢笨如斯！我只是对版主理解问题的方式不敢苟同而已。

本人没看过有关国际计量大会对弧度的具体定义方法，我想即使不看它大家也应该可以理解弧度的定义，至少不至于会把1弧度是多大给搞错了。我是这样理解弧度的：对平面内的圆弧张角来说，当其弧长等于弧半径时，张角的角度就等于1弧度。难道1弧度非得1m弧长对1m弧半径吗？1mm弧长对1mm弧半径，张角就不是1弧度了吗？

折射率咱没研究，角度却是经常测量的，搞了这么长时间的计量，还除了从版主这里，还从来没听说过角度除了人们熟知的那几种单位外，还有1m/m这种单位记法！我觉得版主的拓展思维能力实在是太强了，强得一般人根本比不上，也跟不上！

同种量应该是具有同种性质、同种单位的量；无量纲的量，都是数字，在计量上应该是比值类的东西，已经属于剔除单位后的纯数字，数字计算无关单位。弧度是弧长与半径之比，不能简单地写成1m/m，或1m/1m，因为分子的1m是在圆周上度量的，而分母的1m则是在直线上度量的。

圆周度量和直线度量根本就不是一回事(属于不同的数轴上的度量，就好像不在一个空间上度量一样），所以角度计量才需要有自己的专有单位或者说量纲____一个不等以1的、带有实际单位的量纲。角度既然有单位就不应归并与无量纲之列，这也是我不能赞成版主所倡导的“量纲学说”对角度解释的原因所在。国际计量组织的观念、定义也不是一成不变的，希望有一天能够为角度正名。

193楼的帖子，苍白无力、自相矛盾、胡搅蛮缠成为楼上某位唯一的应对手段，应该是理屈词尽了：

    1.把直线度检测等形位误差的检测看作为小角度的检测，“这的确是当前实际情况，但并不是“非常正确的事情””，试问楼上，既然是“当前实际情况”，何来“并不是“非常正确的事情””之说？这个“实际情况”要“非常正确”到什么程度才能说服“拧种”呢？提请楼上息怒，“拧种”的说辞是自称。
      珠穆朗玛峰的测量，测角与高程应该也不是同类量吧，大家都知道“不是同类量是不能画等号的”，但二者之间的函数关系应该是楼上无法否认的吧！这与你胡搅的什么“电压测量、重量测量”有可比性吗？当“拧种”到不“搅”就无法回帖子的程度，这应该就是一种“堕落”。在此建议楼上某位去否认“国测一大队”的辉煌业绩，他们的许多国内外重大测量项目基本都是在测角和高程这两个“不是同种量，连同类量都不是”的参数间进行的。或许楼上的否定还会获得“诺奖”呢？祝福楼上！

    2.既然承认“公式推导过程是正确的”，转眼间就成了“那是小角度测量仪的原理推导过程”，并忽而“这就是肯定之肯定”，忽而又“我的否定就是.....”，楼上再次出现语无伦次的状态，这很危险的。另外公式的推导明明是两端点连线数据处理公式吗，莫非小角度测量仪器的工作原理包括了这样的处理公式？该仪器什么时间发展到如此“智能化”的程度？奉告楼上，你“搅”不了大伙的，你是在和自己的“良知”过不去，当然，没“良知”的话，也就不好再说什么了。

    3.累积应该是数据处理过程中的一种方式或手段，而不是什么“方法”。楼上应该懂得“累积”与“累计”是有区别的，在用词及语法上，楼上那样高水平的团队成员，应该有所讲究。楼上一会儿是“公式推导过程是正确的”，一会儿又“根本用不着推导的这个公式”，思路变化过快，且无条理，应该就是“语无伦次”吧！

　 4.定积分的问题楼上不愿意谈，我也不想谈了，给大家留作思考吧。“桥板跨距趋近于零”是一种分析、思考、论述、推导“理想化”问题的过程或思路，楼上应该不懂这些的，否则怎么会讲出“都把桥板跨距趋近于零了，直线度误差还存在吗”？现实中客观存在的东西怎么会不存在了呢？楼上提出的问题确实让人匪夷所思，恐怕短时间楼上的思路是不会清楚了。

     对于楼上帖子的最后威胁性语言“否则最后真的是自己很难收拾”，我从来不怕，由你来约好了，四川、山东都可。
　　

关于mm/m到底是换算因子1/1000还是莫须有的角度计量单位？应该讲争议很大，且迟迟得不到解决。让我们来求助一下法规性技术文件吧：
      让我们来看一下JJF1001-2011《通用计量术语及定义》       （原文引用）

     3.2.6单位间的换算因子（conversion factor between units  【VIM1.24】
             两个同类量的测量单位之比
             例：km/m＝1000，   即1km＝ 1000m

      我感觉不需要自己再去谈什么了，大家自己套一下就清楚了

                 mm/m＝1/1000，    即1mm＝1/1000m，     或1m＝1000mm

       毫无疑问mm/m只能是换算因子，而非角度单位。

　　可能是我没有说清楚，我没说老兄把“1m/1m＝1kg/1kg＝1sec/1sec”解说成“平面角1＝立体角1＝折射率1＝……＝斜度1”。我说的是JJF1001-2011的3.7条注3给出了七个例子“平面角、立体角、折射率、相对渗透率、质量分数、摩擦系数、马赫数”以及我提到过的酒精度、斜度等，当遇到它们都相等的时候，比如都等于1的时候，虽然它们各自都等于“数”1，也不能因此得出“平面角1＝立体角1＝折射率1＝……＝斜度1”。同样我们不能由1m/1m＝1，1kg/1kg＝1，1sec/1sec＝1，推导出1m/1m＝1kg/1kg＝1sec/1sec。
　　因为JJF1001-2011的3.7条注2告诉我们，“量纲为一的量”表现形式是“数”，却不是纯数字，“量”1比“数”1，“表达了更多的信息”。由1rad＝1m/m＝1，我们可推导出（拆解为）1rad＝1m/m、1rad＝1、1m/m＝1。但反过来，由1rad＝1，1m/m＝1，1kg/kg＝1，则不能推导出1rad＝1m/m＝1kg/kg。
　　弧度的定义是：当圆的半径为1m时，1m的弧长与半径之比表示该弧长所对应的圆心角大小定义为1弧度。按此定义，该圆心角应是：弧长/半径＝1m/1m＝1m/m＝1。国际计量大会给角度值1m/m以一个专有名词“弧度”，符号rad，所以国家标准GB3101（等效国际标准ISO31-0）表2才有了公式1rad＝1m/m＝1。这个公式前半部的含义说角度值1m/m就是1rad，后半部告诉我们1rad是个量纲为一的量，也等于数1。
　　可是根据JJF1001-2011的3.7条告诉我们，“数”1可以表示许许多多量纲为一的量，我们决不能“数”1就一定是角度值1rad，很可能是注3提到的那7个量中任何一个，以及注3没有提到的其它许许多多量纲为一的量，像斜度、酒精度、……，等等。

回复 198# xqbljc

　　我在前面的帖子多次提到了“量纲为一的量”，JJF1001-2011的3.7条注3给出的七个量纲为一的量的例子中，“平面角”就是第一个例子。GB3101（等效国际标准ISO31-0）表2给出了平面角弧度的定义是1rad＝1m/m＝1。1m/m是平面角的SI导出单位，rad是国际计量大会给这个导出单位的专有名词。因此1rad＝1m/m是不争的事实。
　　mm/m是小角度测量设备水平仪的分度值计量单位，角度的计量单位是弧度rad，1rad＝1m/m，因此非常容易地可以推算出1mm/m＝1mrad。水平仪分度值如果是0.01mm/m，就意味着其分度值为0.01mrad。把角度仪分度值的计量单位mm/m当作“换算因子”，当作纯数字1/1000，是严重违背国际标准和国家标准关于“量纲为一的量”的定义和规定的，是错误的。
　　老师对“复制粘贴”很是反感，不过我认为老师就是因为这种情绪而没有认真看JJF1001-2011的有关规定，我不得不再次粘贴：
　　3.7 量纲一的量quantity of dimension one [VIM1.8]
　　　　又称无量纲量 dimensionless quantity
　　在其量纲表达式中，与基本量相对应的因子的指数均为零的量。
　　注：
　　2 量纲为一的量的测量单位和值均是数，但是这样的量比一个数表达了更多的信息。
　　3 某些量纲为一的量是以两个同类量之比定义的。
　　例：平面角、立体角、折射率、相对渗透率、质量分数、摩擦系数、马赫数。

回复 197# xqbljc

　　1.流行的东西并不一定是正确的东西，科技发展就是发现流行的东西中的缺陷加以改进，如果流行的东西永远是正确的，也就不存在科技发展了。历史上日心说取代地心说就是最典型的例子。
　　珠穆朗玛峰的测量，目的是测量高度，角度与高程当然不是同类量，无论你测量什么，最终必须落脚到测量“高度”。角度与边长之间的函数关系谁也无法否认，测量角度的目的还是要通过换算关系落脚高度上。节距法测量直线度，最终目的是测量“高度”不是测量“角度”，人们可以从测量系统中直接读取“高度”，完全没有必要绕个大圈子去测量“角度”再通过换算关系计算“高度”。放着简单易行的办法不用去兜圈子，舍近求远、舍简求繁，人们没有那么傻吧。
　　2用在“小角度测量仪的测量时的原理推导过程”，老师的“公式推导过程是正确的”。我否定的不是你的推导过程，而是老师把这个推导用错了地方。我们现在讨论的是直线度测量，不是角度测量，我们可以从测量系统中直接读取“高度”，再用这个推导过程绕个大圈子实在是没有必要。
　　仪器何时发展到如此“智能化”的程度？很简单，是因为使用了桥板。不要小瞧这个“铁块”桥板，它也是测量设备，与另一个测量设备水平仪组合就形成了一台（套）崭新的“智能化”测量设备，使原来只能测量相对于自然水平面倾角“角度值”的水平仪可以直接读取“高度值”了。原水平仪的分度值为 τ 计量单位为角度单位mm/m或角秒（″），与桥板组合后的分度值自动变为高度值μm了，新的分度值为K=τ·L (μm)。这与“搅局”和“良知”与否毫无瓜葛。
　　3“累积”与“累计”是有区别，但具体到节距法检测平直度中，却没有任何区别。这并不是我发明，老师可以查阅有关平直度检测方面的国家标准和书籍资料，使用“累积”与“累计”者均有，意思是从起始点逐个相加至受检点。我觉得我们没有必要去计较它，还是看它的本质，使用“累积”还是“累计”同样也不存在什么“语无伦次”的问题。
　　4关于“理想化”问题，我说过理想化的前提条件假设必须是可能存在的，而不能是违反科学的。违反科学的前提假设必然会导出违反科学的结论。定积分的前提条件是函数“连续”。老师假设桥板跨距趋近于零，这个假设就违反了科学。桥板跨距是直线度误差的多少倍老师想过没有，何止数万倍，桥板跨距假设为0，数万分之一的直线度还存在吗？这是其一，其二，节距法不同于直接测量法，节距法的受检点是有限的，有限的受检点决定了变量X不可能“连续”，变量X是正整数0、1、2、3、……，受检点X连小数都不存在，怎么会存在趋于零的0.111……？“理想化”的假设“伪”，“理想化”的推导结论必“伪”，所以节距法检测直线度用定积分解释也必“伪”。
　　本不想说，既然老师有误解，我就解释一下。“否则最后真的是自己很难收拾”纯属善意相劝。恕我直言，老师一定要不顾颜面，习惯于对别人挖苦讽刺和谩骂，那是你的自由，我的态度仍会一如既往。我过去给老师讲过一个小故事，是提醒当你给别人送“礼物”，别人拒不接受时，最后还是得自己收拾回家，那时候自己就会体会到是否“难收拾”了。老师是山东人，我也是山东人。山东是孔孟之乡、礼仪之邦，挖苦讽刺和谩骂与其相悖。在论坛中讨论技术问题，我们还是应该心平气和，与人为善，己所不欲勿施于人为好。